Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Но при необходимости рассмотрения скалярного произведения (е'х, р) симметризация не проходит, и тогда работает формула При переходе к друюй (штрихованной) системе координат с помощью невырожденной матрицы Я; х = Ях, функция ()»х, х) после подстановки х = Ях' переходит в (г'х, х) = ()гЯх', Ях') = (Я 5гЯх', х') = (г"х', х'), откуда ясно, что матрица )», залающая квадратичную форму, прилинейной замене системы координат преобразуется по правилу У'=Я УЯ, (Е5) 5) От внедрения метрической системы в Англии — до примирения католиков с протестантами. Стандартом считается название симметрическая». 1.5.

Нормы в Я" 15 что отличается от (1.3). Но для ортогональных преобразований '1 Вт и тогла формулы (!.3) и (1.5) совпадают. 1.5. НОРМЫ В Яп Норма может определиться не только как )(х(( = х/(х, х). Вообще, нормой вектора х Е В" называют пололсительное число (ф), удовлетворяюшее следуюшим требованиям: 1. ))х)(» В еэ х = б; 2. 1!в+ у)) ~< ~)х)(+ )(у() (неравенство треугольника); 3. )(ах)~ = )а( )(х)~ для любого а Е ( — сю, оо). Всякая норма порождает метрику р(х, у) = )(х — у)(, Помимо евклидовой нормы ))х(( = х/(х, х) часю используется норма ЦхЦг = «/(х,)гх), гле у — положительно определенная матрица; а также ))х))м = шах )х,( (кубическая норма), 1 Л ()х((г — ~~ )х;( (оюпаэдрическая норма) »=! Норма однозначно определяется указанием единичного шара, в качестве которого может быть «назначено» любое выпуклое центрально-симметричное тело. Выбор нормы «под задачу», как правило, сушественно облегчает решение.

Основу свободного манипулирования нормами дает следуюшее утверждение. 1.5.1. В 3ь" все нормы эквивалентны (с точки зрения сходимости), т. е, для любых двух норм )) $, () )(з мозкно указать такие константы а и )3, что )(х((, < а~)х()з, ))х(5 < Щх((, при любом х б Я". »1 При ортоюиальиом преобраюааиии длина вектора ие меняется, поэтому (х,х) = (Ях, Ях) = (х, Я*бе), т.е.

В~В = з, что и означает Вг = Я '. 16 Глава 1. Вспомогательный материал Норма олнозначно определяется заданием единичного шара, а функция Р(х) = ))х)), на множестве ))х)1з — — 1 достигает своих минимального (7 > О) и максимального (б > О) значений'1. Поэтому 7))х))т < ))х)11 < Цх1)т при любом х Е В", что и доказывает утверждение 1.5,1, Нормой матрицы А называют положительное число ()А1), удовлетворяющее тем же самым условиям 1-3, если в них векторы заменить на матрицы, Поскольку матрицы — это, по существу, линейные операторы в Я", дополнительно необходимо согласование норм векторов и матриц, чтобы была возможность оценки образов Ах.

Норма матрицы ))А)) называется сомасованяой с нормой вектора 1)х1), если для любых А и х ))Ах)) < ))А1) ))х)) и для любых матриц А и В выполняется неравенство ))АВ)) < )1А)) ))В)). Чтобы неравенство ))Ах)) < ))А1) .))х)) лавало хорошую оценку, оно должно быть неулучшаемо.

Это мотивирует выделение в самостоятельное понятие подчиненной нормы матрицы: ))А1) = шах ))Ах1). Ы=~ Нормам )) ))~ и 11 $ подчинены, соответственно, ь ))А)) = шах ~ )а, ), (строчная норма), г г=! ))А11г — — шах ~ ~1а„.), (столбцовая норма). 3 г=! Евклидовой норме подчинена так называемая спектральная норма матрицы, равная квадратному корню из максимального модуля собственною числа матрицы А А. С вычислительной точки зрения это не совсем удобно — поэтому в ьевклиловом случае» чаще используют согласованную норму ))А)~ = ®ц, где суммирование идет по всем ь, у. 1.6.

Функции и пространства Функцию у(х) называют непрерывной в точке х„если по любому е > 0 можно указать такое б, что 1)х — хо!! < б ~ У(х) У(хь))) < е ь1 Речь идет о конечномерном пространстве. 17 1.7. Принцип сжимающих отображений Понятно, что б здесь определяется как величиной е > О, так и ха.

Если б от хч— не зависит, — говорят о равномерной непрерывности 7(х). Если 7 зависит еще и от параметра С, т. е. 7(х, С), то указание б по е > О и хе определяется, в общем случае, еше и параметром С. Если от С не зависит,— говорят о равностепенной непрерывности /(х, С) по С в точке ха. Множество непрерывных функций х(С), заданных на компактном множестве П, с нормой ЦхЦ = щах 1х(С)/ называют пространством непрерывных функций и обозначают С(П), либо просто С, если понятно, о каком П идет речь.

Пространство непрерывно дифференцируемых функций х(С) с нормой ЦхЦ = щах(1х(С)/ + 1х (С)О обозначают как С'(П]. 1.7. Принцип сжимающих отображений Точку х*, удовлетворяющую уравнению х= 7(х) (хЕХ), называют неподвижнои точкой оператора у. Пара (Х, р), где р(х, у) = Цх — уЦ, является полным метрическим пространством, если любая последовательность Коши сходится. Другими словами, (Х, р) полно, если из р(х„, х ) ь О вытекает существование предела у последовательности х„. 1.7.1. Отображение 7, действующее в метрическом пространстве (Х, р), назы- вается сзкимающюн Сезкатиемй если существует такое Л < 1, что (1.6) р(/(х), /(у)) < Лр(х, у) для любых х, у Е Х.

