Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 16
Текст из файла (страница 16)
упраасиения (см. [Г2]) ° Для (асимптотической) устойчивости линейной неоднородной системы (4.9) а = А(С)х+ У(С) необходима и достаточна (асимптотическая) устойчивость нулевого равновесия однородной системы х = А(С)х. ° Все решения (4.9) при любом т(С) устойчивы (вполне неустойчивы), если устойчиво (вполне неустойчиво) — хотя бы одно. ° Для устойчивости однородной системы х = А(С)х необходима и достаточна ограниченность всех ее решений при С вЂ” 5 +оо.
° Все решения устойчивой системы (4.9) при С -5 +ос либо ограничены, либо не ограничены '55. ° Для асимптотической устойчивости однородной системы Е = А(С)х необходимо и достаточно стремление к нулю при С вЂ” 5 +оо всех ее решений. ° Если матрица А гурвицева и В(Ц -5 О прн С вЂ” 5 +со, то система х = [А + В(С)[х асимптотически устойчива.
155 И потому все ее собственные значения действительны. Решения х(С) = С.~-се уравнения х = ! -~-С вЂ” х не ограничены, но асимптотически устойчивы. Глава 5 Колебания 5.1. Гармонические сигналы О колебаниях говорят, имея дело с периодическими функциями Г'(1), характеризуемыми наличием периода колебания т; У(1+ т) = — У(1) При этом функция у считается т-периодичпой. Одним из эталонов периодического сигнала служит синусоидальная функция (имею!цап период т = 2тг/аг) х(1) = а з(п (цг( + гр), (5.1) При ело!кении двух гармоник, а, цп(аг1+ угг) + аг цп (ы1+ угг), получается снова гармонический сигнал (5.1) с амплитудой а, а = а!+ а! + 2агаг сов(и! — рг), г г и некоторым сдвигом по фазе.
Зависимость амплитуды суммарною сигнала от разности фаз угг — угг представляет собой широко известное явление инпгерфе- рениии. Гармонические сигналы дают стандартную основу для представления любых функций в виде бесконечных сумм или интегралов. и ! алесь и = 2яы, ы = !/т — обыкновенная частота, т — период колебания. где а — амплитуда, аргумент синуса (И + гр) — фаза, (р — сдвиг по фазе, аг — круговая частота '). Функцию (5.1) называют гармоническим сигналом. Понятно, что замена в (5.1) синуса на косинус равносильна сдвигу по фазе на гг/2 — и потому не меняет природу сигнала.
1Ог Глава 5. Колебания позволяет представлять Г(С) в виде ряда Фурье Г(С) = — + ~ ~(а„сов пС+ Ь„ь!ппС) (-я < С < я), ао 2 «=! (5.2) где ! /' а„= — / /(С) сов пС а!, Г Ь„= — / Г(С) япп|а!. л/ -х В случае непериодических функций аналогом (5.2) служит интегральное представление Фурье Г(С) = /(а,„совы! + Ь,„япыС) йи, о (5.3) где ! а, = — / Г(С) совы|а!, (5.4) х ! Г Ь, = — / Г(С) ь!и ыС |(С. При работе с синусами или косинусами использование комплексной экспоненты еаи экономит много сил — и на освоение этого приема имеет смысл вьшелить некоторое время. В преобразовании Фурье, например, (5.3), (5.4) заменяются на где Г(ы) = — Г(С)е " |СС. 2|г у Незначительное с первого взгляла упрощение — в процессе работы оборачивается сушественной экономией.
Разложение лериодических функций Г(С) по ортогональной тригонометрической системе (см. например, (7() (1,соьпС, ь|ппС) (и = 1,2,...) 5.2. Вынужденные колебания В дифурах известное преимушество экспоненты заключается в том, что ее дифференпирование снова дает экспоненту, тогла как произволная синуса равна косинусу и наоборот, что порождает неразбериху. Вот еше один показательный пример.
При сложении когерентных колебаний, идущих от шелей дифракпионной решетки, возникает сигнал х(С) = сот ыг+ соз (хе+ 1е) +... + сох (ыГ + пр). Задача суммирования здесь выглядит довольно сложной. Если же заметить, что х(1) яш|яется действительной частью суммы а(о еыг+еыии+ 1 с~мы~И проблема легко разрешается, поскольку а(т) представляет собой сумму геомет- рической прогрессии с показателем егт. 5.2. Вынужденные колебания Если в х = у(х, т) вектор-функция у(х, ь) т-периодична по с, то естественно ожидать наличия в системе т-периодичных решений. 6.2.1.
Для существования т-периодичных решений х(ь) необходимо и достаточно, чтобы у оператора сдвига У = Ув была неподвижная точка хе, т. е. Ухо = хо. Очевидно, х(ц = стет(хе) является т-периодичным решением. Рассмотрим пока однородную линейную систему (5.5) х = А(()х с т-периодичной матрицей А(ь). Решения (5.5), как известно (раздел 3.2), могут быть записаны в форме х(г) = Х(ь)хв, где фундаментальная матрица Х(ь) есть оператор сдвига Увг— т-периодичность Х(е) проверяется подстановкой в (5.5).
Матрицу Х(т) (сдвиг на период) называют матрицей монодромии, а ее собственные значения — мультипликаторами системы (5.5). Глава 5. Колебания 104 Для системы х = Ах с постоянными коэффициентами Х(т)=е ', а мультипликаторы р» = ело', где Л» — собственные значения матрицы А. Очевидно, 5.2.2. Лемма. Если у матрицы В спектральный радиус р(В) < 1, то обязательно найдется норма Ц Цо, в которой ЦВ(), < 1. В качестве Ц Ц. можно взять Цх(), = гпах(Л )(В хЦ: » = О, 1,... ), где р(В) < Л < 1, а Ц Ц вЂ” произвольная норма в В".
