Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 7
Текст из файла (страница 7)
19) с опорой иа известную (для однородных функций) формулу эйлера (7) д17 ,')" — *; = аи. да, 10 1 й — индуктивность, а — сопротивление, С вЂ” емкость. 2.6. Движение по градиенту 41 варьировании Ь, й и С. В этом трудно не заполозрить действие теоремы вириала. При механической интерпретации исходного уравнения это действительно так— работает теорема вириала на бесконечном промежутке времени (без усреднения). 2.6.
Движение по градиенту Довольно часто встречаются уравнения х = ~7оз(х), где 17гр(х) — градиент уг(х), т. е. вектор (2.22) ( ~р ур 1 агам гр(х) = ~ —,..., — ~. дхг' гухп Рис. 2.6. г = 1Р(х У) Соответствующий фазовый портрет (2.22) в плоскости (х, у) (на фоне контуров постоянного уровня) показан на рис. 2.6 б. Движение (2.22) слишком наглядно и удобно, чтобы в каждом конкретном случае х = 7'(х), т. е. хг = 7'г(х), х„= 7п(х) (2.23) Один из источников происхождения систем (2.22) — численные процедуры поиска локальных максимумов функции гр(х). На рис. 2.6 а изображен график некой функции д = гр(х, у) двух переменных — линии постоянного уровня уг(х, у) даны в проекции на плоскость (х, у), 42 Глава 2. Общая картина и опорные точки не попытаться найти такой потенциал |р, что ~7у(х) = 1(х). В случае успеха задача становится прозрачной.
Успех обеспечивается равенством всех перекрестных производных, что случается не так часто. Однако наличия «точного» потенциала на самом деле не требуется (для прозрачности). Достаточно существования такого потенциала |р, что движение (2.23) происходит под острым углом к градиенту |р, т.е. (27|р(х), 1(х)) > О. Удобства сохраняются, поскольку траектория также взбирается в гору, хотя уже и не строго перпендикулярно вверх. Движение можно характеризовать как лсевдоградиентное. Пусть < Х| = Л(Х2) — Х|, Х2 Л(Х|) — Х2, н функции Л, 12 монотонны, 1,'(х|) ) О, 12(х|) ) О. Тогла движение < х| — — 12(х|)(Л(х2) — х|), Х2 = Л(Х2)(12(х|) — Х2) происхолит пол острым углом к исхолному и имеет потенциальный характер, в силу равенства перекрестных производных у правых частей.
Соответствую|ций потенциал легко находится р(*) = Л (х ) Л(х ) — * 1 (х ) — * 1 (х ) — / 1 ( ) 4 — / 1 ОО д 2Л. Уравнения с частными производными Производная по времени скалярной функции и(х) вдоль траекторий х(г) автономного уравнения 43 2.7. Уравнения с частными производными очевидно, равна т. е. скалярному произведению градиента в(х) на вектор 7(х). Величину 27и 7(х) называют еше производной Ли, а также производной и(х) по направлению векторного поля 7" (х), либо про.
изводной в силу уравнения х = з'(х). Первые интегралы. Если производная и(х) в силу х = 7"(х) равна нулю, это значит, что траектории х(1) целиком располагаются иа поверхностях постоянного уровня и(х) = сопзг. В этом случае говорят, что и(х) является первым интегралом системы зз) х = 7(х). Легко видеть, что можно сказать и по-другому. Любое (нетривиальное) решение и(х) ~ сопя( линейного уравнения с частными производными ( ЧП-уравнения) туп ° ) (х) = О, т.
е. (2.24) является первым интегралом системы х = 7(х). Надо признать, что связь между (2.24) и уравнением характеристикы) х = 7(х) — больше дает первому уравнению, нежели второму. О каком из двух речь ни заходит, дело обычно заканчивается решением х = 7(х). Поэтому ЧП-уравнение первого порядка (2.24) — это не столько вычислительный инструмент, сколько полезная категория мышления. 22) Первым интегралолг неавтономной системы й = 7(в,)) называют первый интеграл ° атономной системы й = 7(е,)), 2 =!.
23) ' траектории й =- /(в) называют кораквгеригтикама уравнения (2.24). Глава 2. Общая картина и опорные точки 44 Наличие первых интегралов у автономной системы, вообще говоря, релкость. В том смысле, что взятое наугад уравнение, как правило, не имеет первых интегралов"' — т. е. траектории х(г) не укладываются на поверхности. Соответственно, линейное уравнение (2.24) имеет нетривиальное решение лишь в исключительных случаях. ггинамика физических систем дает многочисяенные примеры таких исключений — сохранение энергии, количества движения и т.
