Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 2
Текст из файла (страница 2)
+ Л„е". Стандартный базис Н»: е) =(1,0,...,0), ег=(0,1,...,0), ..., е„=(0,0,...,п). Число п векторов, составляюших базис (и не зависящее от выбора последнего), определяет размерное)яь пространства. 1.2. Линейные функции и матрицы Линейная функция у = а х = а,х, +... + а„х„ принимает постоянные значения а х = )з на «плоскостях», параллельных плоскости а х = О. Действительно, иэ а и = 1), а е =)з следует а (н — е) = О, т.е. вектор и — о параллелен (лежит в) плоскости а х = О, Множества а х = )0 называют гилернлоскостямиг), чтобы подчеркнуть, что они не являются линейными пространствами, которым положено вместе с векторами содержать их сумму.
Другими словами, гинернлоскогть — это плоскость, не лроходяигоя через начало координат. Важную роль в анализе играет понятие линеиного онероторо, сопоставляюшего вектору х = (хм..., х„) вектор у = (у„..., у„) по правилу: у) = он х) + а)гхг + ° . ° + а)»х» уг = аг)х~ + аггхг + " + аг х» у = а„)х) + аюхг+ . + а„„х„ называют мотриией, и коротко пишут у = Ах, определяя тем самым умножение матрицы на вектор.
Умножение матрицы на скаляр у и сложение А = [ач[ и В = [6,)[ определяются так: ТА = [уа„[, А+ В = [а, + Ь, [. 0 Коляинеарными называют векторы, лежащие иа одной прямой, т, е, векторы, которые одинаково или противоположно направлены. 2) 1А иногда — и просто плоскостями, допуская вольность терминологии. Таблицу коэффициентов А = [ам [, а), гг») ац ... аы агз ° ° ° аы а»г ..
а»» 1.2. Линейные функции и матрицы При этом, очевидно, А(Лх+ ру) = ЛАх+ рАу. Умножение А на В дает матрицу С = АВ с элементами с„= ~ а,»б»,. »=! (1.!) А 'А=АА '=1, где 1 — единичная матраца =[ определяюшав тождественное преобразование 1х тв х. Иногда используют обо- значение 1 = гйай (1,...,!). Единичный куб, построенный на векторах (ребрах) е, =(1,0,...,0), е,=(0,1,...,0), ... е„=(0,0,...,п), под действием матрицы (оператора) А = [а,») переходит в параллелепипед, построенный на вектор-столбцах ли-[ ] [ (!.2) Обьем этого параллелепипеда естественно считать коэффициентом искалсевцл объема б(А) линейного оператора (матрицы) А. С тем же коэффициентом искажения объема происходит преобразование любого тела П.
Действительно, П можно разбить на 2» мелких кубиков (со стороной в и объемом в"), и тем самым сколь угодно точно приблизить объем П величиной 1»Г. в". Каждый кубик под действием матрицы А перейдет в паралле- Правило умнозкенця матрац возникает автоматически, если на матрицы смотреть как на линейные операторы. Вектор х пол действием оператора В переходит в х = Вх, а вектор л под действием оператора А переходит в у = Ах. Результирующее преобразование х в у определяется матрицей С = АВ с элементами с,, формула вычисления которых (1.1) определяетсл обыкновенным приведением подобных.
Матрица А с элементами ан = ад называется трвцспоцирвванной к А. т т Иногда вместо А используют обозначение А'. Обратной к А называют матрицу А ', такую что 12 Глава 1. Вспомогательный материал лепипед объема б(А) е". Поэтому ясно, что матрица А искажает абьем любого тела в б(А) раз. Коэффициент искажения объема — со знаком плюс (минус), если векторы (1Д) образуют правую (левую) систему координат — называется детерминантам А и обозначается как бег А, либо (А(. Из определения очевидно: бег АВ = дег А бег В. Детерминанты в линейном анализе играют важную роль в первую очередь потому, что позволяют отличить вырожденную матрицу, для которой бег А = О, от невыражденной (дег А ~ О). Вырожденная матрица А: ° не имеет обратной А '; ° сплюигивает объемы (да нуля); ° любые и линейно независимых векторов переводит в линейно зависимые векторы; ° имеет (абязательна) линейно зависимые вектор-строки и линейно зависимые вектор-столбцы; ° приводит к уравнению Ах = Ь, которое не решается при Ь ~ О, а при Ь = О— имеет бесконечно много решений.
