Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 29
Текст из файла (страница 29)
) °, е 10, О! 1!0.91 т обеспечивает также сушествование решения. При доказательстве перечисленных результатов эффективно использование метрики Биркгофа р(х, у) = пнп(а; е ~х < у < е х) (х, у > 0). Например, в ситуации (! Од) 1(х) > З (е "*а'у) > е ж"т'З(у). Аналогично, 1(у) >1(е И™х) > е "*з'1(х), откуда р(у(х), 1(у)) < р(х, у), что влечет за собой единственность неподвижной точки, х' = у(х'), если таковая существует. Ситуации (10.3) и (10.9) рассматриваются аналогично. При появлении показателя степени и б (О, 1) операторы становятся сжимающими (с коэффициентом и), что помимо единственности обеспечивает также существование.
Уврюкиение Пусть для гетерогенного оператора 1(х) при любом х > 0 и всех 1 выполняются неравенства 1;(х) — ~~ ( — ) х. > О. Тогда справедливо (1О.е). Существенно, что в ситуациях (10.7), (10.8) при наличии неподвижной точки (равновесия) х* > 0 оговаривать сушествование 188 Глава 10. !5онусные методы инвариантного и, соответственно, сильно инвариантного конусно- 1 го отрезка не требуется.
Таковым оказывается (тх', — х" у) при лют бом т Е (О, 1). Действительно, в общей ситуации (10.8), например, тх*, — х' > тЯх", х') = тх*, 'т /1..~ 1, „1 у ~ — х, тх у! ( — У(х, х ) = — х . ~т )т т 10.6. Примеры Рассмотрим оператор Г(х) с компонентами Гх, 1~(*) =! — *'+ Р Х2 !п (1 + х2) ге /х2 гг(х) = + ~~~/ —.
х, у х~ Функция /,(х) здесь монотонно возрастает по х, и убывает по хг, а гг(х)— возрастает по хг и убывает по х,. Сопугствуюшим будет оператор г' с компонентами Я У,(е,ю)=1 — е '+ у! —, юг 1и (1 + е2) ге Я2 гг(е,ю) = + ю Ю~ Ю! Сильная положительность у' и у' очевидна. Условие (10.8) легко проверяется. Сильно инвариантным конусным отрезком является, например, (е, ге), где е = (1, 1), ге = (б, б). Поэтому Г имеет на внутренности ортанта единственную неподвижную точку, асимптотически устойчивую с точки зрения (10.1).
Рассмотрим другой оператор г: /,(х) = ага!а х, + 'те~ — ', ухх, у 5+х~ у хг здесь нельзя сказа~ь, что функции Уо гг монотонно возрастают или убывают по х, или х,. Тем не менее идея построения сопутствуюшего оператора может быть оставлена прежней. Каждое конкретное х, (из тех х„которые неоднократно повторяются в записи функций Г„ /2) заменяются на е; или ам в зависимости 187 10.7. Матричный конус от того, возрастает или убывает функция ~, по этому конкретному аргументу.
Такое построение приводит к сопутствуюшему оператору с компонентами /,(в, ю) = агсгае, + 10 ~62 Ш) у/5 -~- зе Оператор снова получается супероднородным. Сильно инвариантным лля г' оказывается тот же конусный отрезок, что и в предьшушем примере. Сушествование, единственность и асимптотическая устойчивость'е1 равновесия при двюкении (10.1) — гарантируются. 10.7.
Матричный конус Идеи полуупорядоченности широко используются также за пределами рассмотренного круга задач. Особенно — в функциональных пространствах при изучении интегральных уравнений, но это слишком большая область, чтобы ее затрагивать вскользь. Ниже рассматривается маленький пример с единственной целью показать более широкие возможности использования полуупорядоченности. Легко провери~ь, что множество К положительно определенных матриц является конусом. Полуупорядочим с помошью К пространство Е симметричных матриц.
Будем считать элементы х б Я" вектор-столбцами и рассмотрим оператор Н: В" -з Е, Н(х) = хх, где штрих обозначает транспонирование. Производная Н(х) вдоль траекторий линейной системы х = Ах равна — (хх') = хх А' + Ахх, 4 АС т. е. Н = НА'+ АН. (10.10) Подстановкой легко убедиться, что решением (10.10) служит н(0 гцы(0) Ач Из Н~(0) 3 Нз(0) следует Н,(С) — Н,(С) = е~~(Ы,(0) — Н,(0))е~ ~ > О, м1 На внутренности В.~.. ь 188 Глава 10. Конусные ыетсй(ы что означает монотонность оператора сдвига по траекториям матричного дифференциального уравнения (1О.!0). Для асимптотической устойчивости нулевого равновесия системы с монотонным оператором сдвига достаточно, чтобы нашлась точка Х Е ш! К, идущая под действием оператора сдвига назад, и точка У б -ш! К, идущая вперед ".
