Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть Ц обозначает оператор сдвига по траекториям, скажем, механической системы, а Пб — некоторая область фазового пространства. Если при 1 -+ со мера множества точек области Пс = Гус(йб), попадающих в любую наперед заданную область П, стремится стать пропорциональной мере области Й, то система называется перемешивающейся, либо говорят, что система обладает свойством перемег)а~ П шивания. Визуально перемешивание выглядит как «беспорядочно равномерное) растекание областей фазового пространства— рис. 7.! . Рмс.
7.1 Мы обходим стороной различные подробности. Теорема Лиувилля гарантирует сохранение фазового объема, но если движение механической системы происходит, скажем, по поверхности Н постоянной энергии Н = сопз!, то мера 2) Газ в ослом стремится к состоянию термодннамнческого равновесия, мвкровозь~ушення затухают, энтропия растет. з) Это красивый, но совсем нро«той результат легко вытекаюшнй из теоремы Лнувняля о сохранении фазового объема. «) Возражение в такой форме распространено, но нелогично. Олнако здесь не место затевать симпозиум.
5) Фактически это было ясно с самого начата. Но психологическая ясность иногда отстает по фазе. 137 7.1. Эргодичносгь и перемешиеание на этой поверхности выбирается таким образом, ггп l !!бшбтг~!' и(п)- чтобы И(йг) сохранялась при изменении 1. При этом И(Н) обычно нормируется на единицу. Тогла движение перемешиваюшегося типа определяется условием где / и д — любые измеримые функции. Это означает, что ~еремешивание обнуляет (при 1-) ао) корреляции.
Точнее говоря, если на траекториях х(г) рассматриваются функции и, = Г'(х(1)) и е = д[х(0)), (и,в) — (н,)(о) -) 0 при г -) аа, где угловые скобки обозначают среднее по фазовому пространству. Таким образом, перемешивание обеспечивает корреляционную (линейную) независимость пг и в. При этом в комментариях обычно говорится о раацепленни корреляций. Перемешивание, как правило, связано со сверхчувствительно- стью к начальным данным, выражаемой неустойчивостью, характеризуемой зкспоненциальным разбеганием траекторий: при близкихб) х, у, малых С > 0 и некотором Л > 1. Для систем с дискретным временем, ха+) = з(ха) где, например, 7(х) — оператор сдвига за секунду, ))7(х) — 7" (у)О Л))х — уй, Л > !.
Точнее говоря, ))7(х) — 7(уН > Л))х — у)) для достаточно близких х, у. 6) Условие близости х, д принципиально, поскольку орн ограниченном фазовом объеме любое разбегание не может долго продолжаться. 7.2. Ликвидация противоречий 139 где Л вЂ” длина свободного пробега, гь — радиус молекулы, т — время свободного пробега (1б). После нескольких столкновений узг становится больше 4к.
Э. Борель подсчитал з), что перемешение массы 1 г на 1 см на какой-нибудь звезде, удаленной от Земли на несколько световых лет, произведет у Земли изменение гравитационного поля порядка 1О н~, что в свою очередь не позволит предсказать направление движения молекул на времена свыше !О ь с. Отсюда ясна оценка необходимой точности задания начальных данных. Сотого знака после запятой не хватает, а зто уже — принципиальное фиаско.
Поэтому при механическом взгляде на термодинамическую систему вполне можно считать, что речь идет о движении областей. По крайней мере, траектория математической точки о реальности представления не дает. Интерпретация — дело вкуса. При желании сохранить классическое представление о движении системы — можно считать, что метание индивидуальной траектории по размешивающейся области происходит под действием причин другого уровня. Если эти причины не синхронизованы (злонамеренно) в) с перемегиивнние, система будет обнаруживать обычные статистические свойства. Об идеологии движения математической точки в уравнениях классической механики нужно сказать еще раз.
