Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Но еще более удивительно другое. В бифуркационной картине системы (7.5) обнаруживаются общие закономерности поведения систем вида (7.4), независимые в широком диапазоне от того, какова конкретно функция 199 Циклом С(р) длины р называют траекторию хы,,., хр, удоютетаоряююую (7.5) и условию х1 = х„. 7.6. Сложное в простом 149 у(ж, Л). В частности, в последовательности Лм Лз,... бифуркационных значений параметра Л и даже в численном описании самих циклов С(р) выявляется наличие универсальных констант, чего до исследований Фейгенбаума зб) никто не ожидал. Еше одно удивительное явление — иерархия циклов Шарков- ского.
Если в (7.4) из существования цикла С(т) следует сушествование С(п), пишут т у- п. Шарковский установил обшую закономерность: 3 ~- 5 >- 7 у- ... у- 3 2 >- 5 2 у- 7 2 >-... ... >- 3 2 г- 5 ° 2 г- 7 2 ... г- 2 г- 2 г. 2 г- 1. Таким образом, цикл С(3) как бы самый старший. Из его наличия вытекает сушествование любых других циклов з'1. Разнообразие нелинейностей опять до некоторой степени оказывается декорацией. Вот что по этому поводу говорилось в (8). Впечатление бесконечного многообразия нелинейностеи, по-вцдимому, проистекает из привычки думать о функциях в категориях рядов Тэйлора, чпго порождает иялюзию неисчерпаемых возможностей.
Во многих же задачах это не затрагивает существа бела. Там важно другое. Выпукла или вогнуто функция, имеет ли экстремальные точки, насколько быстро растет по сравнению с линейной. В этом случае «тэйлоровский ассортимент«превращается в украшение, и остается не так много вариантов. Поэтому «нелинеиная целина» обширна, но не настолько, как иногда кажется.
Обнаружившего этот феномен. Все этн результаты ноаробно н широко отражены а литературе. зл ЧАСть И ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ Кино легко смотреть, но трудно делать. Дополнения и приложения бывают двух типов. Идеологические и технические. Первые — для кругозора, вторые — для тренировки. Избранный формат ориентируется на идеологию.
Поэтому в прикладных областях намечаются лишь контуры. Скажем, теория регулирования (глава 8) на собственной территории изобилует техническими подробностями, но они малоинтересны вне рамок узкой специализации. В то же время принципы и методы управления сегодня стали, пожалуй, необходимой частью конструктивного мышления. Поэтому в рамках курса дифференциальных уравнений естественно коснуться этой области хотя бы вскользь.
Точнее говоря, не «хотя бы», а именно вскользь, потому что писать легко — читать трудно, и реакция на перегрузку хорошо известна. Есть даже физический закон Ле-Шателье: реакция системы всегда направлена против внешнего воздействия. Механика — другое дело. Ее все знают, но — в рамках общей физики.
Аналитическая механика (глава 9) — совсем другая наука. Другой этаж знания. Там механические задачи изучаются не по отдельности, а «сразу все вместе». Для мировоззрения— ценная вещь. Как пример стиля, глобального подхода... С точки зрения дифференциальных уравнений — вообще незаменимая область.
Изучать ее надо, разумеется, по обстоятельным учебникам [5, 1О], но для получения общих представлений больше подходит что-нибудь промежуточное. 151 Конусные методы (глава 10) остаются пока за бортом образовательной системы, что является результатом какого-то недоразумения. По приводимым в главе фрагментам легко судить, что речь идет о простых и эффективных методах решения нелинейных задач.
Модели коллективного поведения (глава 1!) дают некоторое представление о возможностях и потребностях развития дифференциальных уравнений в нестандартных направлениях. Глава 8 Теория регулирования 8.1. Практические задачи и примеры Размышлять об автоматическом регулировании улобно с некоторым запасом примеров, чтобы за абстракпиями чувствовать реалии. Рис. 8.1. Управление с обратной связью Большая масса практических задач управления укладывается в схему, изображенную на рис. 8.!. Объектами управления могут быть: ° Автопилот, Вход х,„— положения рычагов, опрелеляюших тягу, углы поворота элеронов и т.д.
Выход х,м — параметры полета (скорость, курс, высота). ° Химический реактор. Вход в,„— конпентрации реагентов, ингибиторов и катализаторов; температура, лавление и т. и. Выход х„, — производительность или качество получаемого продукта, по измерению которого ИУ так или иначе влияет на вход (открывает вентили, подогревает и т. п.). ° Экономика фирмы. Вход х,„— распределение финансов и других ресурсов. Выход х,м — прибыль. Это примеры, свидетельствующие о возможной «широте замахав. Для понимания существа дела лучше подходят более скромные задачи, Что-нибудь вроде центробежного регулятора Уатта, 8.1.
