Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в виде какой. нибудь модели неправильно» (в сбл Философские вопросы современной физнки.— Мл Изд-во АН СССР, 1959). $2 14. Некоторые свойства волн де Бройля Рассмотрим свободно движущуюся со скоростью о частицу массой пъ Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн де Бройля. Фазовая скорость, согласно (154.8), ы йы Е тс с оь й дя р та и (2! 4.! ) (Е=йм и р=йл, где й=2п/й — волновое число). Так как с) о, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (фазовая скорость волн может быть как меньше, так и больше с в отличие от групповой скорости волн (см. $!55)).
Групповая скорость, согласно (155.1), бы б (Ьы) бЕ б (Дй) бр Г л а а а 28. Элементы квантовой механики Для свободной частицы Е= тес +р с 24 22 (см. (40.7)) и бЕ рсз рс то«2 о тэс« -(- р'с' Е тсэ а Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы. Групповая скорость фотона и = — = рс Е шсс =с, т.
е. равна скорости самого шс фотона. Волны де Бройля испытывают дисперсию (см. 4 154). Действительно, подставив в выражение (214.1) и „=Е/р формулу (407) Е=4)тх«с" +р с, увидим, что скорость волн де Бройля зависит от длины волны. Это обстоятельство сыграло в свое время большую роль в развитии положений квантовой механики.
После установления корпускулярно-волнового дуализма делалнсь попытки связать корпускулярные свойства частиц с волновыми и рассматривать частицы как «узкие» волновые пакеты (см. $155), «составленные» из волн де Бройля. Это позволяло как бы отойти от двойственности свойств частиц. Такая гипотеза соответствовала локализации частицы в данный момент времени в определенной ограниченной области пространства. Аргументом в пользу этой гипотезы являлось н то, что скорость распространения центра пакета (групповая скорость) оказалась, как показано выше, равной скорости частицы. Однако подобное представление частицы в виде волнового пакета (группы волн де Бройля) оказалось несостоятельным из-за сильной дисперсии волн де Бройля, приводящей к «быстрому расплыванию» (примерно 10 " с!) волнового пакета или даже разделению его на несколько пакетов.
й 215. Соотношение неопределенностей Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то во- лновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходима внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики. В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс.
Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении мнкрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны (см.
(213.1) ), та отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микро- частица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным. В. Гейзенберг, учитыван волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в Г027 г.
к выводу, что объект микромира невозможно одновременна с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, г), и определенную соответствующую проекцию импульса (р., р„р,), причем неопределенности этих величин. удовлетворяют условиям 4»хбР, > й, Хубр« ~) й, (2! 5.1) Лгбр, > 12, т. е.
произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции 6 (злеченгы кзаитааай физики атаман, молекул и глгрдьж тел '1 Ркс. 295 импульса не может быть меньше величины поридка Л Из соотношении неапределеннгютей (215.1) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (Лх=О), то в этом состоянии соответствующая про. екция ее импульса окаэынается сонершенно неопределенной (Лр„ — ею ), и наобо. рот.
Таким образом, длн микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта. 1(аясним, чта соотношение неопределенностей Лействительио вытекает из валиаеых свойств микрачастиц. 1(усть натах элеьтраиан проходит через узкую щель шириной Ах, рагполажеиную нерпендикулнриа направлению их движения (рис.
295). Так как электроны аблаЛают валнавьши свойствами, та ари их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной залпы Ле Бройля Х электрона, наблюдается дифракпия. Дифракпиониая карги. на, наблюдаемая на экране (Э), характеризует си главным максимумом, расположенным сич метрнчна аси У, и пабачнглми максимумами на абе стороны ат главнага (их ие рагтмззризаем, так как асиазная Лали ии!енгивногги нрихадиг ся на главный максимум) Да прохождения через и!ель электроны Лаи гались злоль аси У, поэтому сасгааляхзщая им пульса р,=О, так чта Лр,=-о, а каардина та х частицы является совершенна неаиреде ленной.
В момент прохождении электронов через щель их положение в направлении аси К определяетсн с зочиагю.ю ла ширины щели, т е. с точностью Лх. В этаг же момент вследствие дифракнии электроны откланяются ат иернаначальиага направления н будут дзи. гаться в прелелах угла 29 (и . угол, соответствующий первому дифракциаииаму минимуму). Следонательна, появляется неапрелелен. ность з значении составляющей импульса адель аси К, которая, как следует иэ рис.
295 и формулы (213.1), равна Лр =р з1пм= — а1пге. (215.2) Л Для простаты ограничимся рассмотрением только тех электронан, которые попадают на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции (см.й 179) известна, что первый минимум соответствует углу в, удовлетворяющему условию Лх э!пгр=х, (215.3) гле Лх ширина щели, а Х вЂ”. длина волны де Брайля Из формул (215.2) и (215.3) получим Лхбр =Л, учитывая, что для некоторой, хотя и незначительной, части электранаа, нападающих за пределы главнага максимума, величина Лр,) ър юпв, следовательно, получаем выражение ЛхЛР ~Л, г. е соотношение неопределенностей (215.1). Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую составляющую импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярио-волновой природы.
Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимаешься, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей ялляегся, таким образом, кканганым ограничением применимости классической механики к микрообъекгам, Соотношение неопределенностей, отражая специфику физики микрочастиц, позволяет оценить, например, в какой мере 145 Г л а в а 2И Элементы квантовой механики можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц.
Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени опреде. ленными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (215.1) в виде ЛхЛи„) й/т. (215.4) Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем болыпей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой 10' " кг и линейными размерами 10 ~ м, координата которой определена с точностью до 0 01 ее размеров (Лх= 10 ' м), неопределенность скорости, по (215.4), Ло =662.10-м/(10 — в !О-ы) м/с= =6,62 ° !О " м/с, т.
е, не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства ие играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновременно измерены достаточно точно. Это же означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики, Предположим, пучок электронов движется вдоль оси х со скоростью о= = 10 м/с, определяемой с точностью до 0,01 вгй (Ло,ж 10' м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (215.4), /г Лх= гиЛо„ 6,62.10 7 27 9,11 ° 10 з' ° 10' т, е. положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра.
Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории, иными словами, описывать их движение законами классической механики. Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона Лхж !О " м (по- рядна размеров самого атома, т.е. можно считатгч что электрон принадлежит данному атому). Тогда, согласно (215.4), Ло 6 62 10, ю/(9 11 1О- 10-. ) =7,27 ° 10" м/с Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса як 0,5 10 '" м его скорость и =2,3 1О' и/с.
Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движения электрона и атоме нельзя пользоваться законами классической физики. В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей длн энергии Е и времени г, т. е. неопределенности этих величин удовлетворнют условию ЛЕЛ! ~ й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