Наличие таких точек в данном случае гарантирует разрешимость в !п! К уравнения НоА +АНо = — Со (10.1!) при Со Е цц К. В случае гурвицевой матрицы А интеграл Но — — / с~~Сов~ г А1 а сходится и является решением (!0.1!). Новых результатов лля й = Ах, естественно, не получилось — но открылась еще одна точка зрения на линейные системы 'т1. Оказалось, что самый общий случай укладывается в рамки идеологии полуупоряаоченности. Это в какой-то степени свидетельствует, что последняя не так узка, как иногда кажется.
1! ! ! Обоснование это~ о факта почти ие отличается от схемы рассуждений из раздела 10.2 в ситуации К = В ь. пг Новая точка зрения, в свою очередь, открывает новые пути, опробоваиие которых в данном случае быстро приводит к различным нелинейным обобщениям. Глава 11 Коллективное поведение 11.1. Содержательные примеры Пусть 1-й элемент системы распоряжается выбором значения а; и О;(аи...,.в„) — его функция выигрыша.
Один из вариантов поведения — двигаться в направлении условною максимума Ю;(х) по собственной переменной а;, что в случае непрерывного времени может быть описано как (11. 1) 1;(т) — а; (т' = 1,..., и), где каждое положение цели Д(т) определяется из условия Р; (ам..., ж; и Яа), т; и...,.в„) = шах Щх). Поведение (11.1) в случае асимптотической устойчивости приводит в так называемое равновесие игры ло Нэшу. В рыночной модели тоже возникает динамика типа (11.1), если под а, подразумевается цена з'-го товара, а Д(х) — т; по знаку совпадает с разницей между спросом и предложением этого товара. Спрос выше предложения — продавец увеличивает цену, ниже— уменьшает. Как быстро — когда как, зависит от тысячи факторов.
Куда разювор клонится, видимо, понятно. К динамике систем, в которых существенную роль играет неопределенность. Направление движения определено, скорость — нет. В моделях игрового типа на скорость может влиять «с какой ноги встал». Там неопределенность присуща самой системе. В других случаях это может быть следствием приблизительности знания. Скажем, в модели сосуществования биологических видов движение (11.1) характеризует изменение численности т-го вида в направлении стационарной 190 Глава 11.
Коллективное поведение численности Цх). Реальная динамика, возможно„ более-менее определена, но точные уравнения неизвестны. Если перечисленные примеры кому-то кажутся чересчур «значительными», спектр задач легко приземлить. Душевые колонки подключены к одному стояку, х; — положение крана горячей воды.
Каждый крутит свой кран, мешая соседям добиться желаемой температуры. Устойчива ли система? 11.2. Формальная модель Задачи рассматриваемого типа укладываются в рамки описания з1япх; = в1ап(у;(х) — х;) (1 = 1,...,п), (11.2) где г,(х) иногда мы будем называть положением цели 1-го элемента, но это лишь для удобства разговора. Ни о каких элементах и целях можно не думать.
Рис. 11.1 Важно, пожалуй, представлять геометрическую картину, стоящую за кадром. Рис. 11.1 изображает пример на плоскости. В четырех помеченных точках движение возможно в любом направлении в пределах выделенных секторов. Выбранная для примера ситуация, когда 1';(х) не зависит от х;, необязательна. Но такого сорта предположение естественно в рассматриваемых моделях. доло в том, что описание лап х; = гвп д,(х) 11.2.
Формальная модель 191 остается тем же по сути в случае замены у,(х) на И;(х), если з!апр;(х) = з1апЛ;(х). Поэтому в (1!.2) можно подразумевать сделанной замену р;(х) на у;(х) — х;, где функпия Д,(х) (не зависягдая от х,) определена из условия ГЛ(хы...,х,, /,(х),х, и...,х„) = О, что возможно в естественных предположениях. Модель в записи (11.2), разумеется, неудобна, поскольку траектория х(1) может останавливаться «раньше времени»,не говоря о том, что само определение решения здесь имеет свои сложности.
Поэтому мы заменим (11.2) «чуть-чуть» другой системой: (11.3) считая функции у;(1) строго положительными и такими, что (11.4) Расходимость интегралов (11.4) гарантирует, что система (! 1.3) быстро не устает, т. е. х(1) не может сходиться к неравновесной точке. Вместо Ях) — х; в (11.3) может фигурировать любая другая функция-индикатор 91(х), совпадающая по знаку с Ях) — х;. запись (11.3) никаких особых преимуществ не имеет, за исключением лаконичности некоторых формулировок и объяснений. Принципиальное отличие модели (! 1.3) от абычнык систем дифференциальных уравнений заключается в том, что здесь в пале зрения находится целый ансамбль систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
