Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Последовательное соединение тгсцепочек (рис. 8.!О) в соответствии с формулой Иг = Иг1И"з лолжно было бы приводить к Иг(р) = т,т,р' (1+ т,р)(1+ т,р) ' но чисто электрический (правильный) расчет лает 122) 1 и'(р) = 11+ т,р)11+ т,р) + д,с,р' Причина заключается в том, что последовательное соединение четырехполюсников не является таковым с точки зрения блок-схелг. Вторая цепочка, как говорят электрики, подсаживает первую, — что приводит к возникновению обратной связи, охватываюшей схему целиком. 8.4.
Частотные методы Для функций, равных нулю приз) 1 ( О, преобразование Фурье принимает вид 1')гд) = — Я)е ' ггт, 2я 1 о и является частным случаем преобразования Лапласа. 71 1А именно такие функции рассматриваются а теории регулирования. 158 Глава 8. Теория регулирования При подстановке р = зиз в Иг(р) получается так называемая амплитудна-фазовая харакгперистика И'(зш) = и(ш) + зе(ш) = А(ш)е "Р( ). Физическая интерпретация здесь такова.
Если на вход линейного звена с переходной функцией И'(р) подать гармонический сигнал япИ, то на выходе будет сигнал Агйп(из1 + ьз). Вместо синуса удобнее говорить о сигнале е'"', — и тогда на выходе будет просто Иг(зто)е'ы(. В устройстве мира имеется некоторое неудобство.
«Подать па вход системы гармонический сигнал нельзя. Если а(п и( не приходит из минус бесконечности, а возникает в нулевои момент времени, то это уже не гармонический сигнат Поэтому в теории регулирования принято говорить, что япы( («включенный» в момент ( = О) дает на выходе А а(п (ы( ф ф) после зап»ухания в системе переходного процесси. Но для затухания переходного процесса требуется устойчивость системы — а это уже другая история. Вот так попытка отразить реальность (факт включение системы) влечет за собой необходимость массы оговорок и реверансов. Но тут уж бессмысленно жаловаться — так устроена вся жизнь.
Таким образом, фиксация внимания на функциях равных нулю при 1 ( О, отражая одну сторону реальности, запутывает другую. Во избежание некоторых принципиальных ошибок лучше все-таки полагаться на стандартное преобразование Фурье 2(йз) = — Г(г)е ™ Ф ф~ Я) = 2" (са)е'~' сьиз. (8.2) В атом случае амплитудно-фазовая характеристика остается той же самой~) Иг(зсо) = М(зсо) л (зта) соотношение между фурье-преобразованиями входа и выхода опре- деляется формулой хон,(еа) = Иг(зеа)хьч(ьа), а) Гле Ь( ) н М( ) — характеристические полнномы лнфференпнальных операторов Ь н М в описании объекта Ьх,м = Мх,„. 8.5. Задача компенсации 159 и никакие оговорки не требуются. Потребность в уточнениях возникает при изучении условий причинности®1, но это совсем другая задача.
Амплитудно-фазовая характеристика несет на себе полную характеристику о системе, в том числе — об устойчивости равновесия. Последний вопрос сводится к изучению корней характеристического полинома Ь, стоящего в знаменателе Иг. Иногда возникающие надежды ликвидировать «нежелательные» корни полинома Ь подбором числителя М обычно несостоятельны, поскольку малейшее возмущение коэффициентов В или М превращает систему в неустойчивую. Амплитудно-фазовая характеристика оказывается полезной при изучении переходных процессов в системе. Частотные методы вообще дают новое освещение многим задачам анализа динамических процессов. Полезные ракурсы открываются с первых шагов, начиная с самого частотного представления (8.2) сигнала Я), дающего важную информацию о спектральных свойствах функции Я).
Данные о спектре, в свою очередь, могут служить для решения задач фильтрации и др. 8.5. Задача компенсации До сих пор рассматривались автономные задачи регулирования, где регулятор в обратной связи полностью определял вход регулируемого объекта. Уровень воды падает, поплавок опускается, открывает кран, и т.д. Все рычаги управления в руках у поплавка. Но есть задачи, где система подвергается внешним воздействиям, и регулятор может лишь частично влиять на вход системы— а успех регулирования желателен полный. Допустим, груз при транспортировке подвергается вибрации.
Можно ли так замкнуть обратную связь, чтобы груз оставался в покое? По первому впечатлению — утопия. Тем не менее рассмотрим «механическую игрушку» из двух тел А и В, упруго соединенных как на рис. 8.11. К телу А с массой гп, приложена гармониче- 9'г Отсутствие упрежлаюшей реакпии системы — амалией сигнал еше не пришел, а система уже реагирует.
Глава 8. Теория регулирования 160 ь»51п газ гп„ х р Рис. 8.11. Модель виброгасителя окая сила Т' = згяпдз1. Движение грузов описывается системой уравнений < т,х+Й,х — Йь(у — х) = тгяпагь, тьу+дь(у — х) = О, (8.3) решением которой служит, например, (8.4) х = а яп аг$, у = гз яп ага, где амплитуды а и (ь определяются подстановкой (8.4) в (8.3), что в итоге дает а = у ' и()сь — тьог ), Ь = у 'ггИь, 7 = (тсь — тьот ) (иа + (иь — таы ) ) — гсь. Обрати»» внимание, что второе тело — это настоягдий регулятор, включенный в обратную связь. Никакой видимой «петли замыкания» нет, тело В со своей пружиной торчит протуберанцем — но система замкнута (по уравнениям движения). Рис.
