Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 26
Текст из файла (страница 26)
!5) т.с. для разрешимости 18.8) ири любом хв. Глава 9 Механика 9.1. Обобщенные координаты и силы Аналитическая механика дает пример того, как далеко может уйти научная дисциплина, стартуя с крошечной плошалки трех законов Ньютона, изучаемых в школе. Пример этот замечателен еше и тем, что он показывает, насколько ценны и продуктивны могут быть эквивалентные преобразования одних дифференциальных уравнений в лругие. Голоиомиые системы. Пусть система состоит из )зг точечных масс т„, имеющих координаты гр = (ген, ум, ло) и движущихся под действием активньх сил Г, по известному закону т„тп = Р„ где нг„= г', обозначает ускорение.
При этом естественно говорить о движении системы (изображающей точки) в пространстве 3Ф измерений. На практике положения точечных масс, как правило, взаимозависимы, что регламентируется наличием связей '): ~о(гп...,гн) = О (а = 1,...,г(). (9.1) Скажем, точка г = (х, д, в) обязана двигаться по поверхности Г(г) = О. Либо две точки соединены жестким стержнем данны (, т. е, (гг — гз) =!, что 2 2 можно представлять как движение системы по 5-мерной поверхности (аг — хз)'+ (и — уз)'+ (л, — в,)' — (' = О. Либо твердое тело приближенно мыслится состоящим из миллиона точечных масс — и там уравнений связи не счесть, равно как и соответствуюших поверхностейй, по пересечению которых обязана дв и иться изображаю шая точка системы.
2 В более обглем случае связи могут включать время н скорости, дог,,...,гл, гг,..., гл) = О. Прн отсутствии неннтегрнруемых связей систему называют голояамяай. 9.1. Обобщенные координаты и силы 165 Если говорить о возможной скорости е движения по поверхности « = О, то она (скорость) должна лежать в касательной плоскости к д = О в текущей точке т. Соответственно, в этой касательной плоскости будет находиться и любое (бесконечно малое) возможное перемещение бг = е б1 системы.
Другими словами, возможные перемещения бг ортогональны градиенту те«(г), что равносильно равенству нулю скалярного произведения х)«(г) дг = О. Обратим внимание, что здесь рассматравается случай стацконарньст связей /(г) = О, где для развитая теория хватает понятая возможньт перемещений. В нестацнонарном случае, «[г, Ц = О, возникает необходимость в нспользованпа внртуальнык перемещений, каковыма являются те же возможные перемещения, но прн остановленном времени (см. [!О[). Чтобы система оставалась на поверхности у(г) = О, необходимо действие дополнительных сил Л реакции связей. Обычно рассматривают только идеальные ~удерживающие) связи, порождающие силы реакции, ортогональные поверхности «'(г) = О— другими словами, коллинеарные градиентуг) т7«, т. е.
А = Л~7«, либо, что одно и то же, В дг = О, где дг — любое возможное перемещение. При этом на гг-ю точечную массу будет действовать, соответственно, сила В„= Л'ьг„«, где представляет собой как бы уг-ю часть градиента. При наличии т1 связей (9.1) результирующая сила реакции, приложенная к уг-й точечной массе, будет равна Ди =,У Лат иУа а где Л вЂ” неизвестные параметры (множители Лагранжа).
Уравнения движения шиши = «и + «1и зг Механики называют связь илеатьной, если работа ее сил реакпии Я на возможных персмешениях бг равна нулю, т.е. Лбг = О, но зто и есть перпенликулярность Л любому бг, лежашему в касательной плоскости к з'[г) = О. Силы трения, таким образом, исключаются. Их включают в рассмотрение, относя к активным силам.
166 Глава 9. Механика приобретают вид и называются уравнениями Паграпжа первого рода, Для решения конкретной задачи эти уравнения (в количестве 3зтГ) надо решить совместно с условиями (9.1). Понятно, что на такое мероприятие мало кто отважится. Например, если жесткое килограммовое тело приближенно представляется в виде объединения однограммовых «точечных масс», то число уравнений будет равно 3000+ б. Эффективный путь совсем другой. Обобщенные координаты.
При наличии б уравнений связи з1 (9.1) любые и = 3ззà — б из 3ттГ переменных т„у„г, (и=1,...,тУ) (9.2) могуг быть выбраны независимо друг от друга, остальные б координат будут определяться решением системы уравнений (9.1). На роль независимых переменных можно взять также какие-нибудь более удобные параметры ды..., е„, с помощью которых однозначно выражаются координаты (9.2), т. е.
гз — ги(9! ° °, Чи) (и — 1, ° ° °, зт ). Переменные дп..., ди называют обобщенными коордииаеами, они хороши тем, что «развязывают» задачу. Уравнения связи упраздняются, переменные становятся независимыми, все перемещения бд — возможными. Что касается возможных перемещений бг = (бгн..., бгвт), они теперь определяются из соотношений бг„= ~у — бд;, и = 1,..., Х, дд, дг, (д,г, дд, дгм) где — = ~ —,, — ~. В результате связанному ограни- дс1; ( дд;' дд;' дд,) чениямн движению исходной системы теперь отвечает свободное з~ Имеются в виду независимые и совместимые связи.
9.1. Обобщенные координаты и силы 167 Движение точки в кооРДинатном пРоетРанстве ~91,..., дпт. КажДаЯ переменная д; характеризует г-ю степень свободы. В случае двойного маятника грис.9.1) на роль обобшенных координат подходят два угла )в, и уз,. для описания твердого тела, насаженного на ось, достаточно одной обобшенной координаты (угла поворота). Как правило, задача подбора обобшенных координат в механике относится к числу легких, поскольку всегда опирается на наглядные соображения. Обобщенные силы. Переход к обобщенным переменным сам по себе еще проблему не решает.