В этом случае, очевидно, ЦВх((, = Л гпах(Л 1»+'1((В"+'х(й» = 1, 2,... ) < Л)Щ. В неавтономном случае (5.5) матрица Х(т) может быть определена аналитически в редких ситуациях, но численно — практически всегда, и с большой точностью. Рассмотрим теперь неавтономную систему х = А(1)х + ~(1) (5.6) с т-периодичными А(1) и г(1). Распространенный вариант: мат- рица — не зависит от времени„а Я) — внешнее периодическое воздействие на систему, < Из (3.20) и утверждения 5.2.1 вытекает, что начальные условия х(0) т-периодических решений (5.6) определяются уравнением хо 2Г(т)хо+ / л(т)л (а)/(а) вв о 1 Наибольший модуль собственного значения. Таким образом, если матрица А устойчива (все КеЛ» < О), то оператор сдвига за период Х(т) имеет спектральный радиус2) < 1, и поэтому — сжимает в некоторой норме.
Это вытекает из следующего факта. 105 5.2. Вынужденные колебания откуда хо = (2 — Х(т)Г ~ Х(т)Х '(а))(а) Ва, о для чего необходимо и достаточно, чтобы ! не бьша мультипликатором системы (5.5). При известном начальном условии периодическое решение определяется автоматически по формуле (3.20).
Если один из мультипликаторов равен 1, периодическое решение может не существовать. Теоретически этот вариант рассматривается элементарно— как случай разрешимости линейного уравнения [з — Х(т))х = 6 с вырожденной матрипей 2 — Х(т). Устойчивость периодического решения — является обычно главным вопросом. В рассматриваемом случае проблема решается довольно просто. 5.2.3. Теорема. Если все мультипликаторы системы (5.5) по модулю меныие единицы, то у системы (5.6) периодическое решение существует, единственно и асимптотически устойчиво.
Существование и единственность периодического решения х'(Ц бьши установлены выше. Из (3.20) вытекает где оператор сдвига Х(1) по траекториям (55) т-периодичен, и поэтому, если 1 = Ьт+ а, где а < т, Х(1) = Х(йт+ а) = Х (т)Х(8), что влечет за собой Х(С) -+ О, т. е. х(С) — х'(1) -+ О. Помимо этого, в норме из леммы 5.2.2 ))Х(16. < Л ЦХ(в))).. Поэтому Х(1) стягивает в точку любой шар Цх)), < г, что обеспечивает устойчи- вость по Ляпунову.
Обратим внимание на следующие моменты. В нетривиальном случае 3): ° На замкнутой периодической траектории х*(1) не любая, а единственная точка х(0) является неподвижной точкой оператора сдвига. 1 Когда /(1) действительно зависит от Ь 106 Глава 5. Колебания ° Все решения х(г) — в условиях теоремы 5.2.3 — сходятся не только к орбите (следу), но и к самому периодическому решению х'(г), т.е. происходит синхронизация с внешним периодическим воздействием. Изложенный материал принято именовать теорией Флаке. В [! 5) можно найти дополнительные подробности. 5.3. Резонансные явления Резонансом называют феномен резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего гармонического воздействия к частоте одного из собственных колебаний системы. При воздействии гармонического возмушения 2 соз ог$ на простейший осциллятор динамика системы описывается уравнением х+ 7х+ огох = у созогг, г (5.7) где ого обозначает собственную частоту осциллятора, а 7 — коэф- фициент вязкого трения.
К решению (5.7) приводит подстановка х = Се""', в результате которой получается ( — ы +7ты+хе')Се' = Зе' ', откуда С= з + 7гьм+ хо Действительная часть Се'в' дает решение х(г) = А соз (ы~ — р), (5 5) где А = ~С~ =, гйуг= 7ы З ' —,'3т~т' ' ч— (5,9) Из формулы (5.9) видно, что амплитуда А максимальна при совпадении собственной частоты гао с частотой ог внешнего воздействия и А — з со при ш — з шо и 7 — з О. Сдвиг по фазе ~р при оз = ого равен тг/2. Интересно, что при ш < ого маятник движется Устойчивость решения А соз (ыг — уг) цо Ляпунову гарантирует теорема 5.2.3 (разумеется, если 7 > О, что обеспечивает устойчивость характеристического полинома).
5.3. Резонансные явления 107 с некоторым запаздыванием по фазе по отношению к вынуждаюшей силе, что интуитивно представляется естественным; при О) > ыб, — наоборот, с опережением — как бы стремясь избежать воздействия, — что, в связи с неодушевленностью маятника, кажется немного странным. Решение (5.8) можно представить в эквивалентном виде«) х(1) = А, гйпо)1+ Ай созИ, (5.10) избавляясь от описания процесса сдвигом по фазе гр. Первое впечатление от такой замены, конечно, «что в лоб, что по лбу».
Но математически тривиальные развилки часто приводят к тому, что исследование начинает идти по другому пути, достигая в итоге либо существенных результатов, либо, наоборот, упираясь в стену и теряя ориентир. В данном случае в результате перехода от (5.8) к (5.10) возникают новые категории мышления: А,— амплитуда поглощения и Ай — амплитуда дисперсии. Составляюшая А, з)пь)1 отстает от вынуждающей силы 7" соль)1 на и/2, и ее среднее значение за период равно поглощаемой осциллятором мощности. Дисперсное колебание Ай созй)1 в точности следует по фазе за вынуждаюшей силой„и его интегральный вклад за цикл в поглощаемую мощность равен нулю ~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
