Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Например, канторово множество К представляет собой аттрактор двузначного отображения 7"(х) = 7г(х) 0 Ях), !4~ ~ В частности, неподвижной точкой 7. Апракторами являются асимптотически устойчивые равновесия, траектории автоколебаиий, а также более сложные притягивающие множества. Глава 7. Аттракторы и хаос Рис. 7.3 где 1 1 2 у»)(х) = -х, ~г(х) = -х+ —, 3 ' 3 3' преобразования подобия отрезка [О, 1]. В результате К можно описать как неподвижное множество преобразования Г".

Тот факт, что функции Г) и ~з являются преобразованиями подобия, влечет за собой свойство самоиодобия множества К вЂ” и это характерно для многих аттракторов. Здесь уместно повторить сказанное в (8) по этому поводу. «Все во всем», — говорил Прокл, о чем-то догадываясь. На этом уровне так все и осталось до сих пор. Конечно, явление самоповторения целого в собственных частях, многократного включения своих копий, — обогатилось новыми фактами. Кажаый фрагмент голограммы, например, при освещении лазерным лучом воспроизводит сфотографированный объект целиком. Этакая бесконечность, уходяшая внутрь себя. Голографический «удар по мозгам» полвека навал был очень внушителен.

А теперь еше аттракторы и фракталы, моделирующие бесконечное самовложение на любой вкус (пыль Кантора, ковер Серпинского. снежинка Кох, губка Менгера) '". Дэвид Бом экстраполировал идею целиком на Вселенную. Дескать, мир— это большая голограмма, каждая частичка которой содержит информацию о целом (так называемая холономная лара«)игма). Идея родилась как средство прсололения старого ЭПР-парадокса си из области квантово-механических неприятностей. Суть парадокса в том, что в некоторых ситуациях элементарныс частицы, благодаря уравнению Шредингера, обязаны согласовывать поведение 1«) Не говоря о природных явлениях (рнс.

7.3). ) 7) Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена. 145 7.4. Аттракторы и фракталы друг с другом, как бы мгновенно обмениваясь сигналами — в нарушение запрета сверхсветовых скоростей. Бом повторил фокус с колумбовым яйцом. Парадокса нет, поскольку нет различных частиц. Частицы, мол, не отдельные объекты, а лишь разные лица чего-то единого.

Поэтому никакого обмена сигналами вообше нет, как нет его между отрюкениями одного предмета в разных зеркалах. Чтобы хоть как-то передать невыразимое, Бом «нарисовал» аналогию. Аквариум с рыбкой проецируется на два взаимно перпендикулярных экрана. Наблюдатель, которому видны только экраны, уверен, что есть две рыбки. Потом он замечает, что их поведение согласованно, и делает вывод о наличии мгновенного обмена сигналами.

Вот, собственно, и вся парадигма. Трюк с аквариумом играет решаюшую роль, и на его счет можно отнести всю популярность идеи, которая хуло-бедно до сих пор тлеет. Самое интересное, что Бом, скорей всего, прав, но идея уперлась в глухую стену. Ситуация в чем-то напоминает атмосферу зарождения квантовой механики.

Там что-то должно было колебаться. С мертвой точки ушли, решив: пусть колеблется «непонятно что», и тогда удалось придумать математический инструмент. Здесь пока все застопорилось на аквариуме. Аттрактор не обязательно, но часто оказывается фрактпалом. Фракталами называют множества, имеющие дробную размерносагь. Разумеется, речь идет не об обычной размерности, а о так назы- ваемой размерносаги по Хаусдорфу, которая определяется следую- щим образом. Скажем, множество А в ххп покрывается кубиками со стороной е. Если Ат(е) обозначает минимальное число кубиков, необходимых для покрытия А, и 3У(е) при е -+ О растет пропорци- онально а ~, то величина г( называется размерностью А по Хаусдорфу.

У канто- рова множества эта размерность равна 1ойз 2. В рядовых ситуациях величина с1 Рис. 7.4 равна обычной размерности. Стандартный пример фрактала — кривая Кох. Ее построение начинается с единичного от- резка, который заменяется ломаной из четырех отрезков, каждый из которых имеет длину 1гг3, как на рис. 7.4.

Далее с каждым звеном ломаной операция повторяется (с поправкой на коэф- фициент подобия) и т.д. Длина ломаной и-го порядка получается равной (4/3)п, результируРис.7.5 ющая длина — бесконечна. 146 Глава 7. Агтракгоры и хаос Если построение кривой начинается с треугольника, получается снежинка Кох 1рис. 7.5). Аттрактор, являюшийся фракталом, называют слтранным. 7.5. Странный аттрактор Лоренца При изучении динамических систем значительный интерес представляет движение в пределах самого аттрактора. В случае непрерывного времени разнообразие возможностей на ллоскослзи не очень велико.

