Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Вот как выглядит вывод телеграфного уравнения. Пусть продольное колебание распространяется вдоль стержня, параллельного оси х (рис. 5 9), и(х, 1) обозначает степень сжатия вещества"' в момент 1 в сечении х, имеющем плошадь о", сз'к" = агах — объем между сечениями х и х+ сзх. Сила, действующая в сечении х на объем гак', равна „аи(х, В дх где коэффициент к определяется физикой задачи. Результирующей силой, действующей на гак', будет и тогда закон Ньютона пз ил=и' (т=рЯЬх) — а речь идет о механических микродвижениях масс, составляющих стержень— дает волновое уравнение (5.20), т, е.
и,г = С Нсю где с = тг Й/р — скорость волны, ик — ускорение" . гз) Рис. 5.9. Волна сжатия Все приведенные уравнения имеют решения вида (5.21) и(х, г) = гзз(х — с(), ~П Из которого состоит стержень. и Бесконечно малой массы, заключенной в бесконечно мазом объеме ЬГг. Глава 5. Колебания 120 представляющие собой плоские волны. Геометрически это выглядит так. Если в нулевой момент функция и(х, 0) = гр(х) имеет график, изображенный на рис. 5.10, то с течением времени этот график движется вправо со скоростью с, не меняя формы. Рис. 5.10. Волна Подстановка (5.2!) в (5.20) дает тождество. Это говорит о том, что телеграфному уравнению удовлетворяет любая функция (5.21).
Для окончательного решения задачи надо учитывать те или иные краевые условия, которые у нас остаются за кадром. Подстановка (5.2!) в уравнения Коргвега — де Фриза и синус- Гордона приводит, соответственно, к обыкновенным уравнениям 24) — сгр' — бгргр'+ !рш = О, (! — с )узи + гйп уз = О, (5,22) которые приходится решать, и они, хотя и с техническими труд- ностями, решаются до конца. Идеологически здесь все просто, и не выходит за рамки закона сохранения энергии, что для «синус-Гордона» сразу очевилно, а лля «КдФ» — после предварительного интегрирования (5.22), приводящего к уравнению второго порялка — сш — Зш~+и =со умножение которого на 2р' и повторное интегрирование дает в итоге (уз') = 2уз'+ ср'+ сир+ сз Характер решения последнего уравнения зависит от расположения корней полинома, стояшего в правой части.
На анализ различных возможностей обычно уходит много типографской краски. Но главный интерес представляет сепаратрисное решение, определяемое заданием краевых условий на бесконечности 'т«,!з,уз -40 при те шсо. (5.23) 2«г Где штрихи обозначают дифферсииироваиие фунхиии р по аргументу г = е — сп Условия (5.23) из всех возможностей выделяют ту, в которой у графика полинома три действительных корня и есть лунка— такая же, как у синуса между двумя горбами. На примере второго уравнения (5.22), т.е.
по сути — колебания нелинейного маятника (5.!8), — ситуация совершенно прозрачна. Запас энергии у маятника таков, что добраться до верхней точки он может только 5.7. Волны и солитоны в пределе (оказывается — за бесконечное время). Это и порождает солитонное решение, изображенное на рис.5.7. Ситуация с КЛФ-уравнением принципиально не отличается от этой.
Лунка другая, но суть та же (рис. 5.11). Таким образом, «нужные» решения выделяются из возможных граничными условиями типа (5.23). То, что они оказываются сепаратрисными 25), — это уже следствие. )вис. б.!1 В сушествование уединенной волны долгое время не верили, почему, собственно, КдФ-уравнение и пребывало в забвении чуть ли не целый век. Лотом сразу все спохватились, поскольку стало ясно, что явление все-таки возможно и даже широко распространено. Прежние сомнения опирались на избыток знаний. Дело в том, что линейное уравнение (5.20) описывает распространение волн в идеализированных условиях, в которых солитоны тоже возможны2»1. Но в реальной среде всегда есть дислерсия — колебания разной частоты распространяются с разной скоростью.
Поэтому любое возмушение довольно быстро распадается на гармоники. Для нелинейных волн было естественно ожидать того же эффекта — может быть, в другой аранжировке. Теперь, конечно, любой теоретик объяснит, что в нелинейной среде скорость распространения еше зависит от амплитуды — и одна неприятность в точности компенсирует другую. Но это уже, так или иначе, разговор с натяжкой, ибо об амплитуде чего речь — не вполне ясно. Роль гармоник уже никакая. Скорость действительно зависит от амплитуды, но чего? — Солитона, сигнала совершенно определенной формы, которая «привязана» к скорости распространения.
