Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 17
Текст из файла (страница 17)
7(ь) = г 7усоз(ы 1+)рд) гармоник, близких к собственной частоте О)О. 4) Вослольюьавшись формулой косинуса разности лвук углов. 5) Поглошаемал мощность Рй) равна ироизвелению силы 7 сов«П на скорость кй), Усрелнение за период лает нуль в силу 1соз«П з)о ан) = О, гле угловые скобки обозначают среднее значение за период. Модель (5.7) фиксирует простые качественные закономерности и служит удобным эталоном при рассмотрении резонансных явлений вообще. В комбинации с принципом суперпозиции она позволяет делать выводы о резонансе в случае периодических сил негармонического характера. Определяющую роль при этом играет разложение внешней силы Я) в ряд Фурье, поскольку для резонанса сушественно не совпадение частот само по себе, а наличие в разложении Глава 5.
Колебания 108 Распространенное «правило» о возникновении резонанса, если частота воздействия кратна собственной частоте, и = яык, — вообще говоря, неверно. Оно работает, если в разложении у(С) присутствует ощутимая гармоника с ы = ые. В случае Я) = сок ЗыоС + сок тмоС частота воздействия в точности совпадает с резонансной (и = ие), но резонан- са нет. Параметрический резонанс. Иногда возмущение действует на си- стему косвенно — через параметры. Рассмотрим, например, движение маятника, подвешенного на жестком стержне длины С (рис.
2.3б). Пусть вертикальная координата х точки подвеса колеблется с (круговой) частотой ы и малой амплитудой е, х = е сок ыС. Сила инерции, действующая на маятник в вертикальном направлении, равна тв. Поэтому в уравнении (2.9), либо (2.10) И к ускорению свободного падения я надо добавить х = -ав сокыС, что и будет искомым уравнением движения.
В частности, (2.10) перейдет в  — аа сокИ 2 кз + ! Р=о. Если амплитуда колебаний в достаточно мала, а частота ог не слишком велика, можно считать (полагая 1 = 1), что речь идет о дифференциальном уравнении Матье х+ (цзо+ есв сокотС)х = О (. ) с малым в. Другими словами, — об осцилляторе с периодически меняющейся собственной частотой. При е = О нулевое равновесие (5.11) устойчиво по Ляпунову, и оба мультипликатора Сса системы равны по модулю единице,— что бывает критично. В результате сколь угодно малого возмущения 61 В зависимости от того, большие или малые колебания рассматриваются. 71 Действующей непосредственно иа переменную состояния р.
Внешней силы'1, таким образом, нет, но при определенных условиях маят- ник удается раскачать — соответствующее явление называют ларамеюрическим резонансом. 109 5.4. Связанные системы матрицы система может «соскользнуть» как в устойчивую ситуацию, оба ))зь! < 1, так и в неустойчивую, — хотя бы один ))зь) > 1. Данный случай — исключение. Если частота оз уЬ йозс/2, где )с = 1, 2,..., — то при достаточно малом е мультипликаторы матрицы монодромии а) Х(т) равны по модулю единице — система остается устойчивой, возбуждение колебаний невозможно. Причина заключена в специфике допустимого возмушения. Система (5.11) в переменных х = х„х = х! имеет вид х, =хз, х! — — — (ао + е соз ы!)х„ т.е. х = А(Цх, гле у матрицы А(!) на главной диагонали нули, — в силу чего»! ое! Х(т) = 1.
По этой причине характеристическое уравнение для матрицы монодромии Х(т): и'+гьр+ ! =а. (5.12) При ы ~ Ьыо/2, Ь = 1, 2,..., и а = О, — легко проверяется, что коэффициент Ь меньше единицы — таким он остается и при малом возмушении (малом е). Поэтому корни (5.12) комплексно сопряжены и равны по модулю единице, в силу рпа! — — 1, м Более обстоятельно рассуждение проведено в [3).
Феномен вибрации. Совершенно иная ситуация возникает, если точка подвеса маятника вибрирует, т.е. колеблется с малой амплитудой и большой частотой цз » цзо. Здесь неожиданно верхнее положение маятника становится устойчивым (см. раздел 6.6.) 5.4. Связанные системы Два линейно связанных друг с другом линейных осциллятора описываются системой дифференциальных уравнений Ь1!х! + Ь!2Х2 + й!1х1 + о12хг = О, (5.13) Ь!2Х! + Ь22Х2 + !1!2Х! + !222Х2 = О, причем, если задача имеет физический смысл, то квадратичные формы А и В, !2!1х! + 2в!2х!Х2 + в22х2 г 2 В = Ь1!х! + 2Ь!2х!х2 + Ь22хг, ° 2 ° ° ° 2 ! Оператора сдвига за период.
»! См. (3.25), а также теорему Лиувилля. Глава 5. Колебания 110 Рис. 5.1 Рис. 5.2 представляют потенциальную и кинетическую энергию системы и потому — положительно определены. Поиск решения (5.13) в форме х = сох (огг + сг) 1с23 приводит к системе уравнений < (ап — Ь!!из )с| + (аы — Ь!гиз )сг = О, 2 2 (а|2 Ь!газ )с| + (а22 Ь22ш )с2 О, совместной лишь в случае равенства нулю детерминанта, 2 2 а|| — Ь!!из ап — Ь|г» 2 2 О а|2 — Ь!гиз агг — Ьггиз (5.14) что называют секуляриым, или вековым уравнением.