Все понимают, что зто идеализация, но вопрос в том — кокая. Многие думают — такая, которая позволяет решать любую практическую задачу повышением точности вычислений. Но оказывается, что необходимая точность бывает (довольно часто, и в том числе — при малых размерностях) порядка 10~~, что является принципиально непреодолимым барьером. В зтих случаях говорить о движении областей не только более естественно, но практически — необходимо. Из-за фиксации внимания на фазовом пространстве, имеюшем в статистической физике размерность порядка числа Авоидро 10", из поля зрения иногда вмпааают очевидные веши.
Взаимодействие термодинамического объекта со средой характеризует макроскопическое взаимодействие, — «управляемое», в той или иной степени, законом больших чисел. Если величины хь имеют матожидания пз, то при больших и сумма х, 4 .., + х„ стабилизируется возле значения гп независимо от законов распределения хь (с некоторыми оговорками). Вот, собственно, главная причина того, что имеет 7) Вон.! д !п)гоаисноп веотегпчае а рьуычие. Рагв: Оаигь)ег-чй)ап, !912. 8) «Бог изощрен, но не зяонамерен» (А. Эйнштейн).
Глава 7. Аттракторы и каос 140 смысл такой термодинамический параметр, как давление, — и перемешивание здесь принпипиального значения не играет. Наоборот, в случае х„ы = (Лх„) при Л » 1 перемешивание замечательное, но никаких «термодинамических» проявлений не будет, если среда не реагирует 1 на какой-нибудь агрегат типа — (х„+... + хя.»д ). 7.3. Адиабатические процессы Это маленький пример на тему адиабапгического изменения параметров. Если параметры изменяются быстро, работают методы усреднения (раздел 6.6). Естественно ожидать, что медленное изменение параметров (медленное — по сравнению с изучаемым движением) — должно иметь свои преимущества. О а х И оно — имеет, но ситуация намного Рис. 7.2 сложнее, чем при высокочастотном возмущении.
Это уже видно по рассматриваемой задаче. Что значит медленно? Стенки можно сближать, но в момент удара вообще останавливать — тогда скорость шарика не будет меняться совсем (по модулю). Можно сближать равномерно, можно ускорять в момент удара. Во всех случаях результат будет разный. Поэтому рассчитывать на однозначный закономерный эффект возможно лишь, когда скорость сближения не зависит от движения шарика (от моментов удара). В этом случае можно полагаться на технику усреднения.
Будем считать, для определенности, что левая стенка закреплена в положении х = О и движется— только правая, а < О. Теорема вириалав' в этом случае приводит к 1 Г (Т) = — — / Род|, 2т,/ (2.! ) 9! ! Теорема 24,1 основывается как раз на илеях усреднения. Надо иметь в виду, что на термодинамических проявлениях свет клином не сходится. Не раскрь|вая пока карт, рассмотрим популярную задачу о движении шарика между двумя стенками (рис. 7.2). Движение происходит по инерции с упругим отражением при ударе.
Что происходит, если стенки медленно сближаются? 7.3. Адиабатические процессы 141 где (Т) — среднее значение кинетической энергии Т, т — текущий период (время движения шарика туда-обратно»), Р— сила в момент удара ~аг Из (7.1) следует (Р) = -2(Т)/а. Работа сияы Р идет на изменение энергии Т, поэтому гь(Т) = -(2(Т)/а)Гка, откуда /з(Т)/(Т) = -22ьа/а. Аналогично, Ь(Т)/(Т) = 2сье/е, что вытекает из гпе (Т) = — м Гз(Т) = Гь . 2 Подстанляя теперь добытые соотношения /з(Т) Ьа — = -2— (Т) а ю(Т) юе (Т) е — 2 в равенство гзт суа сье т а е получаемое дифференцированием формулы для периода т = 2а/е, приходим к /з(Т)/(Т) = -Ьт/т, т е.
к равенству дифференциалов 4(Т) 4т (Т) т интегрирование которого дает (Т)т = салаг, — равносильно а (Т) — = сопзг, и (7.2) где и = 1/т — частота колебаний шарика О сложности проблемы можно получить представление по разбору в (131 классической задачи — об изменении периода колебаний маятника при медленном изменении длины стержня, ю1 Представляющая собой, разумеется, леяьгя-функцию, если удар абсолютно упругий. Так выводится адиабатический инвариант (7.2) в [19].
