Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 11
Текст из файла (страница 11)
14З Одну вершину всегла можно поместить е нуль заменой системы координат. Ребра х(г) булут обреюеыеать фунламентазьную матрицу. Глава 3. Линейные уравнения поскольку й(г) можно представить сколь угодно точно в виде объединения маленьких параллелепипедов. Пусть теперь речь идет об автономной нелинейной системе х = Дх). О движении в малой окрестности любой точки ха можно судить по линейному приближению у(х).
Имеется в виду следующее. Если х(1) — решение х = у(х), а х(1)+п(1) — решение того же дифура, выходящее из точки х(0) + 0(0), то малые 0(1) удовлетворяют уравнению (см. раздел 4.4) г) = у (х)0 + о(ЙОЦ), ГдЛ(х) Ч где Г'(х) = ~ ~ — матрица Якоби. Таким образом локально дху движение определяется линейным уравнением нб 5) = ~1(х)0. Поэтому, как и в чисто линейном случае, область П(1) можно представить в виде объединения маленьких параллелепипедов К, объем каждого из которых меняется в соответствии с ~е = ггуз(х) . $;.
Разница с линейным случаем лишь в том, что для каждого ~л раньше матрица была одна и та же, теперь для каждого своя — Гз(х). Суммирование по всем $; дает Р = ггу'(х) Л. и Теперь можно учесть, что ггуз(х) — это дивергенция у(х) [7]. Окончательный результат, таким образом, имеет форму что называют теорелеой Лиувилля.
3.9. Неавтономные системы По поводу уравнений х = А(1)х остается заметить, что к уже сказанному принципиально добавить нечего. Существование матрицы 155 Уравнением в варианиах, ем. раздел 4.4. 3.9. Неавтономные системы фундаментальных решений, формула (3.20) решения неоднородного уравнения, принципы суперпозиции — вот, собственно, все, что имеется в сухом осадке.
В отличие от стационарной ситуации, А(С) = А, неавтономное уравнение х = А(С)х интегрируется в исключительных случаях. Кстати, лля интегрируемости х = А(С)х лостаточна «всего лишь» перестановочность А(С) со своим интегралом. Тогда Гаси~О Х(С) = ео фундаментальная матрица решений. Действительно, С жни С шиш Х(С) = ео А(С) = А(С)еа — А(С)Х А(С) = [Ь(С) о(СД ' Отдельного упоминания заслуживает понятие сппряясенной еиенсемы, каковой, по отношению к х = А(С)х, служит у = — А~(С)у.
(3.26) Понятно, что х = А(С)х и (3.26) взаимно сопряжены другдругу. Скалярное произведение любых двух решений х(С), у(С) взаимно сопряженных систем — постоянно, х(С) у(С) = сопзг, что вытекает из СС вЂ (х, у) = (х, у) + (х, у) = (Ах, у) — (х, А у) = О.
с(С Поэтому обшее решение любой из двух взаимно сопряженных систем определяет и первых интегралов другой. Упршкнення ° Если система х = А(С)х самосопряжена, А = -А(С), то матрица Коши Х(С)Х '(а) ортогональна. С подходяшими примерами, конечно, негусто. Один из немногих принадлежит Н. П. Еругину; 70 Глава 3. Линейные уравнения ° Если К(С, в) = Х(С)Х '(в) — матрипа Коши системы х = А(С)х, то решением задачи Коши матричного уравнения У = А(С)У(С) + Сг(С)А (С), р(в) = Нг является К(С) = К(С, в)и'К~(С, в). В прикладных задачах более естественно полагаться на численные методы интегрирования.
Но это касается задач, где нужны сами решения, что случается довольно редко. Большей частью требуется выявление качественных свойств системы: наличие равновесия или периодического режима, их устойчивость и т.п. В такого рода вопросах «аналитическое манипулирование» играет существенно большую роль. И по этой причине различные слабо мотивированные на первый взгляд исследования представляют определенную ценность как основа общих представлений и потенциальный инструмент анализа других задач. Даже если они касаются очень узких секторов неавтономных систем и опираются на малореалистичные предположения. Изыскания, не имеющие ощутимого утилитарного значения, могут быть интересны с математической точки зрения — и это им дает не менее весомое право на существование.
Дело в том, что матемитика — самоиенная вещь. Ингредиент глубинного развития человека. Это очень важный аспект. Угол зрения типа «а какой толк от митематики?» аналогичен взгляду на музыку как на средство повышения удоев молока, — что имеет основания, но не улавливает суть. Чисто прагматичный взгляд губит все, что попадает в фокус. Разумеется, конкретная польза от математики есть, но она — не столько в бухгалтерии и космических полетах, сколько — в психологии, что ли. Знание математики влияет на стиль жизни, мышления, решения бытовых и гуминитарных проблем.