Замена координат. При переходе к другой (штрихованной) системе координат с помощью невырожденной матрицы Т: х = Тх, соотношение и = Ао после подстановки и = Тц', и = Ти' и умножения слева на Т ~ переходит в и' = Т АТи'. Поэтому в новой (штрихованной) системе координат линейному оператору А соответствует матрица А' = Т ~ АТ (!.3) Исходя из (1.3) преобразование Т пытаются выбрать так, чтобы матрица приобрела в новой системе координат наиболее простой вид. Главными инвариантами матрицы А являются собственные значения Карпи характеристического уравнения г1ег (А — ЛТ) = О. 13 1.3.
Прямоугольные матрицы Другими словами, собственные значения'1 Л,,..., Л„матрицы А — это те значения параметра Л, при которых уравнение (! А) Ах = Лх имеет ненулевые решения, которые называют собственными векторами матрицы А. Если существует и различных собственных векторов «1, то их можно принять за единичные орты новой системы координат, и тогда в этой системе матрица Т 'АТ принимает диагональный вид, Т 'АТ = д)ай (Лн..., Л„).
Разумеется, Т может содержать комплексные элементы, поскольку собственные значения могут быть комплексными. Рассмотрение комплексных векторов и матриц — В какой-то степени бояьнои вопрос. Начинается-то все с обыкновенных чисел. Но в какихто ситуациях без выхода в комплексную плоскост~ перестает решаться характеристическое уравнение. Потом возникают проблемы с собственными векторами.
Затем — с функциями от матриц. В конце концов получается, что С самого начала проще махнуть рукой— и все считать комплексным. Тому, кто не проходит самостоятельно такой ауть вынузкденних уступок, комплексные матрицы казкутся злонаиеренной выдумкой. Погика комплексификации математического знания более-менее прослелсивается в [8).
1.3. Прямоугольные матрицы Прямоугольную матрицу А, имеющую гп строк и и столбцов, называют пз х и матрицей. Кое-что при переходе от квадратных матриц к прямоугольным теряет смысл (детерминант, например), но многое — сохраняется. С некоторыми уточнениями, конечно. Например, произведение С = АВ вычисляется по той же формуле (1.1), но теперь при условии, что число столбцов А равно числу строк В. В противном случае АВ не имеет смысла.
Идеология прямоугольных матриц позволяет освободиться от разграничения матриц и векторов. Теперь все можно считать матрицами — но надо следить, какую «матрицу» прелставляет собой вектор — вектор-столбец или вектор- строку? Чтобы квааратную матрицу А умножать на х справа, надо, чтобы х бьш обязательно вектор-столбцом, который мозкно транспонировать, превратив его в вектор-строку хт, — и тогда возможно хтА. Поэтому, как правило, векторы считаются вектор-столбцами. Скалярное произведение (х, у) при этом записывается в виде х у.
з1 Множества собственных значений называют иногда спектром, а максимальное значение модуля 1Ль! — спектральным радиусам матрнны А. «! Если не существует (что может быть лишь при наличии равных собственных значений), — приходится использовать жорданоаы формы (11). 14 Глава 1. Вспомогательный материал Такая стандартизация удобна и постепенно становится общепринятой. Но у любого стандарта есть противники. Вопрос чисто психологический.
Многим удобнее вектор записывать в строчку и так его и мыслить. А уж если в голове матрицы и векторы лежат на разных полочках, то их объединение в одну категорию — раздражает. Если кто»ю знает, как с этим бороться, то у него широкое поле деятельности П. 1.3.1. Определение. максимальное число линейно незовисимык векнюр-строк либо вектор-столбцов матрицы А называется еерангом и обозначается как гаях А. В данном определении «заложена теорема», поскольку совпадение максимальною числа линейно независимых строк и столбцов сразу неочевидно, но это так. 1.4. Квадратичные формы При изучении линейных сне~ем широко используются квадратичные функции (формы) ()гх, х) = ~ в,зх;х,, задаваемые с помощью квадратной матрицы (г, которая обычно предполагается симметричнойп, вц = вн, поскольку в разложении (рх, х) коэффициент при х,х, равен в,.+в, — и матрицу можно симметризовать, заменив вц на полусумму (в, -~- взг)/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
