Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 27
Текст из файла (страница 27)
в) Используя интегрирование ио частям. 172 Глава 9. Механика В случае, когда Ь вЂ” лагранжиан некой механической системы, интеграл (9.6) называют действием по Гамильтону. Из приведенной выкладки следует, что механическая система движется по экстремалям действия, что называют принципом Гамильтона. Это еще одна удобная позиция, с которой некоторые механические закономерности лучше видны. 9.5. Инвариант Пуанкаре †Карта Вывод уравнений Лагранжа и Гамильтона не так сложен, но прогресс — значителен. Правда, в данной точке пути это еще не так хорошо видно.
Оценить «что имеем» вЂ” вообще трудно. А здесь пока — есть заявка, но нет исполнения. К тому же иногда мешает постановка неправильных вопросов. Изучение с помощью уравнений Гамильтона простейших механических задач воспринимается часто как издевательство, потому что кроме лишних хлопот — никаких выгод. В результате начинает казаться, что вся эта аналитическая механика не стоит выеденного яйца. Потом, конечно, обнаруживаются задачи, где есть выигрыш, но это принципиально не меняет ситуацию. И пессимистический взгляд сохраняет резон до тех пор, пока вопрос стоит так: чем «аналмех» может помочь в решении конкретной задачи? На самом деле аналитическая механика культивирована не столько для решения отдельных задач, сколько для одновременного решения сразу «всех» задач. Разработка идеологии и общих принципов здесь стоит во главе угла.
Инварианты движения, законы сохранечия, поиск «оптимальных» типов переменных, связь механических задач с вариационными принципами — вот что находится в центре внимания. Один из центральных вопросов — инварианты движения. Сохранение фазового объема при движении механической системы следует из В деН даН дРздДз' дчпздРз' з~ ~ Разумеется, при участии те»реми Лиувилля. Глава 9. Механика 174 9.6. Завершение картины Изложение в данном месте подходит к тому повороту, за которым необходимо перейти либо на более обстоятельный стиль, либо— на информационный. Объяснение «по верхам» перестает работать.
Поэтому мы ограничимся краткими замечаниями об основных моментах, на которые стоит обратить внимание при знакомстве с предметом по более детальным источникам. о При наличии у механической системы и первых независимых интегралов — движение происходит по поверхности и-мерного инвариантного тора ~а> На этом торе можно выбрать ровно и базисных контуров С», которые непрерывно не переводятся друг в друга и не стягиваются в точку.
о Помимо (9Д) при лвижении механической системы сохраняется также инвариант Пуанкаре (без Картана, и без координаты () (9.9) о Если контур интегрирования в (9.9) стягивается в точку, то 1 = О. Для базисных (неприводимых) контуров С» сушествует и переменных называемых переменными дайс»ивия, что имеет особое звучание, поскольку все 1» = сопзг. о На введение переменных действия можно взглянуть с другого конца: и-мерное инвариантное многообразие (тор) в 2п-мерном фазовом пространстве описывается и интегралами Яы...,߄— и любую переменную 1, = 1»(Ям..., Ь'„) можно считать переменной действия в юм смысле, что 1, = сопя» на траекториях движения, т.е. 1» = О.
Остальные и независимых переменных угла будут определять движение по тору. о Замена переменных — один из вопросов, который в аналитической механике находится в центре внимания. Обобщенные координаты могут быть определены с большой степенью произвола. Этой свободой целесообразно распорядиться так, чтобы получить дополнительные выгоды. Например, пытаясь сделать гамильтониан независимым от максимально большого числа переменных. Такие переменные называют циклическими, соответствующие уравнения и> Многомерный аналог поверхности обыкновенного бублика, которая представляет собой произведение лвух окружностей. 9.6.
Завершение картины 175 имеют максимально простой вид рг — — О, что и служит главным мотивом для вылеления переменных действия. о Бели анализа механических задач бывают многообразны. Поэтому исследование не всегда зацикливается на циклических координатах. Значительный интерес представляют различные канонические преобразования, переводящие одни гамильтоновы системы в лругие. Ограничимся примером из теории возмущений (! О). Если решения уравнений (9.4), принять за формулы перехола от переменных (р, д) к переменным (ро, Оо), то такое каноническое преобразование переводит систему (9.4) в у~=О, р, =0 (о=1,,,.,п), а возмущенную систему д(Н+ Й) д(н+ Й) %= Р~ = дрп д9 в систему .о дН .о до ~ до Таким образом, в новых переменных (р, д~) невозмущенная система «стоит на месте», а возмущенная — определяется решением уравнений Гамильтона, в которых фигурирует только гамильтониан возмущения Й, другими словами, возмущение гамильтоновои системы всегда можно представлять как возмущение начальных данных.
Это фундаментальный факт. Подобная точка зрения проливает определенный свет на метание траектории по размешивающейся обяасти системы с перемешиванием (глава 7). Из приведенного здесь результата следует, что такое метание можно рассматривать как скольжение по траекториям ансамбля невозмушенного движения. Сам же характер скольжения определяется внешними по отношению к модели факторами, каковые могут находиться внутри или вовне системы, в другом пространстве и в других категориях причин. о Одна из важнейших задач аналитической механики — интегрируемость системы. Интеграл лвижения, Н = сапог (сохранение энергии), получается сразу, поскольку производная Н по времени в силу уравнений движения (9.4) равна нулю, Известные по курсу обшей физики законы сохранения количества и момента количества движения — тоже легко выводятся. В определенных кругах принято 176 Глава 9.
