Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Устойчивость в целом Об устойчивости в целом говорят, подразумевая асимптотическую устойчивость равновесия, область притяжения которого совпадает со всем фазовым пространством. В скалярном случае х = т(х), если равновесие х' асимптотически устойчиво и единственно, то оно асимптотически устойчиво в целом (ь).
Если функция Ляпунова У(х) убывает при любом х Ф. х', то все траектории х(т) сходится к х' (Ь). Если некоторая функция (с(х) имеет в х' локальный минимум и не имеет других экстремальных точек, то минимум в х является глобальным. Рис. 4.8 наглядно показывает: чтобы локальный минимум не был глобальным — должен Рис. 4.8 быть еще локальный максимум. Вся эта простота рушится в многомерном случае. Положительно определенная функция Ляпунова У(х) может строго убывать при любом х ~ х', но это не мешает траекториям х(8) уходить в бесконечность. Такого сорта примеры до сих пор способны вызывать чувство восхищения, — из-за того, что пространственное воображение у нас не слишком хорошо развито.
В первую очередь речь идет о взаимоотношении локальных и глобальных экстремумов. Пусть уз(х) имеет в точке х* локальный минимум и не имеет других экстремальных точек, т. е. з79з(х) ~ О при х ф х'. Уже на плоскости минимум в х' не обязан быть глобальным. Соответствующие примеры легко строятся на базе следующей конструкции. Представим, что на полосе (рис. 4.9), ограниченной параллельными прямыми АВ и СВ, задана функция у = р(х), график которой представляет собой горный хребет, уходящий «тем выше — чем левееи Уровень (з(х) на прямых АВ и С — нулевой, а срезы р(х) = с > Π— тем левее, чем больше с > О. Наконец.
агап Зз(х) везде отличен от нуля. 95 4.6. Устойчивость в целом Р 0 0 в Рис. 4.9 Таким образом, полоса делит плоскость на лве части (верхнюю и нижнюю), и 1с(х) убывает по мере приближения к АВ и СР. Точнее говоря, градиент р(х) в близких к АВ и СР точках направлен внутрь полосы. Это позволяет продолжать р(х) на всю плоскость «нисходящим образом». Ниже АВ, например, устроить локальный минимум (продавив воронку), а выше СР образовать склон р(х), уходяший, скажем, в минус бесконечность. Следовательно, в многомерном случае при единственном локальном минимуме и отсутствии других критических точек — есть возможность «загнуть график вниз», избегая появления локальных максимумов, как на рис.4.8. Склон р(х) выше СР можно не опускать ниже уровня ез(х*), — и тогда автономная система х = -~7у«(х) будет иметь положительно определенную функцию Ляпунова р(х) — р(х'), везде (кроме х Ф х') строго убывающую, но траектории х(1), начинающиеся выше СР, будут уходить в минус бесконечность.
Рис. 4.10 Уход траекторий х(1) в бесконечность возможен и в том случае, когда единственный локальный минимум функции Ляпунова У(х) является глобальным, но не все области У(х) < с ограничены. Соответствующий пример дан на рис. 4.10, где изображены линии постоянного уровня функции типа 1(х) = з+хт. 1+ хт Траектория х(1) -> со выделена жирным. «Формульный вариант» имеется в (б), 96 Глава 4.
Устойчивость Подобных «неприятностей» можно избежать в дополнительных предположениях. 4.6.1. Теорема. Пусть х* — точка локального миничума функции !О(х), причем т7у(х) ~ О при х Ф х', и выполнено одно из условий: либо !пп !о(х) = оо, 1!щ!- либо !!~7!о(х)/) > ее > О при /!х!! > ге > О. Тогда в х' достигается глобальный минимум функции !о(х). 4.6.2. Если функция Ляпунова ю(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.6. ! и убывает на траекториях (не устающей быстро) системы х = Г(х, ь), то равновесие х" асимптотически устойчиво в целом. (!») 4.7.
Диссипетивные системы В данный контекст естественно вписываются диссипативные системы, характеризуемые тем, что все их траектории со временем входят в некий шар радиуса г и там остаются. Наличие такого свойства бывает ясно из физических соображений, связанных так или иначе с диссипацией энергии. Конечно, если система из-за потерь на трение со временем стремится к равновесию, то она асимптотически устойчива и, тем более, диссипативна. Но у системы может быть источник энергии, который из-за ограниченной мошности не в состоянии компенсировать энергетические потери при больших скоростях, — и тогда движение будет спускаться «на Землю» из любых «заоблачных высот», вечно продолжаясь в рамках энергетического порога.
97 4.8. Проблема Рауса — Гураица 4.7.1. Пусть функция гр(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.6.! и убывает на траекториях (не устаюи(ей быстро) системы х = ( (х, ь) вне ягора ))х)! < Л. Тогда система х = Г(х, ь) диссипативна. (>) Упомянутое выше соображение об использовании удаленного наблюдателя хорошо работает во многих ситуациях, и вполне может быть развито в строгий метод. Иа последней теоремы вытекает диссипативность системы х = Ах + Г(х), где матрица А устойчива, а нелинейная часть Г(х) ограничена, т.
