Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 110
Текст из файла (страница 110)
е. са скоростью а((с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерыв- ДЧ' ДЧ' ной (см. $216); 2) производные дх ' ду ' ДЧ" ДЧ» Дг д( — должны быть непрерывны; 3) функция ! Ч'1' должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216,3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласна идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простаты рассмотрим одномерный случай Уравнение плоской залпы, распрастраниюа»ейск вдоль аси к, имеет внл (см. 4 1541 1(х, 1)=А саз (мг — Лх), илн в комплексной записи $(.
1)=А е( ' Следовательно, плоская валка де Бройля име- ет внд Ч =А е К/"""-'О (217.21 (учтена, чта м= Е/а, Л =р/Л). В квантовой механике показатель экспоненты берут са знакам минус, на пасхальну физический смысл имеет талька(»Г»!', та эта (см. (217.2) ) несущественна. Тогда — = — — ЕЧ', ДЧ' дг а откуда Л1ДЧ(аЧ Е= — —,— — = — »й —; » Ч» д1 Ч' дг » 1»дЧ' р = — — л Дхз (217.3) Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р(Е=р'/(2т)) н подставляя выраже- 349 Г л а в а 28. Влеиеиты кванговой механики иия (217.3), получим дифференциальное уравнение Ь> д>Ч> дЧ> — — »- =-й —, 22ж дх д( которое совпадает с уравнением (217.11 для случая (>=О (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом пале, характеризуемом потенциальной энергией (/, та полная энергия Е складываетси из нииетической и вотенцнальиой энергий.
Проводя знало. гичиые рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р дли данного случаи р'/(2ж]= Е— — К придем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1). Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Докаэа. тельством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.
Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредимгера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Ч' от времени, иными словами, найти уравнение Б!редингера для стационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии Это возможно, если силовое поле, в кото ром частица движется, стационарно, т.
е. функция (/=() (х, у, г) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух фун кций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем е -«=е (х>ь», так что Ч' (х, у, г, 1) =ф (х, у, г) е >к>ю>, (2!7 4) где Š— полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (2!7.4) в (2!7.1), получим й' — — е- '(а>ь» лй'+ (/ф е >е>ю> = 2>и =!Ь ( — (Е/й) фе >Ге>ь>> откуда после деления на об>ций множитель е-'1>ды> и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию чи 2т Лф-! — (Š— Е/) ф=О. (217.5) й> Уравнение (2!7.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение н качестве параметра входит полная энергия Е частицы.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из ноторых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями >1>. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи Эти значения энергии называются собственными.
Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре. й 218. Принцип причинности в квантоной механике Из со>пношения неопределенностей часто делан>т идеалис>ический вывод о неприменим>и ги принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При к>ом основывак>тся на следующих соображениях.
В классической механике, согласно врииципу причинности — принципу классического детерминизма, по известному состояник> системы в некоторый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц 6 Элементы квантовой физики зло атомна, молекул и твердых тел системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние а любой последующий момент. Следовательно, классическая физика основывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причина, а ее состояние в последующий момент — следствие. С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соотношением неопределенностей (215.1) ), поэтому н делается вывод о том, что в начальный момент времени состояние системы точно не определяется.
Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности. Необходимо, однако, отдавать себе отчет в том, что никакого нарушения принципа причинности применительно к мнкрообъектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией Ч'(х,у,г,!), квадрат модуля которой (Чг(х, у, х,!)!' задает паотность вероятности нахождения части. цы в точке с координатами х,у, а.
В свою очередь, волновая функция Ч'(х,у,а,!) удовлетворяет уравнению Шредингера (217.1), содержащему первую производную функции Ч' по времени. Это же означает, что задание функции Чгз (для момента времени !а) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние Ч'о есть причина, а состояние Ч' в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т.
е, задание функции Чгэ предопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, одно- значно вытекает из предшествующего состояния, как того требует принцип прич н н н ос т н . 9 219. Движение свободной частицы При движении свободной частицы ((/(х)= 0) ее полная энергия совпадает с кинетической.
Для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид д'ф 2т — т- + — г- Еф =О. (219.1) Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция ф(х)=А е"", где А=соню и Л=сопш, с собственным значением энергии Е = Д~й'/(2т) . Функция ф (к) =А е"'=А еЫМ~ д представляет собой только координатную часть волновой функции Ч'(к,Г). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217А), чг(х,!)=А е '"'ьм — А е — шхне1 — пл! (219.3) (здесь ы=Е/д и й=р,/Ь).
Функция (219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля (см. 217.2) ). Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса Е=й~й~/(2 ) =р~/(2т) оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число й может принимать любые положительные значения), т. е.
ее энергетический спектр является непрерывным. Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы Г л а в а 28. Элементы квантовой механики в данной точке пространства ! Ч' ! = Ч'Ч'* = ! А ! ', причем одинаковая в любой его точке.
$220. 4астицн в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высоиимн «стенками» Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простаты принимаем, что частица движется вдоль оси х) ( аа, х(0, (! (Х) = О, 0 ~ х ( 1, оа, х>1, где| — ширина «ямы», а энергия отсчитывается ат ее дна (рис. 296). Уравнение Шредингера (2|7.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде д242 2т — + — (Š— Щ ф=О. (220.!) д,2 62 По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределамн «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при Х=О и х=!) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль.
Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид ф (0) = ф (1) = О. (220.2) ! ! ! ! а х Рн«. 299 В пределах «ямы» (0(х<!) уравнение Шредингера (220.!) сведется к уравнению дггр 2т — 2- + — -2- ЕЧ= О. дх Ь или 22 Ч2 г + й Чг = 0' (220'3) дхг где й'=2тЕ/Ьг. (220.4) Общее решение дифференциального уравнения (220.3): Ч2(х)=А з|п йх+В соз !гх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