Механика думать, что этого хватает для решения любой механической задачи, но это далеко не так. Не интегрируются весьма простые, с виду, задачи. Например, задача о волчке — о вращении твердого тела, закрепленного в точке, — которая в некотором смысле неразрешима [5]. Интегрируются волчки Эйлера [тела закреплено в центре тлзкести), Лагранзка [асесимметричный волчок с центром низкести на аси) и Ковалевской [волчок, характеризуемый определенным соотношением моментов инерции и налазкенив центра тяжести) — см.
[26]. В первых двух случаях задача решается относительно легко. В последнем — Ковалевская преодолела значительные технические трудности и нашла «недостаюший» интеграл движения— с неясным механическим толкованием и не вполне ясными причинами успеха.
Глава 10 Конусные методы Конусные методы эффективны при изучении динамических систем в довочьно широком секторе. В частности, речь идет о задачах с функциями, имеюшими определенную знаковую структуру. В качестве аванса приведем простой результат. 10.0.1. Теорема. Пусть матрица А(1) внедиагонально положительна '), Ь(ь) > О, и система ф = А(()х+ (э(1) имеет единственное положение равновесия хь > О.
Тогда х" асимп- тотически устойчиво 2). Формулировка могла бы заканчиваться восклицательным знаком, поскольку результат неожиланный. Устойчивость обеспечивается «почти без предположений», одной только положительностью коэффициентов. Никакой особой глубины злестч конечно, нет, но пример показывает насколько действенной может быть знаковая структура задачи. Иллюстрацией может служить система сов' ! 1 (мп ! — 2)х~ + — хэ + хэ 1- 3 2' 2 1 (1+ е ')х, — — (1+ с ')хэ + хэ+ — + е ', 3 2 хэ —— х, = (1+ -) х, + (1+ ) хэ — (!О+ — ) хэ+ !в имеюшая асимптотически устойчивое равновесие х' = (1, 3, 1/2), поскольку все предположения теоремы 10.0,1 выполнены. !При 1ф 2 все а, (О > О.
эЭ Доказательство приводится в разделе 10.2. Глава 10. Конусные методы 178 10.1. Полуупорвдоченность Замкнутое выпуклое множество К линейного пространства называется конусом, если х Е К, х ~ О влечет за собой — х ф К и ах Е К при а > О. Простейший пример конуса — неотрицательный ортантз! Вп + Конус К позволяет ввести полуупорядоченностгс х > у, если х — у Е К. Если же х — у лежит внутри К (для чего требуется телесность конуса), то пишут х > у. Множество точек х, удовлетворяющих неравенствам е < х < пг, называется конусным отрезком и обозначается (о, иг).
Монотонность Дх) означает у(х) > у(у), если х > у. Отображение (оператор) у(х) называют положительным, если ,Г(К) С К, т. е. х > О влечет за собой Дх) > О. В случае х > О =р у(х) > О говорят, что оператор сильно положителен. Общие определения даны для удобства комментариев и некоторых отступлений. Основная линия изложения опирается далее на ситуацию К = Л" . В этом случае векторное неравенство х > у означает х > у для всех у. 10.2. Монотзнность оператора сдвига Правую часть системы х = у(х,1) (10.!) назовем внедиагонально положительной41, если при любых х > О, 1 Е (О, оо) и у = !,...,п Яхн...,х мб,х +и...,х„,1) >О.
Множество точек в Е Я с неотрицательными ксюрлинатами. Ч Полтупоралоченность, если не оговорено противное, ветле прелполагаетсл ввеленной с помогцью неотрицательного ортанта. 10.2. Монотонность оператора сдвига 179 Другими словами, значения 7(х, С) при х > 0 могут быть произвольными, но как только х попадает на границу Л" — вектору 7(х, С) запрещается быть направленным вовне конуса. 10.2.1. Теорема. Оператор сдвига Оас по траекториям внедиаго- нально положительной системы (10. !) — положителен.
Траектории вспомогательной системы х = Г(х, С) +е (10.2) со строго положительным вектором е > 0 — не могут выйти из конуса, так как в граничных точках направлены строго внутрь !Се~. Поэтому оператор сдвига по траекториям (10.2) положителен. При е — 5 0 траектории (10.2) переходят в траекторииз! (10.!). ° . Правую часть (10.1) назовем внедиагонально монотонной, если прилюбыхх>у, СЕ(О,со) и у=!,...,п 72(х1,...,хт 1,0,хтч ! хп С)~>7)(У1,...,ру ! О У)-1-! ° ° Рп С). Проще говоря, внедиагональная монотонность означает монотонность роста каждой Л(х, С) по каждой координате х, т' ~ с. При непрерывной дифференцируемости зто равносильно д,(1/дх > 0 ПРИ,1 т- С. В линейном случае 7(х, С) = А(С)х внедиагональная монотонность совпадает с внедиагональной положительностью, означая внедиагональную положительность матрицы А(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
