Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения (1092382), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.4. Продолжимость и зависимость от параметра Продолжнмость. традиционная концентрация внимания на локальном характере теорем сушествования и единственности породила миф о загадочных обстоятельствах, мешаюших продолжимости решения. На самом деле проблема довольно проста. Если в любой точке (х, С) выполняются условия, обеспечивающие существование решения у задачи (2.16), то продолжению х(С) сколь угодно далеко (вправо) может помешать единственная причина: уход траектории х(С) за конечное время в бесконечность (либа выход на границу рассматриваемой области). Например, любое решение х(Ц = гй (С + с) уравнения 16) Сохраивюшсм обычно условия единственной разрешимости задачи Коши.
34 Глава 2. Общая картина и опорные точки определено лишь на промежутке длины х именно по причине ухала решения в бесконечность, В случае х = х' общее решение х(Ц = (с — т) ' уходит в бесконечность за конечное время, если в начальном положении х(та) > О, и бесконечно долго стремится к нулю при условии х(гь) < О (но оказывается непродолжимым влево, при двюкении по «к минус бесконечности). Разумеется, «хороши» и те и другие уравнения — обеспечивающие продолзкимость решений и не обеспечивающие. При исследовании динамических пропессов взрывного характера, например, именно уход траекторий в бесконечность определяет причину главного аффекта Понятно, что невозможность продолжения траекторий связана с быстрым ростом правой части дифура при увеличении нормы х. Поэтому, скажем, условие ]] т'(х,1)]~ < гс]]х~] обеспечивает продолжимость решений х = т(х,1) на всю ось 1.
Это вытекает из следуюшей теоремы. 2.4.1. Теорема. Пусть при любых х Е ВЯ и 1 > 0 выполняется неравенство ь) < ( г) где функция Ц ) удовлетворяет условию Тогда решение х(1) задачи Коши х = у(х, 1), х(0) = хо пРи любом Хо Е ВЯ опРеделено пРи всех 1 > О. доказательство опирается на следующий вспомогательный результат. 2.4.2. Лемма о дифференциальном неравенстве. Пусть скаляр- ные функции (о(1) и тр(1) при 1 Е [О, Т] удовлетворяют условиям Тогда ф(0) < (о(0) влечет за собой тр(ь) < ~р(ь) при любом 1 Е (О, Т]. 'П Уходят в бесконечность, конечно, траектории упрощенной модели. 2.4.
Продолжимость и зависимость от параметра 35 В предположении противною кривая гр(!) лолжна пересечь р(!) в некоторой точке 1, как изображено на рис, 2.4, чего не может быть, поскольку в этом случае т)(!) > !з(!). ° . Теперь заметим, что для гг'(!) = х (С) = ~ ~х„(!) Рнс. 2.4 в условиях теоремы 2,4Л выполняется неравенство з) = 2х х = 2х Г(х,!) < 2Ь(Е), Г и!е а в силу 2! — = оо решения !д(!) уравнения р = Л((е) ограничены при / Г(р) конечном !.
Доказательство теоремы завершает ссылка на лемму 2.4.2. Зависимость от параметра. Чтобы модель системы, которая всегда неточна, имела право на существование, — выводы (решения) должны слабо зависеть от параметров задачи. Остановимся сначала на зависимости решения задачи Коши (2.!6) от начальных данных, т.е. х(!) от х(йа).
Если Г(х,!) удовлетворяет условию ! Липшица по х, и Р обозначает / Г(х(т), т) г(т, ю г' — как было показано ь при доказательстве теоремы 2.3.2 — сжимает в пространстве С(3е,ее+ зз!) с коэффициентом р = ст!. Ь < !. Отсюда, если х(!) и у(!) — два различных решения, то !!х — у!! < !х(йе) — у(те)! + р!!х — у!! откуда /х(!) — у(!)/ < (! — р)~х(4д) — у(йе)1, ! б!Со ео+ й!] что означает непрерывную зависимость х(!) от х(!е), т.е. непрерывность оператора сдвига !Гь ь но при достаточно малых ! — те. Однако У,, г при любом ! можно представить в виде композиции гтьз = гт„,„...