И поэтому любое возмущение довольно быстро распадается на... солитоны, которые начинают играть роль гармоник. Если один солитон догоняет другой, то на какое-то время они складываются, но «сумма» не удовлетворяет КдФ-уравнению и вынужлена раздвоиться на те же слагаемые. В результате олин солитон проходит сквозь другой, почти не меняя формы. Математическое подкрепление картины опирается на сведение задачи путем нелинейной замены к задаче Штурма — Лиувилля Ьи = Ли с неким линейным дифференциальным оператором Ь и нулевыми условиями на бесконечности.
Возникает спектр «энергий» и набор собственных функций (солитонов) — при этом говорят о бесконечной серии первых интегралов, или законов сохранения (что эффективно отпугивает начинаюших). Задним числом, понятно, легко все это объяснять. Но было время, когда что-либо подобное казалось немыслимым. За историческими и математическими подробностями можно обратиться к (18). 2Я Пограничными между разными типами поведения. 261 С тачки зрения (5.20) все возможна, поскольку любая функция 55(к — ст) — удовлетворяет уравнению. Глава б Возмущения и бифуркации 6.1. Примеры и предостережения Теоремы о непрерывной зависимости решений системы х =,г(х,1,е) от параметра е — настраивают иногда на благодушный лад. При этом упускается из виду, что непрерывность х(ь, е) по е на конечном промежутке по 1 отнюдь не мешает кардинальной перестройке свойств системы. Простейший пример: скалярное уравнение х = ах.
При е = 0 все точки стоят на месте, при а < 0 — нулевое равновесие асимптотически устойчиво, при а > 0 — траектории ухолят в бесконечность (как говорят, система идет вразнос). Тем не менее х(й а) при достаточно малом г > <0 сколь угодно близко к х(й 0), Пример Болели обескураживает сильнее. Маятник на пружине имеет интеграл энергии пах +Йх =Е и периодические (синусоидальные) решения.
Сколь у~одно слабая подкачка энергии ег меняет уравнение движения на гп'+ йх = Л+ ей что после лифференцирования переходит в (гпх + 2йх)х = е. (бл) Последнее уравнение исключает возможность й = 0 в силу а > О. Но тогда решение х(т) не может иметь ни максимума, ни минимума. Это означает, что не только колебания в системе пропали, но не осталось ничего похожего на колебательный процесс с растушей амплитудой. Решения стали возможны только монотонные, колебания испарились в мгновение ока. Такие примеры, конечно, взбадривают, но их нельзя оставлять в ранге чудес. Элементарное переосмысливание здесь все ставит на свои места. 6.2.
Бифуркации 123 Уравнение(6.1) эквивалентно е ах+ 2йх = —, х а это уже совсем другая «история». Производная х ушла в знаменатель, и теперь даже о непрерывной зависимости от параметра нельзя говорить. Делая еше шаг назад (к причинам), остается признать, что равномерная энергетическая подкачка е! оспиллятора без качественных катаклизмов в системе — невозможна. 6.2. Бифуркации Бифуркацией (от лат. Ыгогспв — раздвоенный) называют качественную перестройку системы х = ~(х,е) при переходе параметра е через критическое значение ео.
Вот несколько примеров. В случае х=ех — х 3 критическим (бифуркаиионным) значением является е = О. При е < О система имеет единственное нулевое равновесие, которое асимптотически устойчиво. При сколь угодно малом е > О это равновесие становится неустойчивым, а в его окрестности появляется два других, асимптотически устойчивых равновесия х = хх/е.
Рис. 6.! Глава б. Воамущения и бифуркации 124 Принципиально другой пример дает система х = ех — х 2 с асимптотически устойчивым равновесием при любом е. Другими словами, с равновесием х = 0 локально ничего «бифуркационного» не происходит. Но значение е = 0 критично для системы в целом. В его окрестности рождается новое неустойчивое положение равновесия х = е ' (приходящее из бесконечности), Более того, решения, начинаюшиеся в точках х(0) > е ' > О, оказываются непродолжимы вправо; в случае х(0) < е < 0 — влево.
В системах большей размерности возможности качественных изменений, разумеется, шире. В основном это появление или исчезновение колебаний и их характеристик, не говоря пока об аттракторах. На практике часто встречается бифуркация Андронова — Хопфа, в которой фокус теряет устойчивость, и при этом рождается асимптотически устойчивый цикл. Такие системы были описаны в разделе 5.5. В частности, если в правой части системы уравнений (5А5) положить у(г) = ег — гз, то получается как раз такая бифуркация при прохождении е через нуль. Это, конечно, «рояль в кустах»вЂ” зато максимально просто, Более естественный пример — уравнение Вал-дер-Полл, х — е(1 — х )х+ы~х = О, (6.2) или в записи лля плоскости, < х, =хм хт = е(! — х,)хз - ы хн 2 т (6.3) Линейное приближение (6.3) в окрестности х' = 0 определяется матрицей [ О 11 ~, откуда очевидна устойчивость нулевого равновесия при е < 0 и не-м е1 устойчивость при е > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