Практические задачи и примеры 153 который первоначально был ориентирован на управление паровой машиной (патент 1784 года), а потом широко использовался во многих системах для поддержания необходимой скорости вращения (турбин, двигателей). Принцип действия отражает рис. 8.2Ь Вал регулятора соединяется с валом двигателя (напрямую или через зубчатые передачи). Центробежная сила вращения Рис. 8.2. Центробежный и натяжение пружины, противолействуя регулятор прут пруту, влияют на расхождение шаровых грузов, которое, тем или иным способом, передается на вход регулируемой машины — меняя, скажем, давление пара, вращающего турбину 3г Просмотр большого количества примеров показывает, что масса практических задач, несмотря на содержательное разнообразие, единообразно описывается схемой, изображенной на рис.
8.3, где л б — дифференциальный оператор, описывающий поведение объекта управления, л.е — дифференциальный оператор исполнительного устройства 2). При этом дифференциальные операторы обычно преобразуют выход во вход, что в качестве описания выглядит несколько противоестественно. Реальное положение дел Рис. 8.3. Схема регулирования лучше отражают импульсные переходные функции 6(1, л) (обратные операторы Ь '), см. раздел 3.11, — действующие по направлению прохождения сигналов (рис.
8.4). Рис.8.4. 6 У~а = хая г г '- лам = к~а При определенных условиях расходящиеся грузы сами ао себе могут влиять на часшгу вращения, меняя нагрузку. Достаточно вспомнить балет илн фигурное катание. гг Которое мажет состоять из последовательно соединенных; датчика, усилителя, преобразователя,манипулятора. Глава 8. Теория регулирования 154 8.2. Передаточные функции Самым сложным в зарождении теории автоматического регулирования, конечно, была постановочная часть. Переход от переплетенной мешанины из датчиков и сервопри водов к структуризации задач, ясному виденью, — такой качественный скачок просто так не дается ).
Рис.е.5. Блок Одним из важных шагов на этом пути было пониманиеа), что реальные системы можно представлять в виде соединенных друг с другом блоков, или звеньев (рис. 8.5), каждый из которых описывается уравнением Т'хоог ™)и где Т и М вЂ” дифференциальные операторы. Далее, если не оговорено противное, рассматриваются исключительно автономные системы.
Поэтому Ь и М вЂ” это дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Следуюший шаг заключался в переоткрытии для нужд автоматического регулирования преобразования Лапласа, которое до этого было, скорее, философским украшением, нежели рабочим инструментом б), — а тут эффективно заработало.
Преобразование Лапласа описания блока Ьх„г = Мхи дает Цр)х,ш(р) = М(р)хы(р), (8.1) где Цр) и М(р) — это обычные характеристические полиномы. Например, Ьх = х+Т)х+Тох =в й(р) = р + Т)р+То. 3) С чем-го подобным в миниатюре все мы сталкивались, когла в шестом классе решали залачи на составление уравнений, 4) Пришедшее в результате длительных проб и ошибок. 5) При решении конкретного лифференпиазьиого уравнения преобразование Лапласа никаких особых выгод (по сравнению с классическими методами) не лает, хотя и принято таинственно утверждать обратное. 1 Ф / 8.2.
Передаточные функции В результате (8.!) приводит к очень простому соотношению 155 где Хитросплетения соединений опять-таки подразделяются на небольшое число категорий. Рис.8.6. Последовательное соединение Последовательное соединение звеньев (рис. 8.6). Передаточная функция И' блока, выделенного пунктиром, очевидно, равна что вытекает из а = Ит2у = И'зИт~ х называют передаточной функцией блока. Таким образом, если вместо сигналов х(1) рассматривать их изображения т(р), то выход каждого элементарного блока получается умножением входа на передаточную функцию. Каждый такой факт, взятый в отдельности, ничего особенного не представляет, но в совокупности — возникает ошутимый эффект.
Если систему из десятка блоков при дифференциальном описании можно предлагать в качестве головоломки, то в терминах передаточных функций это не сложнее, чем «дважды два». 156 Глава 8. Теория регулирования Параллельное соединение (рис. 8.7) также приводит к простой формуле Рис.8.7. Параллельное соединение в силу и = У+8 = (Игг+Игз)х. Наконец, обратная связь (рис. 8.8) порождает формулу б) Рис. 8.8. Обратная связь которая получается исключением й и у из очевидных соотношений й = Иг~ у, й = й — й. Минус в у = т — й характеризует олтрицательную обралтную связь.
8.3. О подводных рифах Использование блок-схем, с одной стороны, удобная вещь, с другой — опасная, ибо маскирует реальность. За абстракцией иногда не видны совсем простые вещи. Рассмотрим пример. Входное и выходное напряжение в ВС-цепочке, изображенной на рис. 8.9, связывает дифференциальное уравнение ЛСиоог + и„„= ЛСи;„, Рис. 8.9. Цепочка АС б) И' обозначает передаточную функпию блока, выделенного пунктиром. 157 8.4. Частотные методы Рис.8.10. Последовательное соединение? которое получается исключением напряжения ис на конденсаторе и тока 1 в цепи из соотношений иш = ис+ Ш, иояг = Ш, 1 = Сис В результате получается, что ВС-цепочку можно считать блоком с передаточной функцией рр(р) = 1+тр' Следующий шаг ведет к парадоксу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
