Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Кяазилииеаризаиия и нелинейные краевые залачи. 47 2.8. Об уравнениях первого порядка Ь уравнение Риккати е+ е'+р(2)е+ О(2) = 0, (2.28) приходим к е = или[и — 2ие — р(Г)е — 0(2)) Уравнение было бы линейным — не будь операции азятия минимума. Но мини- мизацин не портит задачу окончательно. Линейное уравнение в = и' — 2ив — р(г)в — а(2) с любой фиксированной функцией и(г) обладает тем свойством, что мО е(0) = в(0) ~ е(Г) < в(т). В итоге ( - ЛзжтмрОтй Н ( Г ДЗ Отпер~глот е(г) = пнп е о ~е(0) + 22 ео (и'(л) — Ч(л)! 4а о Интересно, что подавляющая часть населения воспринимает последнее аыражение как решение исходного дифференциального уравнения (2.28). МеньшинСтао предпочитает считать решением многоэтажной минимизации — саеление ее к уравнению (2.28).
Упршкнение Уравнение Бернулли х = о(С)х+ Ь(2)х', а Ф $, подстановкой у = х' ' приводится к линейному. Интегрирующий множитель. В тех случаях, когда дифференциальНое уравнение проистекает из рассмотрения не динамических задач, функция и аргумент оказываются в определенном смысле равноправными — и тогда гзд/г(х = 7'(х, у) часто записывают в форме 4у — ('(х, у) г(х = О.
Либо рассматривается более общий случай Р(х, у) г(х + 9(х, д) г(у = О. (2.29) Если левая часть (2.29) представляет собой дифференциал некоторой функции (потенциала) (р(х, д), т. е. г((р = Р гзх + Я гзу, что означает — = Р(х,д), — = Д(х,у), д(р др дх дд (2.ЗО) на См. раздел 24 — о днфференинольных неравенствах. 48 Глава 2.
Общая картина и опорные точки то это сразу лает первый интеграл у(х, у) = с и тем самым решает исходное уравнение. Перекрестные производные у 9г, как известно, равны, дг р дг1г дхду дудх откуда, в силу (2.30), (2.31) что, собственно, и является достаточным условием существования потенциала з'1 у(х, у). Поскольку умножение (2.29) на ненулевой множитель р(х, д) не меняет уравнения по сути, — потенциал 9г существует и в том случае, когда условию типа (2.31) удовлетворяет уравнение р(х, у)Р(х, у) г1х + р(х, у)9(х, у) г1у = О. Тогда р(х, у) называют интегрирующим множителем, н у определяют, интегрируя дуг = рРдх + р(~Ну, а р предварительно находят, решая уравнение с частными производными дрР дрс) др дх что в общем случае не менее сложно, чем решение исходного уравнения, — но при удаче проливает дополнительный свет на ситуацию.
Иногда проблема интегрирующего множителя возникает не в связи с решением дифференциального уравнения, а в связи с изучением приращения некоторой величины (функции) д, Если условие (2.31) не выполняется, то бд не дифференциал, и д не определяется значениями х и у. Другими словами, переменные ~и= / Рахч-94т. 2.8. Об уравнениях первого порядка 49 (х, у, о) не характеризуют полностью состояние системы.
Если же существует интегрирующий множитель р, то бр о = рР Их+ рч ду становится (говорят — полным) дифференциалом, и ситуация кардинально меняется. Параметры ~х, у, рд) теперь однозначно определяют состояние системы. Историческим примером на эту тему является дифференциал энтропии НЯ = бд/Т. Интегрирующий делитель Т (абсолютная температура) обратил приращение тепла бд в полный дифференциал функции Я.
Глава 3 Линейные уравнения Линейные дифференциальные уравнения образуют маленькую теорию, изложение которой в деталях может занимать сотни страниц. Ядро теории подаается более короткому описанию. 3.1. Исходные понятия В общем случае уравнение (о(х("),..., х~,х,!) = 0 называют линейным, если функция (з линейна по переменным х("). Здесь возможны несколько вариантов. Пинейные уравнения с постояннычи коэффициентамеп однородное х(") + а, х(" ') +... + а„, х'+ а„х = 0 (3.!) и неоднородное х(") +а(х(™+ ... +а„~х + а„х = у(!).
(3 2) Если коэффициенты ая зависят от 1, то (3.!), (3.2) называют уравнениями с переменными коэффициентами. Уравнения (3. !), (3.2) записывают также в виде Ьх = О, Ьх = у(!), где Ь, Ьх = х + а~х +... + а„(х + а„х, (и) (и — 1) з называют дифференциальным оператором. 3.1. Исходные понятия 51 Бывает, что такого рода стенографические трюки воспринимаются в штыки. Дескать, зачем вводить лишние понятия и названия— экономия чернил копеечная, а голова забиваезпся. Русский же язык никто не пытается подменить стенографией.