Исходную задачу необходимоо преобразовать в удобную форму, котоРаЯ бы использовала выгоды обоб- Рис. 9.1. двойной маятник шенных координат и оперировала понятиями, имеющими естественную физическую интерпретацию. В первую очередь зто касается перехода от обычных сил к обобщенным. Работа активных сил на допустимых перемещениях может быть записана как бА =~~1 Р„б~;, = ',у,(~~у,Г„)бд; = ~ Дгбдг, где называют обобщенной силой, соответствующей координате ды для фактического определения обобшенной силы Е7, используют обычно не формулу, а мысленный эксперимент.
Прирашение дв, дается только координате в, (остальные дв, = 0), затем вычисляется работа бА, активных сил, и Я, определяется нз соотношения бА, 6А, =Щбд, ~ (7, = — '. бд, ' Вот простая иллюстрация. Твердое тело закреплено на оси. В точках гн . , г приложены силы гн ...,е . При повороте вокруг оси на малый 1ЕВ Глава 9. Механика угол бр, очевидно, совершается работа откуда ясно, что фг — есть результируюший момент прилаженных сил. 9.2.
Уравнения Лагранжа В случае идеальных связей работа сил реакции на возможных перемещениях равна нулю, Л бг = ~~ь Л, бг, = О. Поэтому уравнением движения системы, в силу Є— ть и = — В„, можно считать (к,— пио )бг,=О. Работа активных сил известна, ,') Р„бг = ~~у Щ бд;. Для полного перехода на рельсы обобщенных координат надо еще пересчитать работу сил инерции: бАг = — ~, гниат бги = —,,'г, Ц бф. Для вычисления ст; требуется неболыяая формульная эквилибристика.
Поскольку дг„дг„дг„ доя дд, дд; ' то д.„ сг, = ~ ив,ва,— "да Я„дг„~$ ч дг„~ А дг„ Н ~ дг„~ дг, АдТ дТ АГ ~ ° ' 'дф ~ ° ""дд, АГдд, дд,' 9.3. Формализм Гамильтона !69 где Т вЂ” кинетическая энергия системы, ! ) ! г' Ог„ т = — ~ т,г„= — ~ ~т„(~ — 414) . Теперь (т' = 1,..., п). Если обобщенные силы ф потенциальны, т.
е. существует такая функция (потенциал, потенциальная энергия) П(д),..., д„), что дП вЂ” — (т = 1,..., п), дд; то уравнения Лагранжа могут быть переписаны в форме ((= 1,...,п), где Ь = Т вЂ” П называют функцией Лагранжа (лагранжианом) или кинетическим потенциалом. 9.3. Формализм Гамильтона Величины дЬ р;= —, (!=1,...,п) дг)! (9.3) называют обобщенными импульсами. 4) Второго рода, но о «втором роде» обычно не упоминают. — в силу произвольности б)1; — приводит к уравнениям движения Лагранжа ) Глава 9. Механика 170 В простейшей ситуации точечной массы пз, движущейся вдоль оси х, лагранжиан имеет вид ! 5.(х, х) = -тх — П(х).
2 Импульс р = дз./дх = тх — оказывается равным «количеству движениям С помощью р; уравнения Лагранжа могут быть записаны в форме р; = дЬ/д9г)ы Другими словами, производная обобщенного импульса р, равна обобщенной гилее) дЬ/ддзч Но с переменными здесь получается перебор. К координатам о и скоростям о' добавляются еще импульсы, а уравнений не прибавляется.
Гамильтон предложил исключить скорости д, выразив их через импульсы р с помощью уравнений (9.3). Разрешимость системы (9.3) обеспечивается положительной определенностью гессиана совпадающего в рассматриваемом случае с гессианом кинетической энергии. В переменных (р, д) уравнения Лагранжа приобретают вид (а = 1,..., и), (9.4) и называются уравнениями Гамильтона. Гамильтониан Н(р, о) здесь представляет собой преобразование Лежандра лагранжиана Ь(д, д) по перемени..)м д.
Чтобы не отвлекаться на обсуждение преобразования Лежандра, можно сказать иначе. Гамильтониан Н(р, д) есть функция (9.5) в которой скорости д выражены через р с помощью уравнений (9.3). 5) Что гш форме соответствует второму закону Ньютона, с той лишь разницей, что речь ивет о лвиженин в пространстве обобшеннык координат. 9.4. Вариационные принципы 171 Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа достаточно прост. В силу (9.5) дН дН дЬ бН = ~~' — 6%+~' — бр~ = ~~' % бр, — ~ — бйо а% ',ар, '=, ' ',д% откуда дН % ар,' что, с учетом (9.3), приводит к уравнениям Гамильтона.
9.4. Вариационные принципы Механическая интерпретация изложенных выше результатов, вообще говоря, не обязательна. Рассмотрим абстрактную вариационную задачу поиска экстре- мали функционала ц ТР = .б(д, д, б) 46 (9.б) ге на множестве гладких функций д(б), принимающих на концах заданного промежутка времени (бо, бг] фиксированные значения д(бо) = до и д(61) = д'. Совпадение обозначений считаем пока случайным.
Функция Ь вЂ” просто какая-то функция. Так же как в конечномерном случае на экстремали в нуль обращается градиент, здесь в нуль обязана обращаться вариация бит. Варьируя д(ь) с помощью бд(Ф), обращающейся в нуль на концах (Фе, и), получаем й ь би' = з(' ( — 69+ — 64) = —,бд~ -~- / )г ( — — — — ) 6%ей = зе г! = / ~ ( —, — — —,) 6%66 = О, за откуда, в силу произвольности вариации бд(е), вытекает, что функция Ь обязана удовлетворить уравнениям Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
