Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Кроме того, при е > 0 система лиссипативна, хотя зто Котла 1(х е) Гг (х е) В терминах потенциалов'1 приведенный пример соответствует ситуации 2 возмушения потенциала сг(х) = -х добавкой — -х (рис.6.1). исходный нуле- 4 2 вой минимум ГГ(х) при е > 0 превращается в локальный максимум, по бокам которого возникают локальные минимумы. Большинство изучаемых бифуркаций имеет полобный локальный характер, связанный с изменением свойств равновесия и рождением или гибелью в его окрестности других равновесных точек.
6.Э. Катастрофы не так легко доказать аккуратно. С позиний удаленного наблюдателя все ясно, поскольку при больших по норме я во втором уравнении (6.3) начинает преобладать нелинейный член, «толкающий» систему к нулю — но это эвристика. При достаточно малых е > 0 результат обеспечивает усреднение (см. раздел 6.6). В итоге получается бифуркапия Андронова — Хопфа. 6.3. Катастрофы В простейшей ситуации х = -У (х, е), которая уже рассматривалась, казалось бы, ничего неожиданного быть не может. Локальные минимумы потенциала У(х, е) — устойчивые равновесия, остальные критические значения — неустойчивые. Деформация графика У(х,е) при изменении е наглядно показывает, что происходит в системе.
Тем не менее, если параметр е векторный, — возможны интересные явления. Рассмотрим, например, потенциал 4 1 2 У(х, Л) = — х + — Лзх + Л1х, 4 2 критические точки которого опре- деляются уравнением У(х,Л) =х +Л2х+Л1=0. Это уравнение катастродзы сборки. При различных параметрах Лн Л2 кубическое уравнение имеет или один действительный коРень, или Рис.б.й. Катастрофа сборки три. Если построить график «корень уравнения как функция параметров», — получается поверхность, изображенная на рис.6.2. Можно ли зту поверхность считать графиком многозначной функции х(ЛП Л2)? ВообШе говоря, можно, но если за кадром стоит уравнение х = — У'(х, Л), (6.4) возникает «второе дно». Глава б. Возмущения и бифуркации 12б Система (6А), находящаяся в равновесии — в локальном минимуме потенциала, при плавном изменении параметров движется вслед за дрейфующим минимумом.
Конечно, если не происходит ничего катастрофического. Например, если система в начальный момент находится в точке А (рис.6.2), и параметр Л2 плавно увеличивается, то состояние системы меняется вдоль АСВ. В точке С, однако, вынужденно происходит скачок (бифуркация) 2). При возвращении Л2 в исходное положение — состояние системы меняется по другому пути, ВВР, и система попадает не в исходное состояние А, а в другое— Г. Получается своеобразная петля гистерезиса. Но при специальной регулировке параметров Лг, Л2 возможен плавный переход из А в В вдоль АВ — с возвратом в состояние А. Кубическое уравнение задает канонический вид катастрофы сборки, к которому с помощью нелинейных замен координат сводятся различные другие уравнения.
По первому впечатлению, различныхтипов особенностей можетбыть довольно много. Однако оказывается, что в типичных, структурно устойчц- выхзГ, случаях при наличии двух параметров могут встречаться лишь лва типа особенностей: катастрофа сборки и катастрофа складки. При трех и более параметрах различных особенностей несколько больше, но и там дается их полная классификация [25[. 6.4. Структурная устойчивость При изучении любых математических моделей принципиальную роль играет вопрос о том, насколько выводы критичны по отношению к исходным данным.
Как сильно «ответ» зависит от условий задачи? Не могут ли малейшие возмущения кардинально изменить поведение модели? Если да, — то имеет ли смысл анализ? Там, где модель в качественном отношении нечувствительна к малым возмущениям, — говорят о ее структурной устойчивости, или о ее грубости. Если матрица А гурвицева, то движение х = Ах качественно не меняется при малых возмущениях А.
Фазовые портреты х = Ах и х = (А+ глА)х приблизительно одинаковы. Траектории приходят из бесконечности и втекают тл Система в результате переходного процесса ищет и находит другое положение миниллума. зг См. спел. раздел. 6.4. Структурная устойчивость 127 в нулевое равновесие. Асимптотическую устойчивость нуля не нарушают и нелинейные лобавки типа ех', но они могут изменить качественную кар~пну при больших по норме х. Если же разрешить возмущения чт х), то устойчивость к' = 0 может нарушиться, зато при больших по норме к ничего принципиально не изменится.
Если А имеет собственные значения с нулевой действительной частью, то ситуация иная — малые возмущения могут существенно изменить фазовый портрет. Но и здесь, кстати, при определенных довольно жестких ограничениях на класс допустимых возмущений может обойтись без катаклизмов, что уже встречалось при анализе параметрического резонанса (раэдел 5.3). Наличие структурной устойчивости — как показывают примеры — зависит от того, чего мы хотим и что допускаем. Иными словами, для точного определения каждый раз необходимо указать, сохранение каких свойств требуется и какие возмущения разрешены.
Грубы ли уравнения механики? Без уточнения деталей вопрос не имеет ответа. Если кому-то угодно разрешить возмущения, содержащие третьи производные, то классическая механика становится бессмысленной. С другой стороны, обосновать запрет— не так легко. Решающий аргумент, конечно, критерий практики. Рецепт, дескать, работает — и потому правилен. Однако неправильные теории нередко дают верные результаты. Проблема определения структурной устойчивости, понятно, в своей основе не математическая.
Физическое чутье, здравый смысл, эвристика — здесь главные точки опоры и, одновременно, источники произвола толкования. Но до глубин понимания доходит, когда речь идет о применимости моделей на практике. Скажем, теорема 4.42 об устойчивости по линейному приближению — это теорема о структурной устойчивости. С формальной точки зрения — совершенно определенный и строго очерченный результат.
