Главная » Просмотр файлов » Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения

Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 22

Файл №1092382 Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения) 22 страницаБосс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382) страница 222018-02-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Пусть Ц обозначает оператор сдвига по траекториям, скажем, механической системы, а Пб — некоторая область фазового пространства. Если при 1 -+ со мера множества точек области Пс = Гус(йб), попадающих в любую наперед заданную область П, стремится стать пропорциональной мере области Й, то система называется перемешивающейся, либо говорят, что система обладает свойством перемег)а~ П шивания. Визуально перемешивание выглядит как «беспорядочно равномерное) растекание областей фазового пространства— рис. 7.! . Рмс.

7.1 Мы обходим стороной различные подробности. Теорема Лиувилля гарантирует сохранение фазового объема, но если движение механической системы происходит, скажем, по поверхности Н постоянной энергии Н = сопз!, то мера 2) Газ в ослом стремится к состоянию термодннамнческого равновесия, мвкровозь~ушення затухают, энтропия растет. з) Это красивый, но совсем нро«той результат легко вытекаюшнй из теоремы Лнувняля о сохранении фазового объема. «) Возражение в такой форме распространено, но нелогично. Олнако здесь не место затевать симпозиум.

5) Фактически это было ясно с самого начата. Но психологическая ясность иногда отстает по фазе. 137 7.1. Эргодичносгь и перемешиеание на этой поверхности выбирается таким образом, ггп l !!бшбтг~!' и(п)- чтобы И(йг) сохранялась при изменении 1. При этом И(Н) обычно нормируется на единицу. Тогла движение перемешиваюшегося типа определяется условием где / и д — любые измеримые функции. Это означает, что ~еремешивание обнуляет (при 1-) ао) корреляции.

Точнее говоря, если на траекториях х(г) рассматриваются функции и, = Г'(х(1)) и е = д[х(0)), (и,в) — (н,)(о) -) 0 при г -) аа, где угловые скобки обозначают среднее по фазовому пространству. Таким образом, перемешивание обеспечивает корреляционную (линейную) независимость пг и в. При этом в комментариях обычно говорится о раацепленни корреляций. Перемешивание, как правило, связано со сверхчувствительно- стью к начальным данным, выражаемой неустойчивостью, характеризуемой зкспоненциальным разбеганием траекторий: при близкихб) х, у, малых С > 0 и некотором Л > 1. Для систем с дискретным временем, ха+) = з(ха) где, например, 7(х) — оператор сдвига за секунду, ))7(х) — 7" (у)О Л))х — уй, Л > !.

Точнее говоря, ))7(х) — 7(уН > Л))х — у)) для достаточно близких х, у. 6) Условие близости х, д принципиально, поскольку орн ограниченном фазовом объеме любое разбегание не может долго продолжаться. 7.2. Ликвидация противоречий 139 где Л вЂ” длина свободного пробега, гь — радиус молекулы, т — время свободного пробега (1б). После нескольких столкновений узг становится больше 4к.

Э. Борель подсчитал з), что перемешение массы 1 г на 1 см на какой-нибудь звезде, удаленной от Земли на несколько световых лет, произведет у Земли изменение гравитационного поля порядка 1О н~, что в свою очередь не позволит предсказать направление движения молекул на времена свыше !О ь с. Отсюда ясна оценка необходимой точности задания начальных данных. Сотого знака после запятой не хватает, а зто уже — принципиальное фиаско.

Поэтому при механическом взгляде на термодинамическую систему вполне можно считать, что речь идет о движении областей. По крайней мере, траектория математической точки о реальности представления не дает. Интерпретация — дело вкуса. При желании сохранить классическое представление о движении системы — можно считать, что метание индивидуальной траектории по размешивающейся области происходит под действием причин другого уровня. Если эти причины не синхронизованы (злонамеренно) в) с перемегиивнние, система будет обнаруживать обычные статистические свойства. Об идеологии движения математической точки в уравнениях классической механики нужно сказать еще раз.