п. Обнаружение первых интегралов в большинстве случаев обеспечивает прорыв в решении задачи. Если говорить о достаточно малых окрестностях точек фазового пространства, то в них первые интегралы существуют «всегла», но от этого пользы уже не так много. Причина (локального существования) заключается в том, что в малой окрестности любой точки я = а, в которой 7(а) ~ О, траектории ф = 7(х) почти параллельны, и их можно локальной заменой переменных (лиффеоморфизмом) перевести в систему У~ = 1 Уг = О, У» = О, (2.25) имеющую и — ! интегралов движения; Уг =с>, Уч=сч. Возможность локального преобразования гладкого движении ф = 7(х) в параллельное вила (2.25) называют глеоремой о вылрлмлелеа векторного поля (см. например, ]3, 27]), которая нерелко оказывается удобным инструментом. Каждый первый интеграл позволяет понизить порядок изучаемой системы на единицу.
Скажем, если и(х) — первый интеграл системы х = 2(х), то выражая, например, х„из уравнения и(х) = с (при надлежашем выборе константы с), получим х„= ц>(хг,..., х„г). Теперь остается решить систему х; = Д(хг,..., х„г, гр(хп..., хп г)) (г' = 1,..., и — 1), что отражает суть идеи. умножая уравнение'И гпй = -(7'(х) на ф, получаем эквивалентное— — ( ч- (7(*)) =, Такого сорта утверждения, равно как и декларации о существовании неинтегрни> руемы» уравнений, в стандартных курсах по лифферснциагьным уравнениям «повнсаюг необсснованнммн», пасксльк> находятся на другой территории — в теории групп Лн. >я Описывающее движение точки массы ш а потенциальном поле.
2.8. Об уравнениях первого порядка которое после интегрирования дает 2 + ()(х) = Е. (2.26) Интеграл девлгенвя (2.26) в механической интерпретации представляет собой закон сохранения энергии, из которого в данном случае следует 2 х = ~ — (я — (г(х)). Таким образом, вместо исходного уравнения второго порядка)б) остается проинтегрировать уравнение первого порядка. 2.8. Об уравнениях первого порядка Дифференциальные уравнения начинались, естественно, с изучения простейших ситуаций. Точнее говоря, — с ситуаций, которые казались простейшими. К таковым в первую очередь были отнесены скалярные уравнения х = у(х, С), поделенные на рял категорий. Всего лве скалярные переменные — казалось бы, что может быть проще.
Но не тут-то было. Линейное уравнение х = а(С)х -)- Ь(С), правда, легко решалось в общем виде '"'. Следующим шагом было уравнение Риккати х — 2а(С)х — б(С) + с(С)х = О, (2.27) )б) Эквивалентного системе Х = у, у = — у'(х). )г) Жаргонное сокращение лля уравнений математической физики. кч Сначала решается однородное уравнение х = а(С)х разаеленнелб переменных, вх/х = а(С) а, а потом варьируется константа, сы. раздел 3.6.
Рассмотрение линейных ЧП-уравнений, стоящих особняком, дает в некотором роде превратное представление о предмете, если говорить об уравнениях с частными производными вообще. Дело в том, что уравнения более высоких порядков составляют костяк теоретической физики, и даже называются уравнениями математической физики. Конечно, с точки зрения задач данного курса урматызт) расположены вдалеке, но их было бы неправильно отодвигать совсем за горизонт. Тем более, что в некоторых ракурсах — имеются тесные связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями (см. раздел 5.7).
46 Глава 2. Общая картина и опорные точки которое, как принято утверждать, возникает в огромном количестве прикладных задач. Определенная доля лукавства здесь состоит в том, что уравнение (2.27) появляется в любой области, где возникает желание учесть нелинейные эффекты, ограничиваясь простейшим вариантом квадратичной добавки. Но уравнение (2.27) интересно само по себе, с чисто математической точки зрения— как первый шаг в нелинейный океан.
Его популярности немало способствовала также принципиальная теорема Лиувилля о том, что решение (2.27) не всегда можно выразить в квадратурах от элементарных функциях. Скажем, уравнение х = ш2 — 1 не решается в квадратурах, — любопытно, что подстановка х = иуи сводит его к линейному уравнению второго порядка б+1и = О. Сведение нелинейного уравнения к линейному с помошью нелинейной замены переменных не всегда возможно, но встречается довольно часто (в учебниках). Решение линейной системы уравнений, например < и = а(8)и + 6(1)о, о = сфи — а(г)о, при условии о(г) ~ О на рассматриваемом промежутке времени,— дает решение х(Ц = и(1)/о(1) обшего уравнения (2.27).
Последний факт в комбинации с теоремой Лиувилля показывает, что неавтономные линейные уравнения второго порядка и выше тоже не всегла решаются в квадратурах от элементарных функций. Утверждения о неразрешимости иногда воспринимаются как нечто катастрофичное, Но все они относятся к разряду рациональной невыразимости диаюнали квадрата через сторону, что не мешает измерению линеикои и приближенному вычислению. Использование дополнительных инструментов иногда преврашает неразрешимые задачи в разрешимые. Вот как работает, например, квазилииеаризапия "'. Подставляя о' = шах[2но — н21 292 Беллман Р., Калиба Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