Совсем другой вопрос, отвечает ли такое понимание грубости модели тем или иным практическим зааачам. В одном случае — да, в другом, — может быть, нет. Хотя в данном контексте структурно неустойчивые модели выглядят изгоями, их попадание в поле зрения нормального математического исследования — вещь естественная и часто обязательная. Бифуркационные значения параметра, например, зто как раз те значения в, при которых система структурно неустойчива в любом разумном смысле. Но именно такие ситуации, когда параметр системы проходит через критическое значение, широко распространены.
Их приходится изучать. Глава б. гзоэмущения и бифуркации 128 Интересно, что при этом возникает вопрос о структурной устойчивости следующего порядка. Скажем, помимо катастрофы сборки существует большая масса весьма хитрых поверхностей, изучение которых распылило бы исследование по бесконечной территории. Теория катастроф тогда задается естественным вопросом, какие поверхности структурно устойчивы по отношению к малым возмущениям потенциала.
Классификация резко упрощается (25]. Одна из стандартных схем рассмотрения проблемы структурной устойчивости для уравнения х = у(х) (6.5) выглядит так (вопрос освещается в бегло-информационном ключе). При возмущении х = /(х) + й(х) (6.6) система (6.5) считается структурно устойчивой (грубой), если по любому е > О можно указать такое б > О, что при возмущении с(х), удовлетворяющем условию существует гомеоморфизм ) фазового пространства, который сдвигает точки не более, чем на е, и переводит траектории невозмущенной системы (6.5) в траектории возмущенной системы. Требование структурной устойчивости для систем на плоскости существенно упрощает возможные структуры разбиения фазового пространства, так что все они становятся обозримыми, и кюкдая из них определяется конечным числом особых фазовых траекторий.
Для структурной устойчивости систем на плоскости необходимым и достаточным оказывается выполнение следующих условий: ° имеется конечное число пополнений равновесия, которые все являются простыми и среди которых нет центра; ° отсутствуют сепаратрисы, соединяющие два седла; ° имеется конечное число замкнутых траекторий, калсдая из которых представляет собой предельный цикл, устойчивый или неустоичивый одновременно с обеих сторон. При малой размерности фазового пространства (и = 1, 2) структурно устойчивые системы образуют всюду плотное множество. Часто упоминается негативный результат Смейла о том, что при и > 2 почти все системы (6.5) структурно неустойчивы. При сужении поля зрения до так называемых систем Морса — Смейла ситуация нормализуется — почти все системы оказываются структурно устойчивы при любом и. 4) Взаимно однозначное непрерыаное а обе стороны отображение. 129 6.5.
Парадокс Циглера 6.5. Парадокс Циглера Система дифференциальных уравнений < Зф1+ у1г+ 6(2!о~ — угг) + (2 — Р)уг! + (Р— 1)~рг = О, (6.7) А+ угг — 6(А — А) — 'Р~ + 1ог = О описывает движение шарнирно соединенных стержней при наличии вязкого трения, характеризуемого коэффициентом 6. За подробностями, несущественными в данном контексте, можно обратиться к (231 Для определения в случае 6 = 0 критической (бифуркационной) нагрузки Р, при которой равновесие системы (6.7) теряет устойчивость, есть два пути. Можно сразу положить Ь = О, и тогда получится, что равновесие устойчиво лишь при условии 0~(Р(Р' 2,1. Более трудоемкий вариант: определяется критическая нагрузка как функция параметра 6, затем делается переход к пределу при 6 — > О. В результате получается Р' 1,5.
Таким образом, разные способы решения задачи приводят к разным ответам, — что и составляет нарадокс 7(иглера. По сути ничего удивительного здесь нет, поскольку устойчивость по Ляпунову не является структурно устойчивым свойством. Поэтому множество «допустимых» Р не обязано плавно зависеть от 6, что и служит источником расхождения. Правильный ответ, пожалуй, Р* 1,5. В диапазоне 15<Р<2! устойчива модель (6.7), но не реальная система. Наличие сколь угодно малого трения (6 > О) превращает систему в неустойчивую (!) — и этот парадокс гораздо сильнее первого. Дело в том, что трение обычно представляется благом с точки зрения устойчивости.
В том смысле, что если уж система устойчива в отсутствие трения (о = 0), то появление вязкого трения (6 > 0) лишь раздвигает границы устойчивости. Данный пример показывает, что зто не всегда так. 130 Глава 6. Возму?ценил и бифуркации Интересно, что второй парадокс был бы совершенно незаметен, если бы задача рассматривалась в стерильном виде — без физической интерпретации.
Увеличение каких-то элементов матрицы приводит к потере устойчивости — ну и что? 6.6. Методы усреднения Модели с параметром типа х = у(х, т, е) изучаются в теории возмушений с другой стороны. Никаких бифуркационных изменений, фазовые портреты меняются плавно, — однако требуется проследить за количественными изменениями решений при малых изменениях е. Один из технических приемов опирается на разложение правой части по степеням малого параметра а, у(х, 1, е) = зе(х, !) + е~(х, !) + е'ях, !) +..., и представление решения в аналогичном виде, х(1, е) = х«(!) + ахи (!) + а'хт(!) + ..
(6.8) Задача тем самым переводится в русло последовательного уточнения решений. Например, подстановка (6.8) в х = х + ех', х(0) = ! для определения хе(!) приводит к х» = хе с решением х,(!) = е'. для определения х,(!) — с учетом хе(!) = е' — к задаче х, = х, + е , х(0) = 1 с решением х, (!) = е — е . И так далее — вплоть до бесконечности. На практике, и конечно, процесс обрывается на втором-третьем шаге. Что касается обоснования, это болезненный вопрос в теории возмущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