е. Ц(х))) < М. 4.8. Проблема Реуса — Гурвица Матрица А, у которой все собственные значения '~) Ля находятся строго в левой полуплоскости, КеЛЛ < О, — называется устойчивой, или гурвицевой. Теорема 4.4.2 гарантирует, таким образом, асимптотическую устойчивость нулевого равновесия линейной системы х = Ах с устойчивой матрицей. Некоторый словесный каламбур здесь возникает из-за того, что определение устойчивой матрицы неравенствами Ке Ла < О было бы бессмысленно, — траектории х = Ах в этом случае могли бы уходить в бесконечность (из-за секулярных членов). Полиномы (многочлены) Р(Л), все корни Ля которых удовлетворяют условию Ке Ла < О, также называют устойчивыми, либо гурвицевыми, а задачу об устойчивости Р(Л) — проблемой Рауса— Гурвица, которая имеет разнообразные по форме решения (241 При подстановке Л = мо в Р(Л) = Л" + ог Л" ' +...
-~- а„, Л + и„ многочлен Р эаписываетси в форме ~Р(тгр))е"ч ьиг, либо (4.8) Рб») =я(ы)+гл(ы), где о и Л вЂ” многочлены от ы. Например, в случае Р(Л) = Л' + о, Л + вг, я(ы) = -ы + вг Л(ы) = о,ы. ггг то есть корни характеристического полинома Р(Л) = лег (А — Лт). 98 Глава 4. Устойчивость Кривая (4.8) в комплексной плоскости, задаваемая параметром иг, называется амплитудно-фазовой характеристикой полинома, либо годографом Михайлова (см. главу 8).
4.8.1. Критерий Михайлова. Если аргумент Р(тиг) нри изменении из от 0 до +оо меняется на величину и —, то многочлен Р(Л) устойчив. Из представления Р(»м) = (»и — Л,)... (»и — Л„) видно, что изменение аргумента Р(»за) равно сумме приращений аргументов сомножителей (»и — Л»). Изображающая точка (»за — Л») при изменении и от нуля до +ос движется (по комплексной плоскости) вверх вдоль вертикальРмс. 4.11 ной прямой, проходящей через -Л» (рис. 4.11). при этом ясно, что аргумент (»и — Л») меняется на я/2 в случае действительного корня Л» < О, на я/2 — р (рис. 4.11) в случае комплексного корня с вещественной частью Ке Л» < О и на л/2+ гр в случае комплексно сопряженного корня Л'„. Результирующая сумма получается равной пя/2.
На рис. 4.12 даны примеры годографов устойчивых многочленов второго и третьего порядка. Для решения вопроса об изменении аргумента точность, понятно, не нужна. Достаточно прикинуть точки пересечения с осями и направление ухода в бесконечность. Это делается легко и быстро. Рис.
4.12 99 4.9. Линейные неавтономные системы 4.9. Линейные неавтономные системы Проблема устойчивости линейной системы х = А(С)ш является стержневой, поскольку к ней сводится, вообще говоря, вопрос об устойчивости решений системы общего вида ш= С(х,С), в силу линейности уравнения в вариациях '2).
Считается, что эту проблему покрывает лервый мемед Ляпунова, который— в отличие от <второго» вЂ” особой популярности не завоевал, но время от времени оказывается полезным. Канва метода 'е' примерно такова. В основе лежит понятие характеристического локазаглеля, определяемою лля функции у(С) как верхний предел ! Х[Л = !эш —, Сп Ч(С)!.
Очевидно, Х[ее'] = а. Характеристический показатель матрицы А(С) = [а,е(С)] опрелеляется формулой Х[А(С)] = эпах Х[а,е(С)], э» при этом, как выясняется, Х[А(С)] = Х[][А(С)][]. Нечувствительность к выбору нормы здесь объясняется тем, что характеристический показатель ловит порядок роста функции, а все нормы в СС" эквивалентны. В случае ограниченной по норме матрицы А(С) любое решение х(С) системы й = А(С)х имеет конечный характеристический показатель (глеорема Лялулова). Если А(С) = А, то характеристические показатели фундаментальных решений а = Ах совпадают с действительными частями собственных значений ма~рицы А. Все это красиво выглядит, но в большей степени является идеологическим оружием, поскольку вычисление показателей Х в нетривиальных ситуациях весьма проблематично.
Работоспособные критерии устойчивости все-таки в основном опираются на второй метод Ляпунова. Возьмем, например, ээ! Зэа более-менее ясно из раздела 4.4, хотя там и ие расставлены все точки иаа !. ' Э См, например, [! 2]. Глава 4. Устойчивость 100 в качестве функции Ляпунова квадратичную форму тт(х) = х2. Ее производная вдоль траекторий х = А(С)х равна $'(х) = (х, А(С)х) + (А(С)х, х) = (х, (А(С) + А (С))х). Поэтому, если Л(С) обозначает максимальное собственное значение МатрИцЫ А(С) + Ат (С), КОтОрая СИММЕтрИЧНа 'з), — тО ССх — < Л(С)х, й что для решений х(С) после интегрирования дает неравенство Важевского ,Гл()в х~(С) < х~(СО) е'с Понятно, что при Л(С) < ЛО < 0 нулевое равновесие системы х = А(С)х будет асимптотически устойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