8.12 отражает ситуацию в виде блок-схемы, на которой Ь,х = пь,х+ (ьс, + lсь)х, Ьь = гпьу+ кьу. ~ьь Если не надо писать диссертацию. Конечно, исполненный фокус порождает больше вопросов, чем дает ответов. И все же, игрушечная модель достигает главного — обнаруживает идею. Далее можно двигаться без формул 'о), 8.6. Управлявмость 161 1лис. 8.12 полагаясь на эксперимент и «резонансные» категории мышления.
Понятно, например, что в реальности трение ослабит эффект, зато расширит диапазон компенсируемых частот. Главный недостаток игрушечного виброгаситлеля — в том, что он реагирует на строго выделенную частоту. Как добиться охвата более широкого частотного диапазона? Конечно, за счет поглощения энергии колебаний, но что еще? Если трезво взглянуть на суть эффекта, то от первого удивления не так много остается. Есть два упруго соединенных тела, у второго собственная (резонансная) частота ~/тсб/ть совпадает с частотой вибрации ш — оно (тело В), в идеале, и будет колебаться.
Поэтому, если на ЯР-груз поставить несколько «присосока с разными собственными частотами — охват будет шире. Кроме того, саму резонансную частоту можно подстраивать за счет изменения, скажем, характеристик упругой связи. Так или иначе, идея гашения вибраций с помощью упругого подсоединения к вибрирующему телу некоторого балласта весьма примечательна, и она широко используется на практике, о чем потребители обычно не подозревают 8.
8.6. Управляемость Одна из стандартных систем управления имеет вид (8.5) з = Ах+Ви, где з характеризует состояние системы, и — управление, А и В— матрицы, размера, соответственно, п х п и и х уп. 'П Кто лоталывается на корабяе о наличии в трюме успокоителя качки сулиа« Либо о запирании электрической пепи колебательным контуром (избиратеяьно лля частоты ыт = 1/ЬС)т 162 Глава 8.
Теория регулирования Первый вопрос, который здесь возникает, можно ли перевести систему — управлением и(8) — из любого начального положения х(0) = хо в любое желаемое, например, х(Т) = О? Это называют управляемостью системы. Конечно, если матрица В имеет размер и х и и невырождена, то с помощью и в (8.5) можно обеспечить любое направление движения, — и ответ положителен.
Но в реальности число управляющих воздействий бывает ограниченным — и тогда возникает проблема. Можно ли, скажем, меняя налог на прибьгль, управлять одновременно инфляцией и ростом производства? Абстрактно это может выглядеть, например, так: (8.6) х= х+ и. Управление, получается, напрямую действует только на х!. На хз влияние опосредованное. Возможно ли по обеим переменным двигаться в желаемых направлениях — не ясно, и геометрическая интуиция в таких задачах пасует. Ответ, тем не менее, достаточно прост, но требует некоторых дополнительных сведений из линейной алгебры.
О матричных функциях. Матричные функции Г(А) универсально представимы рядами 'зг, но в каждом конкретном случае (для конкретных Г и А) могут быть выражены через А в виде полинома с~слепи и — !. Ограничимся рассмотрением случая нормальной матрацы А, в котором всегда имеет представление типа (3.!4), т.е. 7(А) = Т 'дгаа(Я(Л,),..., Т(Л„))Т. (8.7) Из (8.7) видно, что Г(А) определяется значениями Г(Л) всего в и точках (Лн..., Л„), что позволяет заменить Г любой другой функцией, которая в этих точках принимает те же значения (если, конечно, речь идет о вычислении Г(А) для данной конкретной матрицы А).
В частности, г(л) можно положить равной интерполяционному папиному Лагранжа '" 3" (Л) = Р(Л) = а„,Л' " т, .. + а, Л+ ао. !Типа (3.!3). зг !де () ',~ Т(ь)П н мы~~ "1 8.6. Управляемость 163 Тогда Г(А) = Т ~ ~ аад!аа(Л",,..., Л'„)Т = = ~ авТ 'гпаа(Лн..., Л„)"Т = аа(Т 'сиав(Лы..., Л„)Т) = 2 ааА" Вернемся теперь к системе (8.5) и запишем решение х(8) в момент Т, считая управление заданным и х(Т) = О. В соответствии с (3,20) и Х(1) = е.4', 0 = хо+ е "'Ви(в) дв.
о Представляя е "' в виде полинома, зто можно переписать в виде | (аоВ+ а~АВв+... + а„,А" 'Вв" ')и(8) дв = — хо, (8 8) о откуда ясно, что «благополучиев системы (8.5) связано с прямо- угольной матрицей '4) б' = [В, АВ, А В,..., А" В). Незначительные ухищрения показывают, что условие гап)47У = п необходимо и достаточно для управляемости системы '8) (8.5). Система в примере (8.6) управляема, поскольку для нее матрица [О т] невырождена. га Матрииа ГГ строится слева наловив — добавляются столбиы А В. Число строк о' а равно и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
