Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В неавтономном случае необходимы уточнения, аналогичные тем, которые делались выше. 4.3. Неавтономный случай При рассмотрении системы х = б(х, б) определенный интерес представляет ситуация выбора функции Ляпунова ьг(х, б), зависящей от б. Если $'(х, б) классифицировать как положительно определенную при условии (т(х, б) > О, х ~ О, то д»г дЪ' д1' б'1 (х, б) +... + — б'в(х, б) + — < 0 дх~ ' ''' дхв в ' дб уже не гарантирует устойчивость равновесия х' = О. Поверхность гт = Цх, б) в пространстве переменных ($', х) меняется с течением времени, и сползание изображающей точки х(б) по Ъ' теперь не обязательно связано с приближением х(б) к х' = О.
Но если существует положительно определенная функция И'(х), такая что тг(х, ь) > Иг(х) > 0 при х ~ О, то у' < 0 влечет за собой устойчивость равновесия. Действительно, траектория х(г) не выйдет из окрестности [[х[[ < е, если точка х(ге) принадлежит окрестности [[х[[ < б, где б опрелеляется следующим образом. Пусть !пГИ'(х) = а > О на сфере [[х[[ = е, и б выбрано из условия У(х,ге) < а при любом [[х[[ < б, тогда, если й обозначает первый момент выхода х(г) из шара [[х[[ < е, то а <~ Иг[х(й)[ < <У(х(й), й) < У(х(ге),ба) < а, что дает необходимое противоречие.
89 4.4. Уравнение а вариациях Асимптотическая устойчивость требует дополнительных предположений. В частности, чтобы функция У(х, е) имела бесконечно малый высший предел б), т. е. по любому е > О можно было бы указать такое б > О, что У(х, 1) < е, как только Ох() < б и 1 Е [еб, оо).
Плюс к тому, — чтобы система «быстро не уставала» (см. выше). 4.4. Уравнение в вариациях Если х(ь) — решение задачи Коши х = 3'(х, е), х(рб) = хб, а х(ь) + у)(б) — решение того же дифура, выходящее из точки х(ьб) + у)(бб), то у)(е), очевидно, удовлетворяет уравнению З) = а (Х(б) + У) б) з (Х(б) ь). (4.3) 4.4.1. Устойчивостью (асимптотической устойчивостью) решения х(Е) называетея устойчивость (аеимптотичеекая устойчивость) нулевого равновесия (4. 3). Уравнение (4.3) при малых по норме у)(е) можно записать в виде у) =,у,(х(й), г)у) + о(Цу)))).
Таким образом, линеаризация (4.3) дает (4.4) что называют уравнением в вариациях. Производная Д вЂ” это матрица Якоби ~г( () ) д~б(хй),() дху б) прогде говоря, чтобы У(х, б) можно было сделать сколь угодно малой (равномерно по б) выбором х, достаточно близких к равновеснкк Глава 4. Устойчивость поэтому уравнение в вариациях представляет собой неавтономную линейную систему т) = А(б)т). Возвращаясь к определению, полезно обратить внимание, что Устойчивость РешениЯ х(с) = гз»зл(хб) есть не что иное, как РавНОСтЕПЕННая ПО 1 НЕПрЕрЫВНОСтЬ ОПЕратОра СдВИГа ЕГ»зх В ТОЧКЕ Хб.
Устойчивость по линейному приближению. В автономном случае х = у(х), когда речь идет об устойчивости нулевого равновесия, уравнение (4.4) принимает вид т) = Д(0)г). Понятно, что здесь проще обходиться без введения г), сразу записывая исходную систему в форме х = у'(0)х+ о(()хЦ) и пытаясь судить об устойчивости равновесия х = у(х) по линейному приближению х = ~'(0)х, поскольку в линейном случае вопрос решается исчерпывающе и достаточно легко. 4.4.2. Теорема. Для асимптотической устойчивости нулевого равновесия линейной системы х = Ах необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех собственных значений матрицы А были строго отрицательны. Сходимость всех решений е(() -ь О при б -ь оо очевидна из представления е(») = ~ с»е '.
Если все Л» различны, то с» константы. При равных Л» (см. раздел 3.5) с» могут полиномиально расти, но это не может перевесить экспоненпиальное убывание множителей е ' . для сговорчивой части населения этого достаточно. Но, в принпипе, к(з) ь О еше не гарантирует устойчивость (см. рис. 4.4). В линейном случае, однако, так не бывает, что предлагается обосновать в виде упражнения П.
Исходная проблема, таким образом, сводится к вопросу, можно ли изучение окрестности равновесия системы х = Д(х) подменить изучением матрицы А = Г"'(О). Интуитивно ситуация довольно прозрачна б). Если действительные части всех собственных значений матрицы у'(О) строго отрицательны, то асимнтатически зь Ь Подсказка: любое решение прелстаыяет собой линейную комбииапию и фупламентальимх решения, схоляшихся к нулю.
в> Ь Разумеется, если иитунпия а рассматриваемой области успела развиться. 91 4.4. Уравнение в вариациях устойчиво равновесие не талька системы х = 2'(0)х, на и х = 2 (х). Если хоть одно Ке Ль > О, то равновесие обеих систем неустойчиво. Если же все Ке Ля<0, несть Ке Ль = О, — случай пограничный. Даже линейная система х = ~'(0)х может быть неустойчива ч). Равновесие х = ~(х) может быть любым — все зависит от нелинейной добавки а('йх)~). Интуиция в данном случае не подводит, Формальное доказательство асимптотической устойчивости х = 2 (х) может опираться на приводимое ниже утверждение, имеющее самостоятельное значение. 4.4.3.
