Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Костяк теории составляют аккуратные результаты, но в реальности приходится делать шаг влево нли вправо, — и становится неясно, сходятся ряды или нет. Физикам в этом отношении легче — им чаще везет. Особое место в ряду таких инструментов занимают методы усреднения, которые уже на первой итерации дают иногда желаемый результат.
Вот как зто выглядит «издалека». Система х = е~(х, 1) (6.9) называется стандартной. Уравнение х = у(х, Й,е) (6.10) 6.6. Методы усреднения приводится к взщу (6.9) следующим образом. Пусть хо(8, с) обозначает решение (6.10) при е = О. Тогда метод вариации произвольных констант с после подстановки хо(1, с) в исходное уравнение и отбрасывания членов о(е) приводит к дхо ' д~(хо, 1, е) что укладывается в рамки (6.9).
Теория усреднения заменяет (6,9) автономной системой * = еУо(х) (6.1 1) с усредненной по времени правой частью, 1 Г Ь(*) = (У(*, 1)) = Ы у / У(*А О) з1е, о и позволяет судить о движении (6.9) при малых е, решая (6.11). Вопрос лишь в том — на каких промежутках времени? Если порядка единицыз1 (константы), то этого мало. Движение (6.9) происходит медленно, и если речь идет о 1 ° 1,— изображающая точка за это время успевает сместиться всего лишь на расстояние е, и главные события не успевают разыграться. Поэтому теория усреднения ориентируется на времена е '. В описанной выше ситуации положительный результат достигается, если среднее (Г(х,1)) существует и все фигурирующие функции липшицевы.
Точнее говоря, в этом случае по любым з? и М можно указать такое ещ что для е < ео и положительных 1< Ме ' будет йх(г) — хо(г)0 < т7, где х(1) — решение (6.11), а хо(1) — (6.9). Доказательство подобного сорта результатов технически довольно громоздко. Обилие деталей вообще характерно для теории возмущений, почему ее излагают обычно в двух крайних вариантах. Либо совсем по верхам — и здесь выбран именно этот путь, либо с такой перегрузкой подробностями, что для Что характерно лля теорем о непрерывной зависимости от параметра. 1Зг Глава 6.
Возмущения и бифуркации чтения нужны очень серьезные мотивы. Компромиссный вариант можно найти у Арнольда [4), см. также (27), Несмотря на то, что методы теории возмушений — не очень легкий в обрашенни инструмент, обойтись без них при рассмотрении многих задач практически невозможно. Поэтому здесь желательно наличие в арсенале, по крайней мере„обших представлений. Хороши, конечно, и два-три самых элементарных резулшата, но предпочтительнее общая картина, канва, стиль.
х = е~(х,у,Ц, у = у(х, у,1) (6.12) все ясно. По переменным у система движется быстро, по пере- менным х — медленно. По х система дрейфует, по у — вибрирует (дрожит). Естественно ожидать, что при изучении медленных дви- жений — по быстрым можно усреднить, но не наоборот. При расчете, скажем, влияния Луны на движение Земли вокруг Солнца— массу Луны можно размазать по ее орбитее~, и эффект ~акого усреднения, надо полагать, даст приемлемые результаты. Если же полобный фокус проделать с орбитой Земли, то это вообше перечеркнет возможность прогноза движения Луны. Разумеется, природа не заботится о том, чтобы поставлять дифференциальные уравнения в удобном виде типа (6.12).
На практике приходится каждый раз преодолевать массу трудностей, преобразуя уравнения и классифицируя переменные. Физики делают это довольно легко, поскольку им помогает физическое чутье. В математически стерильных ситуациях действовать намного сложнее. Но в том и другом случае этому все равно приходится учиться, решая задачи.
Чтобы продемонстрировать теорию усреднения в действии, вернемся к задаче о маятнике с вибрируюшей точкой подвеса (раздел 5.3). Не ограничиваясь анализом малых колебаний, вместо (5.1!) рассмотрим уравнение гр+ (ого+а~'созИ) з1пф = О (6.13) с малым б и гц )) ого. Заменив Луну гравитационным кольцом. Очень важный аспект в теории усреднения — разделение движений на быстрые и медленные, В записи 133 6.6. Методы усреднения В соответствии с идеологией усреднения представим решение гр(ь) (6.13) в виде суммы |р = т()+ С, где т))(1) — медленная составляющая движения (колебания маятника, обусловленные собственной частотой цго), а с(1) — быстрая (вынужденная осцилляция с частотой оз).
