Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 28
Текст из файла (страница 28)
10.2.2. Теорема. Оператор сдвига Б,с по траекториям внедиаго- нально монотонной системы (10.1) — монотонен. Если х(С) и у(С) удовлетворяют, соответственно, х = 7(х, С) и у = /(у, С), то л(С) = х(С) — у(С) удовлетворяет системе (1О.З) л = С(у + л,С) — Г(у,С) с внедиагонально положительной правой частью. Теорема ! 0.2.! гарантирует л(С) > 0 при условии х(0) > у(0). 5! Условия единственности решения задачи Коши подразумеваются.
1ВО Глава 10. Конусные методы Внедиагональная монотонность (положительность) правых частей г" (х, С), конечно, является частным случаем обыкновенной монотонности (положительности), но именно «внедиагональность» позволяет охватить практически интересные случаи, когда траектории не уходят монотонно в бесконечность, а стремятся к равновесию. Для понимания результатов важен следующий факт. 10.2.3. Лемма. Если траектория х(С) внедиагонольно монотонной системы (!О. 1) начинает двигаться вперед (назад), то она все время будет двигаться вперед (назад).
Другими словами, из х(С) ) х(0) при малых С ) 0 следует х(С) > х(в) > х(0) при любых С 3 а > О. В непрерывно дифференцируемом случае доказательство выглядит так. Пусть р = Г(х, С). Тогда, в силу (1О.!), система уравнений дт', у,=~ — у, (т=1,...,п) дх, удовлетворяет условиям теоремы 102.1, и потому у(С) >О, если р(0) > О, и у(С) (О, если у(0) (О. Таким образом, если траектория х(С) начинает двигаться вперед, т. е. х(0) = р(0) > О, то она будет продолжать двигаться вперед, поскольку производная х(С) все время положительна, х(С) = у(С) > О.
Аналогично дело обстоит с движением назад. Доказательство в обшем случае легко получается с опорой на полугрупповое свойство и монотонность оператора сдвига Гтн. Во внедиагонапьно монотонном случае из х Е (о, и) следует (по теореме 10.2.2) о(С) < х(С) < и(С), (10.4) где о(С), х(С), и(С) — траектории (10.1), выходящие из точек о(з) =о, х(з) =х, и(з) =и (в<С).
Если дополнительно С (о, С) > О, у(и, С) < О, то о(С) > о, и(С) < и, причем о(С) монотонно растет, а и(С) — убывает, т. е. конусный отрезок (о, и) оказывается инвариантным— о ( х(С) ( и, если х(0) Е (о, и) . 10.2. Монотонность оператора сдвига 181 < Последнее вытекает из слелуюших сообра)кений. Если у(в,!) > О, то (при условии внелиагональной монотонности) система (!О.!) удовлетворяет условиям теоремы 10.2.1 на «сдвинутом конусе», состоящем из точек х > в. Поэтому в(!) > в при любом ! > О. По аналогичной причине гл(!) < и.
Теперь лемма 10.2.3 гарантирует монотонный рост в(!) и монотонное убывание щ(!). Заметим, что неравенство (10.4) означает инвариантноств конусного отрезка (т), и) для оператора сдвига ЙГ,), т. е. Уаг((т) и)) С (п и) что, в свою очередь, влечет за собой (по теореме Брауэраб)) сушествование у Уа! неподвижной точки х* при любых л и (в т.е.
существование равновесия. Если система имеет единственное равновесие х*, то из монотонности роста в(г) и ограниченности (в силу и(г) < и(ь))— следует в(г) — ь х*. По аналогичной причине и(1) ь х'. Но тогда из сходимости крайних функций в (10.4) к одному пределу— следует х(Ь) — + х' при любом х(0) Е (п,и). При этом очевидна асимптотическая устойчивость т) х*. < Теперь доказательство теоремы !0.0.! совсем просто. Достаточно заметить, что х = А(Цх+ Ь(!) оставляет инвариантным конусный отрезок (О, рх'), гле и > 1, поскольку в прелположениях теоремы А(!)рх' ф Ь(!) = и (А(!)х* + — ) < О. Ь(!) т Заметим, наконец, что рассмотренные результаты в комбинации с теорией Флоке легко применимы к изучению вынужденных колебаний (см.
раздел 5.2). б) Теорема Браузра гарантирует существование непалвнжной точки у непрерывного оператора, отображающего в себя ограниченное замкнутое выпуклое множество. Интересно, что приннип Биркгофа — Тарского 171 а ванном случае гарантирует существование непоавижной точки без предположении о непрерывности.