Все понимают, что зто идеализация, но вопрос в том — кокая. Многие думают — такая, которая позволяет решать любую практическую задачу повышением точности вычислений. Но оказывается, что необходимая точность бывает (довольно часто, и в том числе — при малых размерностях) порядка 10~~, что является принципиально непреодолимым барьером. В зтих случаях говорить о движении областей не только более естественно, но практически — необходимо. Из-за фиксации внимания на фазовом пространстве, имеюшем в статистической физике размерность порядка числа Авоидро 10", из поля зрения иногда вмпааают очевидные веши.

Взаимодействие термодинамического объекта со средой характеризует макроскопическое взаимодействие, — «управляемое», в той или иной степени, законом больших чисел. Если величины хь имеют матожидания пз, то при больших и сумма х, 4 .., + х„ стабилизируется возле значения гп независимо от законов распределения хь (с некоторыми оговорками). Вот, собственно, главная причина того, что имеет 7) Вон.! д !п)гоаисноп веотегпчае а рьуычие. Рагв: Оаигь)ег-чй)ап, !912. 8) «Бог изощрен, но не зяонамерен» (А. Эйнштейн).

Глава 7. Аттракторы и каос 140 смысл такой термодинамический параметр, как давление, — и перемешивание здесь принпипиального значения не играет. Наоборот, в случае х„ы = (Лх„) при Л » 1 перемешивание замечательное, но никаких «термодинамических» проявлений не будет, если среда не реагирует 1 на какой-нибудь агрегат типа — (х„+... + хя.»д ). 7.3. Адиабатические процессы Это маленький пример на тему адиабапгического изменения параметров. Если параметры изменяются быстро, работают методы усреднения (раздел 6.6). Естественно ожидать, что медленное изменение параметров (медленное — по сравнению с изучаемым движением) — должно иметь свои преимущества. О а х И оно — имеет, но ситуация намного Рис. 7.2 сложнее, чем при высокочастотном возмущении.

Это уже видно по рассматриваемой задаче. Что значит медленно? Стенки можно сближать, но в момент удара вообще останавливать — тогда скорость шарика не будет меняться совсем (по модулю). Можно сближать равномерно, можно ускорять в момент удара. Во всех случаях результат будет разный. Поэтому рассчитывать на однозначный закономерный эффект возможно лишь, когда скорость сближения не зависит от движения шарика (от моментов удара). В этом случае можно полагаться на технику усреднения.

Будем считать, для определенности, что левая стенка закреплена в положении х = О и движется— только правая, а < О. Теорема вириалав' в этом случае приводит к 1 Г (Т) = — — / Род|, 2т,/ (2.! ) 9! ! Теорема 24,1 основывается как раз на илеях усреднения. Надо иметь в виду, что на термодинамических проявлениях свет клином не сходится. Не раскрь|вая пока карт, рассмотрим популярную задачу о движении шарика между двумя стенками (рис. 7.2). Движение происходит по инерции с упругим отражением при ударе.

Что происходит, если стенки медленно сближаются? 7.3. Адиабатические процессы 141 где (Т) — среднее значение кинетической энергии Т, т — текущий период (время движения шарика туда-обратно»), Р— сила в момент удара ~аг Из (7.1) следует (Р) = -2(Т)/а. Работа сияы Р идет на изменение энергии Т, поэтому гь(Т) = -(2(Т)/а)Гка, откуда /з(Т)/(Т) = -22ьа/а. Аналогично, Ь(Т)/(Т) = 2сье/е, что вытекает из гпе (Т) = — м Гз(Т) = Гь . 2 Подстанляя теперь добытые соотношения /з(Т) Ьа — = -2— (Т) а ю(Т) юе (Т) е — 2 в равенство гзт суа сье т а е получаемое дифференцированием формулы для периода т = 2а/е, приходим к /з(Т)/(Т) = -Ьт/т, т е.

к равенству дифференциалов 4(Т) 4т (Т) т интегрирование которого дает (Т)т = салаг, — равносильно а (Т) — = сопзг, и (7.2) где и = 1/т — частота колебаний шарика О сложности проблемы можно получить представление по разбору в (131 классической задачи — об изменении периода колебаний маятника при медленном изменении длины стержня, ю1 Представляющая собой, разумеется, леяьгя-функцию, если удар абсолютно упругий. Так выводится адиабатический инвариант (7.2) в [19].