Подстановка р = у| + Г в (6.13), с учетом 5!и (1з+с) = 5!и к+с сов "тт+ о(О (еы (( 1), приводит к'| тг| + 6 = — ы«а!и 91 — е(ы' соз г(у соа ыг — гыа соа у| — аи' а!в у| соз ыг, (6.14) где 6 + гы«~ соз у| = — Еы~ з|п у) соз ы| (6.!5) описывает вынужденные колебания маятника с частотой ы (из-за вибрации подвеса). В силу ы » ы«формулы (5.9) дают 6 г а|в у) совы!, подстановка чего, вместе с (6.!5), в (6.!4) — с последующим усреднением по времени — приводит к уравнению медленного движения (6.16) ф = -ы«япф+ 6 з!и ф сов~/~, гле опосрелованный коэффициент Ю > О мал, в силу малости е. Интегрирование по т| правой части (6.!6) с обратным знаком — дает усредненную потенциальную энергию колебаний маятника, Ю гт(ф) — сов ф+ — яп 56, 2 которая имеет минимум как при 56 = О, так и при 91 = я.
Получается, что верхнее положение маятника тоже устойчиво. Конечно, все это напоминает историю, рассказанную Даниилом Даниным в одной из своих книг. Экспериментатор звонит физику-теоретику: «Эксперимент показал, что А > В». «Это потомуто», — объясняет теоретик. «Прости, перепутал, — спохватывается первый, — А ( В». «Это тем более понятно», — заявляет второй, и дает не менее убедительное объяснение. Людьми, далекими от физики, история воспринимается как анекдот, хотя это сама жизнь. В каждой задаче за кадром стоят противоборствующие факторы, Определить, что перевешивает,— 7) С точностью ло «о малого». 134 Глава 6. Возмущения и бифуркации особенно в случае приблизительного «равенства сил», — бывает нелегко, и заниматься этим на глазах у широкой публики дело неблагодарное.
Проше сконцентрироваться на одной стороне явления, лукаво не замечая вторую. Еше один пример — уравнение Ван-дер-Поля х — е(1 — х )х+х = О. В переменных «действие-угол» г+ 2 1 =, р = ага (х+ г х) 2 невозмушенное движение х+ х = 0 имеет вид 1=0, Ф=!.
Усреднение возмушенного движения 1 = е(! — х')х' = 2е1(! — 21 сов' га) мп' !е по фазе приводит к уравнению 1 = -1(2 — 1), 2 у которого неустойчиво нулевое положение равновесия, и асимптотнческн устойчиво — положение 1 = 2. Отсюда с некоторой долей натяжки можно сделать вывод о сушествовании у исходного возмушенного уравнения автоколебательного режима, см. [4) и раздел 6.2. Глава 7 Аттракторы и хаос Энтузиазм по поводу детерминированного хаоса чем-то напоминает эпопею с теорией катастроф, где ожидание чудес рухнуло, как финансовая пирамида.
Чем на этот раз закончится ажиотюк, трудно сказать, но симптомы те же. Наблюдаемый бум в значительной мере определяется остротой проблемы. Вопрос-то по существу Космический. Откуда в этом мире берется случайность— до сих пор не ясно. Поэтому любая попытка вывести хаотическое (случайное) поведение из детерминированного — воспринимается с энтузиазмом. Нынешний всплеск исследований и эмоций связан с открытием странных аттракторов, фракталов и некоторыми продвижениями в области кинетики и турбулентности. Соответствующие успехи в значительной мере обязаны повышению эффективности компьютеров, что, собственно, и определило поток новых результатов,— которые пока не устоялись, и чаще рассматриваются в гуманитарно повествовательном ракурсе, которому в главе отдается предпочтение. 7.1.
Эргодичность и перемешиеание Все, конечно, начиналось со статистической физики, где эталоном для размьгшлений был газ, заключенный в ограниченный объем. Этакий трехмерный бильярд с молекулами в роли шаров. Прямолинейные попытки вывести случайное поведение на классической базе не удавались. Основная беда была в обратимости времени. Уравнения Ньютона таха+ Ге(ж) = 0 содержат только вторые (четные) производные по 1 — и потому «не ошушают» замену п 1 на — 1.
Другими словами, микроскопическое поведение системы обратимо, тогда как макроско- и При возникновении трения а ситуация меняется, и время начинает течь ат прошлого к будущему. 136 Глава 7. Аттракгоры и каос пическое — необратимо ~1. Второй неприятностью был парадокс возврата, состоящий в противоречии макроскопической реальности с теоремой Пуанкаре о возвращении траектории в сколь угодно малую окрестность начального положенияз). Футбольный мяч к деформированному ударом состоянию не возвращается 41, Долгое время почему-то казалось, что проблема упирается в доказательство эргодичности, каковой называют равенство для траектории среднего по времени среднему по фазовому пространству. Постепенно стало ясно, что эргодичность ни при чем ~1, а все дело в перемешивании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