1.7.2. Всякое сжимающее отображение С', действующее в полном метрическом пространстве, имеет неподвилсную точку х', которал единственна. Последовательные приближения х + = у(х ) сходятся к х' независимо от хе. кч! и Покажем, что любая последовательность х", определяемая итерационной процедурой хьь' = 7(хк), является последовательностью Коши.

Очевидно, Цх" — * Ц < Цх" — У(х")Ц + ЦУ(х") — У(х Н! + Цу(х") — * Ц, т.е 11х" — х 11 < Ц(о(х")11 + Л11х" — х 11+ /)(з(х )11, где уз(х) = р(х, 1(х)). 18 Глава 1. Вспомогательный материал Следовательно, 11х" — х 11 < -+0 (п,пз-+ со). х(х") + х(х ) 1 — Л Здесь мы воспользовались тем, что у(х) на любой последовательности хь+' = у(х") убывает до нуля, поскольку 1е(х~т') ( Лр(х"), что вмтекает из (1.6). Остается заметить, что пространство (Л, р) полно. Поэтому ха -+ х*. В силу (1.6) оператор т непрерывен. Поэтому х' = т(х'). 1(вух неподвижных точек быль не может, благодаря тому же неравенству (1.6).

ЧАСть ~ ОСНОВЫ ТЕОРИИ Опасно понимать новые вещи слишком быстро. Дж. Уоррен Изложение рассчитано на тех, кто с дифурами уже имел дело. В той или иной степени — но, так или иначе, приобрел первые навыки. Без этого любая попытка овладеть теорией «с листа» просто бессмысленна, в чем полезно отдавать себе отчет, чтобы не превратить жизнь в пустое занятие. Никто же не учится танцевать, не вставая с постели. Математика в этом отношении ничуть не проще. Но и не сложнее, кстати. Практика дает потрясающие результаты, о чем большинство не подозревает. В любом случае изначально требуются определенные самостоятельные шаги, чтобы «не читать иностранные книги, не зная языка».

Привыкнуть к основным понятиям и повозиться с простейшими задачами — вот что необходимо на этапе предварительного знакомства с предметом. Успех дела на 90% определяется собственными усилиями. Черед нормального учебника настает в тот момент, когда в результате самостоятельной работы потенциал недоумения достигает определенного накала. Глава 2 Общая картина и опорные точки 2.1. Объект изучения из(х("),..., х, х, 1) = О, где функция зр задана, а х(ь) подлежит определению.

Переменная 1 — как правило, время '). Для совокупностей функций х(в) = (х1(1),..., хп(с)) рассматривают системы ди4ференциальных уравнений 2) хь = Яхт,...,хп,1), к=1,...,п, что записывается в векторной форме как х = г(х,б) (2.1) и далее служит основным объектом изучения к виду (2л) легко приводится дифур п-го порддка р'ю= р(р1" ' " р'.р,г) с помогдью замены х, = у, х, = р', ..., х„= дю '1, которая дает систему (2.2) Х1 = Хт, Хт = Хз, Хч (х(хз ., Хт, Хн Й).

(2.З) и Но изредка встречаются задачи с другой содержательной ннтерпретапней. 1точка сверху обозначает первую производную. Дифференциальные уравнения (дифуры) — это уравнения, содер- жагцие производные. Например, обыкновенное диф4еренциальное уравнение и-го порядка, 2.1. Обьект изучения Специфика(2 3) такова,чтодифференцируемостьрешения х влечет засобой и-кратную дифференцируемость координаты а~ — — у. Поэтому (2.2) и (2.3) действительно эквивалентны. На практике сушествует много промежуточных форм дифференциальных уравнений. Например, системы уравнений второго порядкал, которые можно изучать «как есть», а можно привалить сначала к виду (2.1). Или, скажем, уравнения Ф(В, х, т) = О, не разрешенные относительно производной, где есть, конечно, своя специфика, но трудности вторичны О.

К тому же, если отвлекаться на осмотр каждого закоулка — леса за деревьями не увидишь. Фазовое пространство. Систему (2.1) удобно трактовать как закон движения точки ж в неком п-мерном (вспомогательном, фиктивном) пространстве тая, которое принято называть фазовым, а переменные рй — фазовыми. В случае авшономлой системы з), х = Г(х), движению точки соответствует траектория в 22Я. Совокупность всех таких траекторий называют филовым лортретолг а) Рнс. 2.1.

Карта воздушных потоков (а), смерч (б) системы. Говорят также о лоле скоростей ~(х), определяющем направление допустимого движения в каждой точке ш фазового пространства. Фазовый портрет системы может выглядеть, например, как на рис.2.1а. Трехмерный вариант потоков при образовании смерча изображен на рис. 2.1 б. Оба приведенных примера соответствуют тому относительно редкому случаю, когда фазовое пространство совпадает с обычным физическим иростран- Это особенно характерно лля механических приложений.

Вторичные трудности бывают хуже первичных. Если уравнение Ф(а, а, Г) = О не везде разрешимо относительно з и траектория а(Г) подходит к точке неразрешимости,— возникает парааокс невозможности движения (например, парадокс Пенлеве лри сухом скольжении тяжелой точки иолвеса маятника !2!). Причина обычно заключается в иеалекватиости модели Ф(а, а, Г) = О реальной физической задаче.

Характеристики

Список файлов книги