Рассуждение позволяет понять суть дела, но к нему можно предъявить много претензий. Движение шарика, строго говоря, не периодично, поэтому интервал усреднения аккуратно не определен. Если же усреднять по бесконечному промежутку, не проходят манипуляции с дельтами. Наконец, характер сближения стенок вообще остается за кадром. Неявно предполагается, что поведение а дает основания для законности усреднения. Глава 7. Аттракторы и хаос 142 на котором он подвешен н).
Получается тот же адиабатический инвариант (7.2), — возникаюший «всегда» в задачах подобного толка. Однако лабиринты нюансов анализа уводят весьма далеко от исходной, на вид элементарной, постановки вопроса. Нужно заметить, что в том и другом случае формула (7Д) легко получается в предположении равномерного изменения параметров. Но ограничиться этим, конечно, жалко, ибо результат остается справедливым в гораздо более широких предположениях, которые можно с определенной долей натяжки охарактеризовать как независимость изучаемого движения (шарика, маятника) от изменения внешних условий, Особый интерес представляют ситуации, где такая независимость возникает (и усиливается с течением времени) автоматически.
Рассмотрим следуюшую задачу. Легкий шарик раз за разом падает на массивную плиту и упруго отскакивает. Плита колеблется «вверх-вниз». При определенных условиях оказывается «13), что при отскоке шарик в среднем ускоряется, и его энергия растет '2) . Если бы шарик падал на плиту в случайные моменты, то факт его ускорения в среднем был бы легко объясним. По той же причине, по которой встречных машин всегда больше, чем попутных,— шарик бы чаше ударялся в те моменты, когда плита движется навстречу. Но задача детерминирована. Тем не менее при определенных условиях имеется перемешивание, в результате чего моменты удара оказываются хаотично распределенными.
Технические детали здесь довольно трудоемки [13], но в идеологическом отношении это хороший пример на тему рождения детерминированного хаоса 'з). Что касается условий, при которых в рассмотренной задаче обнаруживается эффект ускорения, — то это большие и малые частоты колебаний плиты. Если плита колеблется «пилообразно», со скоростью 1т, а тз(8) — средняя скорость движения шарика, то при $' «и(с) движения плиты и шарика становятся незави- н) Либо об изменении частоты колебаний в контуре при медленном изменении емкости конденсатора (Г91.
и) Что является анатогом механизма, предложенного Ферми для объяснения пронслс ждения быстрых частим в космических лучах. ~з) Хаоса моментов удара. Рост средней скорости (энергии) шарика — это уже агрегиро ванный (термолииамический) результат на базе хаотического распределения ударов, 143 7.4. А ттракторы и фракталы симыми, корреляции расцепляются и моменты ударов становятся хаотично (случайно) распределенными. 7.4. Аттракторы и фракталы Аттрактор — это притягиваюшее множество. Скажем, если отображение 7" — в том числе многозначное — преобразует в себя компакт Х, то последовательные отображения 7""(Х) оказываются вложены друг в друга, ..
С 7 ~(Х) С... С Д(Х) С Х и при /с — + оо будут сходиться к аттрактору А. При этом А будет неподвижным множеством '4) отображения 7", т. е. ДА) = А. Поэтому динамический процесс (7.3) ха+г = 7'(ха) при хб Е А остается в А. Если Пе — оператор сдвига по траекториям дифференциального уравнения х = д(х) и УеХ С Х при 1 > О, то аттрактор А снова определяется как предельное множество и), Уг(Х) -+ А при й -+ оо. При рассмотрении динамических систем с дискретным временем (7.3) на заднем плане часто подразумевается сдвиг по траекториям х = д(х) в единицу времени. Помимо аттракторов динамическая система может обладать и другими инвариантными (неподвижными) множествами, в частности, релеллерами— отталкивающими множествами. Аттракторы простых динамических систем нередко оказываются довольно экзотическими образованиями.