Причина проста. Требование единственности решения х = у(х) не позволяет траекториям самопересекаться, и тогда варианты поведения не так многочисленны. В случае п ) 3 запрет самопересечения траекторий уже большой роли не играет, и сложные аттракторы возникают в довольно простых с виду системах. Конечно, исторически первым странным аттрактором был сосуд с газом 'б1. Но этот пример постепенно перестал быть интересным.

Определенный фурор в 1963 году произвел алзлграклгор Порениа, открытый при изучении системы х = — !Ох+ 1Оу, у = 28х — у — хд, 8 д = — — а+ху. 3 Изображение атграктора Лоренца напоминает перекрученный моток ниток. Размерность — дробная, движение траектории — хаотичное, очень чувствительное к заданию начальных данных. Изученная Лоренцем система имеет некоторое отношение к метеорологии. Убедившись в сверхчувствительности исследуемых траекторий, Лоренц написал статью «...может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии породить торнадо в Техасе?» — значительно облегчив жизнь синоптиков.

Открытие Лоренца часто восхваляют за обнаружение детерминированного хаоса в условиях малой размерности, что несколько ~вг Здесь есть некоторое расхождение с определением фрактала как множества с дробной размерностью. Формально это исключает траектории броуновского движения, равно как н кривые ивано, заполняющие квадрат 7.6. Сложное в простом 147 пугает карты.

Траектория одномерной системы хь.ь~ = (Лхь), где фигурные скобки обозначают дробную часть числа, при больших Л дает очень качественный пример хаотичного поведения, чрезвычайно критичного к заданию начальных данных. В непрерывном времени это соответствует движению по окружности, уу=р =~ Ф)=рг с естественной фиксацией угла по модулю 2я. Революционный характер находки Лоренца — в другом.

Был обнаружен очень простой пример невыдуманной динамической системы со сложным поведением, которая возникла в рядовой вычислительной практике. Стало ясно, что детерминированный хаос— это не экзотика, а рутина, которую мы не замечали раньше из-за отсутствия вычислительных средств. Если угодно, ситуация чем-то напоминает указание Вейерштрассом примера нигде не дифференцируемой функции, тогда как заведомо ясно, что почти все функции недифференцируемы. В подобных ситуациях очень важно понимать, как может реализоваться та или иная возможность, и может ли.

Детерминированный хаос мог бы возникать в системах лишь с очень сложным описанием, специально сконструированных, нереалистичных— и тогда бы мы имели дело совсем с другой Вселенной. 7.6. Сложное в простом Надо признать, что эффективное изучение странных аттракторов без современной вычислительной техники едва ли было возможно. Роль компьютеров в математике вообще очень велика, хотя в большинстве случаев это и завуалировано. Примеры и численный эксперимент традиционно относились к разряду вспомогательных средств. Теперь же они постепенно переходят в категорию главенствующих факторов, определяющих успех исследования.

Вот довольно яркий пример простейшей итерационной процедуры ха~1 = ~(хы Л), (7.4) Глава 7. Аттракторы и хаос 148 а) Рис. 7.6 в которой компьютеры позволили обнаружить удивительные явления. Для определенности пусть, например, хая.! = 4Лха(1 — ха). (7.5) Понятно, что итерации функции 7(х) = 4Лх(1 — х) приводят к полиномам возрастающей степени (7~(х) — полипом степени 2"), причем 7""(х) при условии Л Е (О, 1) и любом тс отображает [О, 1] в [О, 1]. У функции 7(х) неподвижная точка одна (Л < 1/4) либо две (1/4 < Л < 1 — рис. 7.ба). С увеличением количества итераций количество неподвижных точек (число пересечений прямой у = х с графиком функции 7'"(х)) может увеличиваться (рис.7.6б) — и определяется значением Л. Неподвижная точка га(х) (рецзение уравнения х = 7~(х)) — это цикл й-ю порядка: после й итераций точка возврашается в исходное положение.

Г)ри увеличении Л в системе происходит бесконечное число бифуркаций. Сначала процедура (7.5) сходится к одному из равновесий, потом начинают появляться циклы удвоения '9), С(2), С(2 ),..., затем при некотором Л„наступает хаос, потом снова циклы и т.д. реализация широкого спектра возможностей на очень простой модели (7.5) сама по себе удивительна.

Характеристики

Список файлов книги