Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 30
Текст из файла (страница 30)
яамсдой системе отвечает свой юзбор фуюсций (Ъ (!) ° ° ть(!)). Если речь идет аб асимптотической устойчивости равновесия (11.3), то это подразумевает скодимость х(1) ь х* всех траекторий ансамбля. устойчивость по Ллпунову— означает, что по любой окрестности 1г мазсно указать такую — И', что, стартуя из Й', ни одна система ансамбля не моисею вывести траекторию из и. 192 Глава 11. Коллективное поведение Векторная запись системы (11.3) имеет вид (1 1.5) где Г(Е) = Йаа( 11 (ь),..., у„(1) ). Стержневой вопрос в рассматриваемых моделях — асимптотическая устойчивость равновесия.
По первому впечатлению обычно кажется, что ответ может быть только отрицательным, поскольку системе «дозволяется» уж очень свободно себя вести. Тем не менее, если существует потенциал ут(х), такой что у(х) — х = — ягас) (р(х), то движение (11.5) при любом Г(1) происходит под острым углом к минус градиенту — и потому локальные минимумы (р(х) асимптотически устойчивы. Действительно, на траекториях (11.5) в неравновесных точках 1« = — Вгао 1«(х)Г(1)[1'(х) — х) = — 2 т;(1) [ — ) < О.
/ д1« ~ ' [,дх,) Существуют ли другие классы устойчивых моделей за пределами атой возможности? С одной стороны — да, поскольку следующие параграфы указывают такие классы. С другой стороны, как это часто бывает, при внимательном рассмотрении «да» переходит в размытое «нет». Причина заключается в следующем. В [21[ доказываются обратные теоремы для ансамблей динамических систем, гарантирующие в случае асимптотической устойчивости существование функции Ляпунова (р(х), убывающей на траекториях (11.5), т. е.
(мы здесь не вникаем в детали) (11.6) Но в (11.6) не может быть ни одного положительного слагаемого 11.3. Системы с ограниченным взаимодействием 193 иначе для системы ансамбля с очень большим 7 и малыми 7; (1 ф 7) неравенство (11.б) перевернулось бы. Естественный (но не единственный) выход из положения: дчт з18п [Д(х) — з;] = — з18п —. дх; д;(х) =,ит(х) [Д(х) — з;] становятся компонентами градиента некоторого потенциала. Но это, конечно, идеология. На практике требуются более удобные инструменты. 11.3.
Системы с ограниченным взаимодействием Отсутствие взаимодействия между элементами системы характеризует условие Дт(х) = х," (д' = 1,..., и), (1 1.7) означающее независимость положения цели каждого элемента от состояния системы. Устойчивость равновесия в этом случае— тривиальный факт. Условие (11.7) еще можно охарактеризовать как дД/дх = О. Поэтому ограничения производных естественно трактовать как ограниченность межэлементного взаимолействия в системе. Вот два условия '1 ,'у' — <1, ,'у — <1, дге дну дх. ' .
дз, (!1.8) каждое из которых обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом равновесия х', если таковое существует. При замене б Суммирование идет по всем т, а справедливость неравенств прелполагается при любом г. Это означает, что существует потенциал гр(з), минус градиент которого представляет собой набор функций индикаторов для рассматриваемой модели. Иными словами, существует набор положительных «интегрирующих множителей» р,(х) > О, таких что Глава 11. Коллективное поведение 194 в (11.8) неравенства <1 на <1 — е (е > О) — факт существования х' можно присовокупить к выводам. Для простоты разговора будем считать, например, й / — 'сг-г ц>Е>. дД дху (11.9) ЦУ(х) — У(р)Цьч < (1 — е)Цх — рЦю.
(11.10) Существование и единственность равновесия вытекают из принципа сжимающих отображений. В силу (!1.10) вектор у (х) -х в любой граничной точке шара Цх — х" Ц < т направлен внутрь шара (рис. 11.2). При этом из-за специфики нормы Ц Ц,„(шар представляет собой куб со сторонами, параллельными осям координат) умножение Дх) — х на Г(() принципиально не меняет ситуацию — вектор Г(г)(г(х) — х) остается направленным внутрь шара.
Поэтому Рис. 11.2 (р(х) = Цх — х Ц,„ является в данном случае функцией Ляпунова, которая убывает на траекториях любой системы ансамбля (11.5). В случае ) ~ — ~ < 1 — е (е ) О) дух дх, т (11.11) т(х) сжимает по октаэдрической норме'1 ~(х$ = ~ (хй которой подчинена как раз столбцовая норма матрицы. ! Сушествование и единственность равновесия снова вытекают из принципа схсимаюших отображений. Что касается динамики, то данная ситуация визуально 2) для 1)х()м = тах (х,! подчиненной является строчная норма матрицы (Ай(,„= твх ~ (а, ).