7) Мы не отвлекаемся на обсужленнс очевилных летслей, типа того, что система нс должна быстро уставать, — см. по указателю «БУ-снстемы . 182 Глава 10. Конусные методы 10.3. Гетеротоннме системы Отображение ~(х) называется гетератанным, если оно представи- мо в диагональном виде Т'(х) = Г(х, х), причем сопутствующий оператор у(п, ю) монотонно растет по п и убывает по ю. Подходящее расщепление оператора на диагонали возможно почти всегда. Например, если каждая компонента Д,(х) оператора /(х) монотонно или возрастает, или убывает по кюкаой в отдельности координате х,, то в качестве сопутствующего оператора у можно взять отображение с компонентами у,(е, ю), которые получаются из Д,(х) заменой х, на е,, если у,(х) растет по х, и— на и, — в противном случае.
Такие операторы назовем гетерогенными — они охватывают все линейные отображения у(х) = Ах с постоянной матрипей. Еше одна простая илея заключается в использовании представлений у(х) = щах(уз(х), гу(х)) с монотонно возрастающими и убывающими функпиями )е и гу. Для монотонного оператора /(х) в качестве сопутствующего можно взять у(е, ю) = у(е), для антимонотонного (убывающего по х) — у(в, ю) = г(ю). Композипия у(д(х)) гетеротонных операторов — гетеротонна.
Сопутствующий оператор— 7(р(е, ю), р(ю, е)) . Далее вводится оператор Г", сопоставляюший паре элементов (п, ю) пару (у(в, ю), Г(ю, и)). Легко видеть, что если теперь пространство ге~я пар (п, ю) полуупорядочить ортантом В~", первые и координат которого положительны, остальные отрицательны, то оператор Г(п, ю) будет монотонным (по конусу В~+Я ). В результате изучение Г" (х) может быть сведено к исследованию монотонного оператора Г(п, ю) в расширенном пространстве. Монотонность, конечно, очень сильное средство, но сама по себе (в голом виде) она мало что дает. Действенные предположения легко возникают в русле теорем предыдушего раздела.
Роль инвариантного конусного отрезка теперь играет сильно инвариантный конусный отрезок (и, ю), определяемый неравенствами Д(п, ю) > п,,т(ю, п) < ю. (10.5) 10.4. Дифференциальные неравенства 183 Неравенства (10.5) обеспечивают обычную инвариантность конус- ного отрезка ((о, в), (в, о)) для оператора у(о, в). Роль предположения о единственности равновесия теперь играет единственная разрешимость системы уравнений а) у(о, в) = о, у(в, о) = в. (10.6) В итоге, чтобы воспользоваться результатами предыдущего раздела при изучении, например, системы уравнений ф = ~(о) — в, надо перейти к рассмотрению сопутствующей системы о = Д(о, в) — о, в = й" (в, о) — в, оператор сдвига по траекториям которой От, будет «половинкой» монотонного оператора Ота(о, в) = 1От,(о, в), Оса(в, о)), и при выполнении условий (10.5), (10.6) будут работать в та~и теоремы 10.2.1, 10.2.2 и лемма ! 0.2.3.
10.4. Дифференциальные неравенства В скалярном случае неравенства ф > ез(а, 1), у < газ(у, 1) „ю(0) > у(0), влекут за собой оценку о($) > у($) при 1 > 0 (см. лемму 2.4.2). Результат имеет многочисленные применения, но на и > 2 не обобщается. В монотонном случае идея работает почти так же хорошо. вз З Просто разрешимость (Шб) вытекает из наличия сильно инвариантного коиусного отрезка. Глава 10. Конусные методы 184 10.4.1. Если х > 2 (х, 1), у < 7" (у, 1), х(0) > у(0) и отображение 2 (х, 1) внедиагональио монотонно, то х(1) > у(1) при 1 > О.
и При доказательстве работает та гке техника, что и в разделе ЬОД. и 10.4.2. Пусть оператор 2(х,1) гетеротонный и Яо, яг, ь) — сопутствуютиий для него. Тогда из х = 7(х,1), и > 7(о,то,1), яг < Г(яг,о,1), о(0) < х(0) <иг(0) следует о(1) < х(1) < иг(1) при 1 > О. 10.5.
Супероднородность Предположение о единственности равновесия, а тем более о единственной разрешимости системы (10.6), — легко сделать, но трудно проверить. Поэтому конструктивные результаты в соответствующем направлении представляют определенный интерес. Монотонный сильно положительный оператор 7(х) назовем супероднородным х1, если для любых х > 0 и т б (О, 1) ~(тх) > т~(х). (10.7) Для гетеротонного сильно положительного оператора 7(х) аналогом (10.7) является то, †> тЯо, и) (и, то > 0).
(10.8) т / Обратное неравенство — о', тиг' < — г" (о', иг') (о', иг' > О) следует из (! 0.8) с помощью замены тг = то, яг = — иг. г т в г В 1! 51 такие операторы называются вогнугыыи. 185 1О.5. Супероднородность В случае (10.7) неподвижная точка у Г'(х) на внутренности конуса единственна (если есть), а в случае (!0.8) система (10.6) имеет не более одного решения при условии и, тв > О. Усиление (! 0.8) ( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
