Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В рамках примера (5.15) это соответствует варианту, когда у(х) обращается в нуль несколько раз. Если при этом исключены структурно неустойчивые ситуации касания у(х) оси х, то понятно, что асимптотически устойчивые и вполне неустойчивые колебания будут чередоваться.
Если нулевой фокус устойчив, то ближайший к нему периодический режим вполне неустойчив, и только следующий— устойчив. В этом случае из состояния покоя в устойчивый режим автоколебаний система самопроизвольно не переходит — требуется «раскачка». При этом говорят о жестком режиме возбуждения автоколебаний. Автоколебания на практике играют как положительную роль, так и отрицательную. Классический пример использования автоколебательного режима — генератор электромагнитных волн, 355 Область отталкивания неустойчивого фокуса — »то область притяжения асимптотически устойчивого, который получается из первого при обращении направления движения иа обратное.
114 Глава 5. Колебания рис. 5.5, где колебание в контуре с помощью взаимоиндукции подается на вход усилителя и возвращается обратно после усиления. Уравнением колебаний в данном случае является где д — заряд на конденсаторе, д — сила тока, М вЂ” коэффициент взаимной индукции, Г" (и) — характеристика усилителя «вход-выход» по напряжению (рис.
5.6). Хорошее усиление, разумеется, линейно, но это возможно лишь в определенных границах — далее Г(и) входит в режим насыщения, что ограничивает С выходную мощность. Поэтому система дисси- Л пативна — мощность автоколебаний не может превосходить поток энергии из усилителя. Другой пример — флатгер-эффект, играющий разрушительную роль при движении различных конструкций в жидкости или газе. Генератор Крыло самолета, перископ подводной лодки, лопасти турбины или воздушного винта, — все это при определенном соотношении параметров способно входить в режим автоколебаний, опасный для целостности конструкции. Заметим, что весь разговор в параграфе относится к системам второго порядка. При этом иногда возникает ожидание перехода к общему случаю— к системам более высокой размерности.
Но автоколебания присуши именно сиРис.б.б. Характеристика стемам второго порядка и некоторым «вход-выход» механическим задачам. В общем случае при и > 2 автоколебания — редкость. Причины имеют топологический характер. Если область йв притяжения или отталкивания равновесия ограничена, то граница дйо инвариантна, поскольку движение ж = Г(к) не может уйти с бйо из-за непрерывной зависимости от начальных данных. В случае и = 2 граница бйв в типичных условиях оказывается контуром, двигаясь по которому система неизбежно совершает колебания.
5.5. Нелинейный маятник 115 При и > 2 возможности движения по дйо существенно богаче— и ожидать наличия замкнутых траекторий, вообще говоря, не резон, 5.6. Нелинейный маятник Изучению скалярного уравнения й = 2" (ж) посвящаются целые книги, что комментировать можно по-разному. С одной стороны, Джером говорил: «Мы должны думать не о том, что может пригодиться, а о том, без чего нельзя обойтись», — и эта мысль иногда приходится кстати.
С другой стороны, можно считать, что думать надо о том, о чем думается. И это соображение приходится кстати даже чаще. Чем кончится эквилибристика с уравнением й = Г(ж) загадывать трудно. Не обязательно в самом уравнении могут обнаружиться чудеса, но «перебирание четок» наталкивает на полезные ассоциации '6). Само исходное уравнение действительно в определенном отношении совсем просто.
Повторим выкладку, которая уже делалась при выводе закона сохранения энергии (2.26). Полагая /(х) = — (т'(х) и умножая Я = -(7'(х) на Я, приходим к «эквивалентному» уравнению ' ) )7) которое после интегрирования дает первый интеграл яз — + 67(х) = Л, 2 (5.16) откуда . = »»71)в- «)*)), (5.17) что уже позволяет записать решение в квадратурах. Казалось бы, о чем тут говорить. Маятник с нелинейной пружиной.
Но природа за внешней простотой спрятала достаточно глубокие вещи. В качестве примера рассмотрим популярное уравнение (2.9), т. е. рб+ы япж = О, 2 (5.18) 76) К чему привело упорное тасоваи не примитивных схем в электронике — хорошо известно. Умножение иа производную е, которая временами может обиуляться, порождает )7) свою спепифику.
Очевидную, но требуюшую внимательности. Глава 5. Колебания 116 Рис. 5.7 где переменная обозначена буквой х (а не ш), чтобы подчеркнуть, что специфика «угла> здесь никак не влияет на существо дела. В данном случае потенциальная энергия У(х) = — о72 соах, и при условии Е < о72 — маятник (если это все же маятник) колеблется, а при Е > ц72 — вращается.