Незаметно, исподволь — но кардинальным образом. Знание математиков это другой фундаменгп для психологический нидстройки. Амулет биланса и магнит стремления к абсолюту. 3.10. Фрагмент из обобщенных функций Обычное понятие функпии р = С (х), как все прзшуманное, в известной степени схоластично. Температура в точке не имеет смысла, — но зто не такая уж беда, Хуже другое.
Универсальная с виду идеология функциональных зависимостей иногда совсем не работает. Как математически выразить, например, плотность 3.10. Фрагмент из обобщенных функций 71 точечного заряда? Знаменитая дельта-функция Дирака в свое время отчасти спасла положение, но — по большому счету — еше сильнее обострила проблему. фундаментальный прорыв в понимании существа дела обеспечили С.Л. Соболев и Л.
Шварц, построившие теорию обобщенных функций [9) и сыгравшие в какойто мере роль Дедекинда на вещественной прямой. Итоговое определение обобшенных функций опирается на понятие пространства Ю основных функций — бесконечно дифференцируемых финишных функций — финитных в том смысле, что (о(к) = 0 вне ограниченной области (не обшей для всех, а своей для каждой гр Е Р).
Обобщенные функции далее определяются как линейные функционалы )ь) у' над Р, ставящие любой функции гр б Ю в соответствие число (у, )р). Простейший пример линейного функционала дает интегральное представ- ление (1,(в) = /1(кМ(*)г(* (3.27) не исчерпывающее, однако, всех возможностей, а уточнения типа того, что пространство обобщенных функций — это пространство Р', сопряженное к Р, в котором сходимость определяется слабой топологией, порождаемой скалярным произведением, — не годятся для первою знакомства. Если уж цивилизация как единый биологический организм бьша вынужлена постигать обобщенные функции кустарными методами, то это тем более показано дяя инливидуального пути. Дельта-функция б(х) служит тем эталоном, на котором становится ясной суть проблемы.
Изначально б(а) определялась 16) Линейность ) означает ()' а~о|+ азот) = а~(З',)з~) -) аз()',р)) для любых действительным а, и аз. Действительные числа существовали, конечно, и до Дедекинда, — если можно говорить о существовании чего-то, не имеющего ясного определения. Дедекинд внес понимание и логику в манипулирование числами (7). То же самое сделали Соболев и Шварц с «противоестественными» объектами типа дельта- функции — на фоне предварительных успехов физиков, которые хороши там, где требуется нарушение правил. У них (физиков) нет комплексов, и они спокойно делят на нуль, если обстановка вынухшает. Черед математиков-законодателей наступает, когда из-за «лихих метолов» правда начинает мешаться с ложью, ибо интуиция перестает работать, а законные и незаконные манипуляции выглядят одинаково, как оголенные провода — в том и другом случае.
Глава 3. Линейные уравнения как предел единичных импульсов ГО бе(х), прямоугольной формы (рис. 3.1) либо сглаженной (колоколообразной), — при стремлении к нулю ширины импульса, е -+ О. Трудность заключалась в том, что при 1/е е -+ О никакого разумного предела вроде бы нет. Получается функция б(х), равная бесконечности в нуле и нулю — в остальных точках. б,(х) Однако ситуации, в которых возникала потребность в чем-то подобном, всегда сводились к вариантам, когда д(х) стояла под интегралом.
То есть д(х) нужна была не как функция, а как нечто, обеспечивающее при интегрировании определенный эффект. Но тогда и обыкновенный предел х не нужен был. Достаточно было сходимости — м Е интеграла Рис. 3.1. Прямоугольный импульс б,(х) б,(х)зр(х) е(х -+ зр(О) при б — у О, что позволяло определить дельта-функцию как предел бе(х) + б(х) в смысле бг(х)зР(х) ебх -+ б(х)еР(х) еех.
(3.28) Итак, обобщенная функция б(х) — это «нечто», действующее На ФУНКЦИИ зР Е бл ПО ПРаВИЛУ 17) Характеризуемых условием ( бце) бе = Ь 3.10. Фрагмент иа обобгценнык функций 73 Что касается обычных функций т(х), то они одновременно — и обобшенные, действующие на уз Е зз в рамках определения скалярного произведения (у, уз) = | т(х)уз(я) г)х. Все множество обобщенных функций получается в результате пополнения множества обычных функций пределами уг — з у по типу (3.28). За уточнениями можно обратиться Н к [9).
Производные обобщенных функций определяются равенством (3.29) что можно воспринимать как результат интегрирования по частям левого интеграла. Обращение в нуль слагаемого '9) у(х)уз(х)~ происходит из-за финитности гр(х). Для производной д'(х) равенство (3.29) приводит к б'(х)гр(х) дх = (р'(0). Следствием (3.29) является также важное соотношение д'(х) = д(х), где (у(х) — функция Хэвисайда, единичная ступенька: (1, х>0; гг(х) = ~ ( О, х ( О. ззГ Можно не обращаться, чтобы не терять темпа. Как бы крамольно это нн звучало— поход к врачам чреват болезнями. Трясина мелочей затягивает, — и вернуться к главному не всегда удается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