гть . з ьп где йь — е„й < гИ, что в итоге гарантирует непрерывную зависимость х(!) от начального положения при любом конечном !. Проблема непрерывной зависимости решения х = Г (х, в, ь) от параметра(ов) в на первый взгляд представляется более сложной, 36 Глава 2. Общая картина и опорные точки но она сводится к предыдущей с помощью перехода к вспомога- тельной системе уравнений < х = у(х, е, 1), с =О. 2.4.3.
Теорема. Если у(х, е,1) непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условию Пипшица по х, то любое решение х(1) уравнения х=у(х,е,г) непрерывно зависит от е и от х(0). > Пгадкость решений. Если у (х, 1) непрерывно дифференцируема по совокупности переменных т раз, то любое решение х = у(х,г) непрерывно дифференцируемо т + 1 раз. Это простое следствие того, что интегрирование увеличивает порядок дифференцируемости на единицу, а решения х = у (х, 1) удовлетворяют интегральному уравнению (2.17). Что касается дифференцируемости решений х(1, е) уравнения х = 7" (х, е, 1), то их т-кратная дифференцируемость по е вытекает из т-кратной дифференцируемости 7"(х, е, г) по совокупности переменных 'а1.
2.5. О структуре и направлениях Хорошо, когда сложная система организована иерархически. Крупные артерии. потом — мельче, мельче, и так вплоть до капилляров. Такое свойство особенно ценным представляется жителям Лондона, улицы которого образуют сплошную капиллярную сеть, и там без карты черт ногу сломит. О дифурах тоже хотелось бы иметь возмпжность мыслить укрупненно.
Поначалу кажется, что решение дифференциальных уравнений — основная магистраль. Но это не главное направление теории. Особенно, если говорить об аналитических методах, которые сейчас блекнут на фоне численного решения дифуров с помощью цифровой техники. О численных методах. м Одна из наиболее естественных идей численного решения задачи Коши, х = ~(х, 1), х(1о) = хо, ~И Детали см.
в 127 — 291. 2.5. О структуре и направлениях 37 заключается в замене производной ее приближением и переходе к разностному уравнению х(1;+ ~ ) — х(1;) 1'-н — г' при достаточно малых по модулю Ы; = Ц+г — 1;. В результате вычисление значений х; = х(1;) в моменты 1; сводится к итерационной процедуре х;+1 = х; + 7(х;, 1г).гМ;. Другая естественная идея состоит в использовании метода последовательных приближений хь(1) = х(0) + у(хя 1(в), в) Ив о (2.18) для эквивалентного исходной задаче интегрального уравнения (2.17).
Если 7(х,1) удовлетворяет условию Липшица по х с константой Х, то невязка бь(1) = ~хь(1) — х'(1)~, где х*(1) — искомое решение, удовлетворяет неравенству «тя«»ь бя(1) < Ь бь ~(в) гЬ <... < — шах бо(1). к1 «е1ол1 о Выходит, что последовательные приближения сходятся к х'(1) быстрее любой геометрической прогрессии. В данном случае говорят о факториальной сходимости. Обозрение прикладных задач показывает, что решение дифуров как таковое требуется довольно редко. Расчет движения космических тел, боевых ракет — вот примерный круг соответствуюи1их Вариации этой идеи с акцентом на повышении точности счета иногда кажутся «архитектурными излишествами», но это не всегда так. Дело в том, что определение решений на больших промежутках времени требует очень большого числа шагов — и миллиметровые неточности могут порождать километровые ошибки.
38 Глава 2. Общая каргина и опорные точки потребностей. Еще одна область приложений такого рада — научные исследования, в которых на прицеле держатся совсем другие задачи, а решение дифуров используется в качестве пробного камня. Гораздо чаше изучение дифференциальных уравнений имеет целью выявление и анализ качественных эффектов. Модель «хишвик — жертва». Перел биологами не раз возникали неожиданные задачи.
Об увеличении численности волков, например, в результате отстрела. По здравому размышлению — бред, тем не менее — факт. Действуя без математики, некоторые исследователи терялись в догадках. Дифференциальные уравнения легко вскрывают элементарную причину. Пусть х, у, соответственно, обозначают численности жертв и хищников (овец и волков). Правдоподобна следующая динамическая модель (Вольтерра — Лотка) < ф = (а — ру)х, у = (ух — б)у. (2.19) Скорость х пропорциональна рождаемости, а значит — численности х, но ко- эффициент пропорциональности а — бу тем меньше, чем больше волков (поеда- ющих овец).