В переменных (х, х) фазовый портрет выглядит, как на рис. 5.7. Пограничную ситуацию 8 = ы~ определяет сепаратрисное решение х(1), которое при 1 -+ со стремится к верхнему положению равновесия, х = я, но достичь его эа конечное время не может "1. Подстановка Š— (7(х) = ы'(1-~-сох х) в (5.17) приводит к Рис. 5.8 х х = ~2ы сох —, 2' что интегрируется в элементарных функциях и дает х(1) = 4агсГвемы — л, откуда скорость на сепаратрисе 4ыегн х=х 1 еьи имеет вид уединенной волны (солитона, см.
след. раздел) — рис. 5.8. 1 Теорема 2.3.4. 117 5.6. Нвлинвйный маятник Нелинейный резонанс. Вынужденные колебания "ьх + Оз тйп а = Е СОа Озр 2 (5.19) подчиняются, естественно, другим законам, нежели линейные колебания (5.7). Конечно, интерес представляют точные решения. Но жонглирование формулами иногда мешает открыть глаза, чтобы увидеть простую и ясную картину. Уравнение (5.19) описывает колебания обыкновенного маятника (качелей), физические представления о движении которого в некоторых аспектах перевешивают аналитику. Во-первых, очевидно, что период (частота) колебаний зависит от амплитуды (размаха) '9). Во-вторых, понятно, что совпадение частоты оз с нтекущей частотой собственных колебаний маятника порождает нелинейный резонанс!0), очень похожий (в течение короткого промежутка времени) на обычный.
Из-за нелинейности резонанс прекращается сам по себе, поскольку эффективная раскачка увеличивает амплитуду, а значит, уменьшает частоту собственных колебаний. При диссипации энергии, х+ )ах+ о! з2п ж = е соаазг, 2 ситуация меняется в том смысле, что трение, уменьшая амплитуду, толкает систему обратно к резонансу. В результате могут возникать циклические изменения интенсивности колебаний. Период этих циклов оказывается зависим от соотношения параметров и при увеличении е испытывает различные изменения (бифуркационные удвоения периода с переходом в пределе к хаотическому поведению — см. главу 7). рассмотрение популярного оспиллятора Луффинга в+их+и х+тх =есозю! 3 3 с трением (и > О) или без (и = О) — обнару;кивает примерно ту же картину.
Физически зто вполне ожидаемо, поскольку ясно, что характер колебаний обычного нелинейного маятника (5.)9) определяется впадиной межлу двумя горбами >9! Если Т вЂ” период, А — амплитуда, то Т(А) монотонно возрастает, причем до бесконечности, когда А доходит до верхней точки. Понятно ведь, что при попадании в такт — раскачивание качелей эффективно независимо от амплитуды, Глава 5. Колебания 118 синуса. Сам синус ни при чем.
Картина принципиально не изменится, если вместо синуса взять похожую функцию. Разумеется, поведение уравнения Дуффинга и (5Л 9) будут сильно отличаться друг от друга, если движение уйдет в область высоких потенциальных энергий. 5.7 В и о | В задачах распространения воли классическим является телеграф- ное уравнение 1 иее — — пп = 0 сз (5.20) описываюшее линейные волны в различных средах (струны, звук свет) и) Варианты описания нелинейных волн более разнообразны.
Одним из эталонов здесь служит знаменитое уравнение Кортвега— де Фриза (КдФ-уравнение) Другой удобный эталон — уравнение синус-Гордона В двух последних случаях могут возникать уединенные волны (гелитолы), о которых слишком много говорилось, чтобы здесь повторять. Но если кто, по тем или иным причинам, прошел мимо — стоит иметь в виду, что история открытия солитонов, равно как и само явление, заслуживает внимания.
Леле ведь не в том, что в ряду многочисленных находок появилась еше одна. Уединенные волны разрушили «линейное мировоззрение». Выяснилось, что в природе могут сушествовать немыслимые по старым понятиям феномены. Особенно впечатляюшим оказалось взаимодействие солитонов, которое напоминало взаимодействие частиц и подталкивало к мысли, что материя состоит из солитонов. гн В многомерном случае производная да ах* = — 2 де заменяется иа рзп, 5,7.
Волны и солитоны 119 Это породило значительный всплеск эмоций у философски настроенной части населения, поскольку в понимании устройства мира вариант Библии не всех устраивает. Вернемся, однако, к ЧП-уравнениям. С отдаленных позиций они кажутся иногда чересчур загадочными. Чтобы избавиться от этого наваждения, полезно взглянуть хотя бы один раз на ситуацию изнутри и понять, что речь идет о совсем простых вещах. По крайней мере, — не более сложных, чем тУ = 7".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