1 1 31 1 Которая двойственна кубической. В этом случае по одной из теорем о среднем [7] оператор у(х) является сжимающим по кубической норме з) 195 11.4, Гомогенные системы менее очевидна. В качестве упрюкнения предлагается доказать, что при условии (11.11) функцией Ляпунова может служить С тем же успехом динамику систем с ограниченным межэлементным взаимодействием можно изучать, отправляясь не от условий (11.8), а от (11.12) где существование строго положительных констант и„..., р„предполагается.
«Хитрость» такого обобщения заключается в линейной замене координат, приводящей (11.12) к виду (П.8), 11.4. Гомогенные системы Если иметь в виду содержательные интерпретации задачи, то на практике довольно часто встречаются системы с однотипным, однородным (гомогенным) взаимодействием элементов, что соответствует одинаковости знака всех производных д/1/дж . Например, в рыночной модели с валовой заменимостью товаров ~20~ все д,/1/дх > О, с валовой дополнительностью — д,/!/дш < О. Пример.
К источнику с внутренним сопротивлением г и ЭДС Я подключены и электрических сопротивлений х„снабженных регуляторами и находящихся в распоряжении участников А,. Цель каждого оператора состоит в поддержании на своем сопротивлении напряжения вв. Глядя на стрелку личного вольтметра, А, обычно крутит регулятор в соответствии со знаком функции индикатора у,(х)=в,— г+х ~х У При г ~ т все ду,/дх, > О, равно как и д/ /дх, > О.
Описанная «игрушка» при условии г в, < Š— устойчива (что легко ч а следует из приводимых ниже результатов) — и достижение равновесия (индивидуальных целей) не вызывае~ затруднений. Возможны, разумеется, другие электрические схемы, в том числе неустойчивые. Последние используются для проверки коллективов на психологическую совместимость. Регулировать «свое напряжение» в неустойчивой схеме — нелегкое занятие, способное довести участника до нервною срыва. 196 Глава 11. Коллективное поведение Если монотонный оператор 7'(х) имеет на инвариантном конусном отрезке 4) (е, и5) единственную неподвижную точку 5), то (лемма 10.2.3) любая траектория е(а) любой системы ансамбля (11.5), начинающаяся в точке е, монотонно возрастает, сходясь к х* снизу. Аналогично„иг(а) — монотонно убывает и сходится к х" сверху. Траектория х(а) с началом в любой точке (е, иг), будучи зажатой между е(а) и и5(е) (см.
(! 0.4)), тоже будет сходиться к х'. При всем при этом любой конусный отрезок (е(в), а5(1)) остается инвариантным для 7. Поэтому (е(а), а5(с)) при 1 — у со представляет собой семейство инвариантных множеств, стягивающихся к х', что обеспечивает устойчивость. Если монотонный сильно положительный оператор 7(х) супероднороден — удовлетворяет неравенству (10.7) — и имеет неподвижную точку х" ) О, то единственность равновесия и сушествование сколь угодно большого инвариантного конусного отрезка на внутренности В+ можно не оговаривать — они следуют автоматически (см.
раздел 10.5). Та есть т(е) ) е, у (и) < и. я 5 другими славами, система (! 5.5) имеет на (в,м) единственное равновесие а'. Обозначения м — обозначает начало рассуждения, темы, доказательства. ~ — обозначает конец рассуждения, темы, доказательства. (>) — предлагает проверить или доказать утверждение в качестве упражнения, либо довести рассуждение до логической точки». А =~  — из А следует В х Е Х вЂ” х принадлежит Х Х 0 У, Х П Г, Х ~ У вЂ” объединение, пересечение и разность множеств Х и 1' Й вЂ” замыкание области Й 1пг Й вЂ” внутренность Й В~ — плоскость, Вз — трехмерное, В" — и-мерное пространство 1 — мнимая единица, 1' = — 1 л = х+ 1у — комплексное число, з = г(соз1д+1а|п<р) — его тригонометрическая запись, х = Кег — действительная часть, у = 1гпг — мнимая; г' = х — гу — комплексное сопряженное число х = (хн..., х„) — вектор, х; — его координаты ху — скалярное произведение векторов х и у, ху = х~у~+...
+х„у„. Для скалярного произведения используются также эквивалентные обозначения х. у и (х, у) Обозначения 198 Ат = А' — тРанспониРованнаЯ матРица А (а~ = атг) б 3' А" — сопряженная матрица — для получения А" матрица А транспонируется, и ее элементы заменяются на комплексно сопряженные гг А — след матрицы А (сумма диагональных элементов) ф(х) — производная функции у(х) в точке х, эквивалентное дх обозначение г"(х) для производной по времени вместо х'(1) чаще используется х, а для второй производной х ди — — частная производная функции и по переменной х. Эквидх валентное обозначение и', 17~(х) — градиент функции ~(х), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