И наоборот, коэффициент ух — б роста популяции хищников тем больше, чем больше пищи, т.е, овец. Анализ показывает, что решения (2.19) в окрестности равновесия имеют колебательный характер — система двизкется по замкнутым кривым (рис.2.5). На практике такого сорта колебания действительно имеют место. Представим теперь, что в точке А производится отстрел волков и система перепрыгивает в точку В.
Дальнейшее движение будет происходить по орбите меньшего размера, что интуитивно ожидаемо. Если же уменьшить численность волков в точке С, то система перейдет в Р и будет двигаться по большей орбите, Амплитуда колебаний увеличится. Эю уже противоречит интуиции, но как раз объРис.2.5. Динамика модели ясняет явление. Выясняется заодно, «хищник-жертва» что результат определяется выбором момента отстрела. Нухсно ли было для анализа решат~ дифур? Вообще говоря, нет. Важна была качественная картина поведенин. Разумеетсн, компьютер высветил на экране фазовый портрет, решив соответствующую задачу Коши для различных начальных данных. Но численные значения, даже приблизительные, для анализа совсем не существенны.
Не говоря о том, что сама модель очень далека от действительности. 2.5. О структуре и направлениях 39 Идею вторичности поиска решений дифуров хотелось бы особо выделить. Гипноз слова «уравнение» многое ставит с ног на голову. Раз уравнение — в первую очередь надо решить. А решать в 99 случаях из 100 как раз не надо. Задачи теории дифференциальных уравнений, в основном, никак не связаны с необходимостью определения х(1).
На дифуры важно смотреть не только как на уравнения, но и как на соотношения между переменными. На этом пути, не решал уравнений, можно сделать массу полезных выводов. Получить, например, все физические законы сохранения. Это, конечно, впечатляет, но чересчур глобально. Рутинные задачи находятся уровнем ниже, но и там дифуры, как соотношения, играют важную роль. Фиксируя взаимосвязи переменных, они позволяют, не находя х(1), определить период колебаний, критические значения параметров, усредненные характеристики и т. п.
Рассмотрим, для примера, гпеорему вириала, которая дает полезную характеристику движения механической системы. Уравнения движения Ньютона пззтз = сн где гз, с, — векторы, умножим скалярно на т, и запишем в виде ° 2 — (тп;т,т,) — тп т, = тезтз. Суммируя теперь по з и интегрируя по г, получаем 'З~гпзтзтз~ — / '~~~тзт дг = / ~» сзг дк (2.20) Если движение периодично и т — период, то первое слагаемое в (2.20) равно нулю.
В результате среднее значение кинетической энергии за период з»т (т) = - дз ''у — дЕ 1 р тат,' т,/ 2 На этом фоне начинает казаться, что и сами дифференциальные уравнения совсем не обязательны. д какой-то степени это имеет под собой основание, но на той или иной стадии размышлений все равно возникнет вопрос об источнике происхождения рисунка 2.5. 40 Глава 2. Общая картина и опорные точки оказывается равным вариалу сил '9) 1-1-« что широко используется физиками.
2.5.1. Теорема вириеда. [ (Т) = »г.]( Легко убедиться, что результат сохраняет силу, если движение не периодично, но ограниченно, а усреднение берется по бесконечному промежутку времени, 1+« 1 — / при т — ) со, либо усреднение вообще не производится, но интегралы / т,/ сходятся. Если силы потенциальны, Р, = 57,(т, а потенциальная энергия однородна степени и, т. е. (т(Лг) = Л" (т(г), то получается 19) (т) = -((7). 2 В частности, для линейных колебаний ((т г') (Т) = ((т) — средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, дяя движения в поле тяготения (и -1)г) (Т) = -((т) 72.
Упражнение На решении задачи Коши Е)(+ Лф+ — = и, о(0) = о(0) = 0, 0 С при любых значениях параметров выполняется равенство (2.21) В [!9) пример интерпретируется как замыкание колебательного контурат') на постоянное напряжение и. Равенство (2.21) тогда означает, что половина энергии идет на зарядку конденсатора, другая половина выделяется в виде тепла на сопротивлении. Соотношение «50 на 50» не меняется при любом 19) Клаузиус (1870) вириалом называл величину — 2У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