Однако в математике *стенография» — едва ли не главный инструмент. Переход на лаконичный стиль очень часто производит качественныи скачок в свободе мышления и манипулирования. Оценить выгоды, конечно, можно лишь «в процессе», но легко представить, что имеется в виду. От детальной записи типа (3,!) рябит в глазах, и суть не видна, как не видны очертания материка пешеходу.
Достаточно взять хотя бы само свойство линейности. С помощью Ь оно выражается просто, удобно и наглядно: Ь(х+ ц) = Ьх ч- Ьй. В сложных ситуациях, когда маленькие выгоды нанизываются одна на другую, — суммарный эффект бывает очень большим. В векторном варианте линейные уравнения такзке подразделяются на однородные вида х = Ах (3.3) и неоднородные, х = Ах+ 3(ь), (3.4) в том и другом случае — с постпоянными коэффициенпзами, если элементы матрицы А — числа, и с переменными коэффициенпзами, если элементы матрицы А — функции от ь'. Замена яз — — х, лз — — х', ..., х„= х!" '! приводит (3.!) к линейной системе А =я! хз = лз, ", хь = -а|хь —" — а.-~хз — аьхн т.
е. л = Ал, где О ! О О О ! (3.5) О ... ... О ! — а„| ... — ૠ— а и -а, Изучать линейные дифуры, конечно, имеет смысл с привлечением элементарных понятий линейной алгебры. В противном случае лучше занимагпься другим делом. И причина даже не в том, что матричные инструменты дают большой выигрыш в краткости изложения. Просто линейные дифуры находятся на том этаже знания, где покоординатная запись не улавливает суть явлений. 52 Глава 3.
Линейные уравнения Разумеется, жизнь мажет сложиться так, что изучать дифуры прихолится без линейной алгебры в багаже. Тогда лучше всего не замахиваться на уравнения общего вида, и ограничиться изучением простейших систем типа (2.! 2), в крайнем случае — пары взаимосвязанных осцилляторов, чтобы аллергическая реакция не возникла раньше времени. Такое начало в обучении, может быть, даже оптимально, ибо «примеры более поучительны, чем правил໠— и начинать с матриц без предварительного знакомства с примерами тоже плохо. 3.2.
Принципы суперпозиции Когда результируюший эффект от нескольких независимых возлействий представляет собой сумму эффектов, вызываемых кажлым воздействием в отлельности, — говорят, что система удовлетворяет принципу суперпозиция. Для линейных однородных уравнений (с коэффициентами, вообще говоря, зависящими от времени) принцип суперпозиции обычно формулируется так.
Если х) (1) и х2(Ь) — решения (3.1), то решением является также х(1) = с)х)(1) + сзх2(Ь) при произвольных константах с), с2, — что вытекает из линейности дифференциального оператора Е. Действительно, Ех) = О, ЕХ2 = О, влечет за собой з (С)х) + С2Х2) = С)йх) + С2»»Х2 = О. То же самое справедливо для уравнения (3.3), которому соответ- ствует линейный дифференциальный оператор Ех = х — А(Ь)х. Неоднородные уравнения такому принципу суперпозиции не удовлетворяют, и поэтому, строго говоря, линейными не являются'), хотя и принято их таковыми называть. Но они обладают другой важной особенностью, которая вполне соответствует данному выше «гуманитарному» определению принципа суперпозиции.
Имеется в виду следующее: если х)(1) — решение уравнения Ех = 2)(Ь), а Х2(2) — решение Хх = 22(1), то х)(8) + Х2(1) — решение Ех = 2)(Ь) + Я1). Благодаря этому2), становится возможным о Так же как се = Ь прн Ь ~ О является гнперпласкастью, на не плоскостью, нба не прохолнт через начало координат.
Соответственно, нз се = Ь, су = Ь не слелует с(е .Ь у) = Ь. Что является следствием линейности обратного оператора С 3.2. Принципы суперпозицин 53 решать уравнения Ьх = 7(ь) на основе разложения правой части, например, в ряд Фурье: если хй(г) — решение л х = ай гйп И и Я) = у ай гйп И, то х(ь) = ~у хй(ь) — решение йх = Я). Фундаментальная система решений.
трункдии хз(е),..., х„(с) (скалярные или векторные) определякзтся как линейно незииисимые, если невозможно подо- брать такие константы с„..., с„, среди которых не все нулевые, что сзх,(з) -~-... + сах„(з) = О. В силу принципа суперпозиции, если найдены п линейно независимых решений, хц(г) х1п(с) х~(1) = хп1(~) х„(~) = (3.6) Хпп(ь) линейного однородного уравнения, — обшим решением того же уравнения будет х(8) = с~х~(8) +... + с„х„(ь), (3.7) где констант как раз хватает, чтобы удовлетворить любому началь- ному условию. Совокупность линейно независимых решений (3.6) называют еше фундаментальной системой решений. Объединение столбцов (3.6) в таблицу хц(1) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