Корни (5.14) дают две так называемые нормальные частоты 'о) ш| и изг. В итоге решение (5.13) принимает вид Г '1 х(1) = ' сох ш|(1) +,' сохи|2(1). 1с23 С2 «Колебание», таким образом, может быть даже непериодическим — при несоизмеримости частот из! и шг. Интересно, что |а! Корни (5. !4) ы| и и| оказываются действительными и положительными. 2 3 Моделью движения (5.13) могут служить упруго связанные маятники (рис. 5.1) либо связанные контуры (рис.
5.2). Опять-таки, как и в случае одного маятника, в изобрюкенных на рисунках моделях заключено все богатство содержания системы (5.13) общего вида. 5.4. Связанные системы при этом в системе присутствуют две «виртуальные» гармонические компоненты с! и сг, не взаимодействующие друг с другом. Переменные "1 с = ~ ~ линейно выражаются через х = ~ [61 [хз1 Сг Х2 с =Тх, причем Т «развязывает» систему (5.13), приводя ее к виду зг[ < ~! + оз,с! — — О, ~г+оМг = О. За конспективным изложением здесь скрывается много интересных подробностей. Но традиционно зта тематика хорошо излагается (см. например, [!О, !9[), причем общий случай, и связанных осцилляторов, оказывается даже проще'". По этой причине мы не задерживаемся на деталях, тем более что рассматриваемая область в большей степени принадлежит теории колебаний, нежели дифференциальным уравнениям.
Остановимся кратко на одном важном аспекте. Помимо нормальных частот йз! и ыг поведение связанных систем определяют также нарциолвные частоты г41 Иными словами, парциальная частота д, — это собственная частота колебаний з-го маятника, если другой принудительно остановлен. Совпадение парциальных частот порождает в системе некоторые удивительные явления, которые идеологически примыкают к понятию внутреннего резонанса (между разными степенями свободы). В случае, например, отклонения одного из маятников и д! — — дг при сколь угодно слабой связи (маятники в разных помещениях), через некоторое время происходит полная перекачка энергии — от первого ко второму. Математически — тривиальная ззЗ Их назышют «ар«а«ь«н«««о«рди«атаи«.
это то самое преобразование, которое в линейной алгебре при»одит одновременна дее квадратичные формы к диагональному виду. ззЗ Не потому, что координатная запись перестает мешать, а потому, что начинают преобладать атрибуты линейного мышления. з«з Тех и других в общем случае имеется п штук. 112 Глава 5. Колебания Не менее интересные явления возникают в многокомпонентных системах при изучении вынужденных колебаний (раздел 8.5). 5.5. Автоколебвния Одномерное движение х=Т(х) с функцией г(х), изображенной на рис. 5.3, имеет нулевое неустойчивое равновесие и ненулевое х*— устойчивое. Поэтому движение на плоскости Рис.
5.3 < г = Т(г), (5.15) уз = 1, записанное в полярных координатах, имеет в нуле неустойчивый фокус и устойчивое периодическое решение (г = г*, Р = г) (рис. 5.4), называемое автоколебапием. Режим возбуждения получается мягким — малейшее отклоне- Рис. 5.4. Мягкий режим возбуждения ние системы от нулевого состояния покоя приводит к автоколебанию.
Пример (5.15) исключителен в том смысле, что автоколебания в более реалистичныхусловилх неустойчивы погуяпунову. При возмущении начальных данных время «оборота» в нелинейных системах обычно отличается от периода автоколебаний, — и эта розница нарастает с каждым разом. Д пределе точка может двигаться по той же орбите, но с ~псы или иным опережением или отставанием по времена Такое свойство называют орбитальной зктойчивостью, которая и подразумевается, когда речь идет об автоколебаниях. вещь [191, но физически (и даже философски) — удивительная.
Почему перекачка не прекращается, когда энергия колебаний распределяется между маятниками поровну? Аналитически — ответ прост. Фазовая синхронизация оказывается такой, что первый маятник «даже на выдохе» успешнее раскачивает второй (толкает, когда надо, а второй — невпопад). Но для Вселенной, где так решаются линейные уравнения, это имеет принципиальное значение. 5.5. Авгоколебания Описанная выше ситуация характерна для диссипативных нелинейных систем с неустойчивым фокусом, область отталкивания '51 Пб которого ограничена, в силу диссипативности.
В результате плоское движение х = у(х) «выдавливает» любую траекторию из Пб на границу бйб, которая оказывается орбитой автоколебания, поскольку решение х(1) не может уйти с дйб из-за непрерывной зависимости от начальных данных. С другой стороны, в силу той же диссипативности, траектории х(с), приходящие из бесконечности, вынуждены наматываться на некоторую орбиту бй, .
При совпадении дйб = бйсо возникает описанная выше картина, с той лишь разницей, что орбита не обязана быть окружностью, как в примере (5.! 5). Заметим, что диссипативность можно охарактеризовать как свойство полной неустойчивости «точки» оо с областью отуалкивания Поо. В случае бйб Ф бП, в «кольце» между Бйб и дйог будут заключены еше несколько автоколебательных режимов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