Лемма. Если любое решение х = Ах стремится к нулю при 1 -э оо, та существует пюлаэкительно определенная квадратичная форма ~р(х) = (х, $'х), производная которой в силу х = Ах строго отрицательна при х ~ О. Очевидно, ф = (Ах, Ух) + (х, УАх) = (х, (Атр+ УА)х). Поэтому достаточно показать, что матричное уравнение (4.5) А У+УА=-з' имеет решением положительно определенную матрицу У.
Левая часть (4.5) представляет собой линейный оператор А, действующий в пространстве матриц и х и. Оператор А неаырожден. В предположении противного существует такая ненулевая матрица Уе, что А Уе + УеА = О. Но тогда г можно выбрать такое хо Ф О, что р(ха) = (хо кохе) < О. А это, в силу ф = -х', противоречит сходимости хй) -г О, если х(0) = х„.
Наконец, решением (4.5) может быть только положительно определенная матрица Г В противном случае существует ненулевое уд, при котором р(рь) = (ре, Ура) ~ (О, что снова, в силу ф = -х', вступает в противоречие с х(О -г 0 в случае х(0) = ре. Замечание. Обратим внимание, что лемма 4.4.3 решает заодно упражнение, предложенное в обосновании теоремы 4.4,2, ибо показанное существование функции Ляпунова р(х) влечет за собой устойчивость (раздел 4.2). я Го П Напр р, е = )О 01 х' Глава 4. Устойчивость 92 4.4.4.
Теорема. Если все собственные значения матрицы уг(0) строго отрицательны, то нулевое равновесие системы х = у (х) асимитотически устойчиво. Добавки второго порядка малости не меняют знака производной у функции гр(х). 4.5. Обратные теоремы Теорема 4.4.4 дает повод задуматься, нельзя ли из асимптотической устойчивости нулевого равновесия системы х = у(х) сделать вывод об асимптотической устойчивости того же равновесия в случае х = 2'(х) + д(х), если [[д(х)[[ = о([[у(х)[[). Можно, причем обоснование идеологически остается прежним, но технически более сложным. Ключом к положительному решению вопроса может быть следующий факт. 4.5.1.
В области притяжения й асииптотически устойчивого равновесия х' системы х = ('(х) существует непрерывно дифференцируемая функция Ляпунова У(х) (то есть положительно определенная функция, убывающая на траекториях рассматриваемого уравнения), у которой все поверхности постоянного уровня, (г(х) = с, ограничены Утверждение 4.5.1 относится к разряду обратных теорем [14, 21[, принципиальная роль которых определяется двумя обстоятельствами.
Во-первых, они гарантируют, что второй метод Ляпунова применим всегда (хотя и не всегда ведет к успеху, ибо для поиска !т(х) нужна еще изобретательность и удача). Во-вторых, информация о существовании У(х) помогает доказывать другие теоремуя — например, о сохранении свойства асимптотической устойчивости равновесии ири малом шевелении правой части. Наиболее далеко обратные теоремы были продвинуты, пожалуй, В. И.Зубовым [14[, который пошел следующим путем.
Если для изучаемой системы существует одна функция Ляпунова, то существует и много других, среди которых можно выбирать (т(х), ~ег От функций Ляпунова с неограниченными областями (г(х) < с мало толку — траектории, уменьшая У(х), могу уходить в бесконечность (см. след. раздел). 4.5. Обратные теоремы 1т = гр(х)(1+ 1т), К(О) = О, (4.б) где — 1 < !т(х) < О при х ф О, а выбор гр(х) > О должен удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Понятно, что в пику предыдущим определениям здесь речь идет о функции Ляпунова У(х), которая отрицательна, а не положительна, — зато вдоль траекторий она растет, а не убывает (поэтому заменой $" (х) на — в'(х) можно восстановить традиционную ситуацию). Поскольку У = 17К(х) У(х), то (4.6) представляет собой уравнение в частных производных ~: х Л(х) =р(х)(1+~'), дуг (4.7) решая которое можно найти не только функцию Ляпунова, но и об- ласть притяжения.
Вот как это могло бы работать. Для < х=2ху — х, у= у уравнение (4.7) в случае (р = хг + у приобретает вил + — (-у) = (х + у )(1 4- у). з ду дУ вЂ” (2хту — х) дх Решением здесь является ,з И(х, у) = е г тц-*в) — 1 откуда видно, что границей области притяжения служит гипербола ху = 1. В (14] приводится еще несколько примеров, но все они, конечно, напоминают «рояль в кустах». Надеяться на решение уравне- !1) Например, всегда можно ориентироватьсв на 1'(х) = р(х,х ), гвс р — метрика, эквивалентная исходной (см. обзор 121!). удовлетворяющие дополнительным требованиям и).
В частности, он показав, что в области притяжения й нулевого равновесия системы х = 2(х) всегда существует функция Ляпунова, удовле- творяющая уравнению 94 Глава 4. Устойчивость ния (4.7) в реапьной ситуации довольно трудно. Тем не менее, как уже не раз отмечалось, не только в решении конкретных уравнений заключаются проблемы. 4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