Рассуждение позволяет понять суть дела, но к нему можно предъявить много претензий. Движение шарика, строго говоря, не периодично, поэтому интервал усреднения аккуратно не определен. Если же усреднять по бесконечному промежутку, не проходят манипуляции с дельтами. Наконец, характер сближения стенок вообще остается за кадром. Неявно предполагается, что поведение а дает основания для законности усреднения. Глава 7. Аттракторы и хаос 142 на котором он подвешен н).

Получается тот же адиабатический инвариант (7.2), — возникаюший «всегда» в задачах подобного толка. Однако лабиринты нюансов анализа уводят весьма далеко от исходной, на вид элементарной, постановки вопроса. Нужно заметить, что в том и другом случае формула (7Д) легко получается в предположении равномерного изменения параметров. Но ограничиться этим, конечно, жалко, ибо результат остается справедливым в гораздо более широких предположениях, которые можно с определенной долей натяжки охарактеризовать как независимость изучаемого движения (шарика, маятника) от изменения внешних условий, Особый интерес представляют ситуации, где такая независимость возникает (и усиливается с течением времени) автоматически.

Рассмотрим следуюшую задачу. Легкий шарик раз за разом падает на массивную плиту и упруго отскакивает. Плита колеблется «вверх-вниз». При определенных условиях оказывается «13), что при отскоке шарик в среднем ускоряется, и его энергия растет '2) . Если бы шарик падал на плиту в случайные моменты, то факт его ускорения в среднем был бы легко объясним. По той же причине, по которой встречных машин всегда больше, чем попутных,— шарик бы чаше ударялся в те моменты, когда плита движется навстречу. Но задача детерминирована. Тем не менее при определенных условиях имеется перемешивание, в результате чего моменты удара оказываются хаотично распределенными.

Технические детали здесь довольно трудоемки [13], но в идеологическом отношении это хороший пример на тему рождения детерминированного хаоса 'з). Что касается условий, при которых в рассмотренной задаче обнаруживается эффект ускорения, — то это большие и малые частоты колебаний плиты. Если плита колеблется «пилообразно», со скоростью 1т, а тз(8) — средняя скорость движения шарика, то при $' «и(с) движения плиты и шарика становятся незави- н) Либо об изменении частоты колебаний в контуре при медленном изменении емкости конденсатора (Г91.

и) Что является анатогом механизма, предложенного Ферми для объяснения пронслс ждения быстрых частим в космических лучах. ~з) Хаоса моментов удара. Рост средней скорости (энергии) шарика — это уже агрегиро ванный (термолииамический) результат на базе хаотического распределения ударов, 143 7.4. А ттракторы и фракталы симыми, корреляции расцепляются и моменты ударов становятся хаотично (случайно) распределенными. 7.4. Аттракторы и фракталы Аттрактор — это притягиваюшее множество. Скажем, если отображение 7" — в том числе многозначное — преобразует в себя компакт Х, то последовательные отображения 7""(Х) оказываются вложены друг в друга, ..

С 7 ~(Х) С... С Д(Х) С Х и при /с — + оо будут сходиться к аттрактору А. При этом А будет неподвижным множеством '4) отображения 7", т. е. ДА) = А. Поэтому динамический процесс (7.3) ха+г = 7'(ха) при хб Е А остается в А. Если Пе — оператор сдвига по траекториям дифференциального уравнения х = д(х) и УеХ С Х при 1 > О, то аттрактор А снова определяется как предельное множество и), Уг(Х) -+ А при й -+ оо. При рассмотрении динамических систем с дискретным временем (7.3) на заднем плане часто подразумевается сдвиг по траекториям х = д(х) в единицу времени. Помимо аттракторов динамическая система может обладать и другими инвариантными (неподвижными) множествами, в частности, релеллерами— отталкивающими множествами. Аттракторы простых динамических систем нередко оказываются довольно экзотическими образованиями.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,92 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6548
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее