Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Туннельиый эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса Лр на отрезке бх=! составляет бр)й/!. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (бр)~/(2т) может оказаться достаточной для тога, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной. Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М.
А. Леонтовича (1903 в 198!). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, п-распад, протекание термоядерных реакций). $222. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике Линейный гармонический осциллятор— система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы,— является моделью, используемой ва многих задачах классической н квантовой теории (см.
4!42). Пружинный, физический и математический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора (см. (141.5)) равна (/= ты«х~/2, (222. ! ) где ы, — собственная частота колебаний осцнллятора, лг — масса частицы. Зависимость (222.1) имеет вид параболы (рис. 300), т. е.
<потенциальная ямал в ваннам случае является параболической. Амплитуда малых колебаний класси. ческога осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 16). В точках с координатами ~х„,„ полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица ие может выйти за пределы области ( — х,„„„, -)-х„,„),Такой выход означал бы, чта ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, чта кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор находится в «потенциальной ямеэ с координатами — х~,„< х(хм,„ «без права выходаъ из нее. и Элгм<нтм квантовой физики Збн атомов, чш|екул и <нсрлых <сл Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор —— описывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида д'ф 2<п / ты' „х' ') — + — ~Š— — /ф=О, дх Ь '<, 2 (222.2) где Š— полная энергия осциллятора.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значениях энергии Е„=(п+</») Ь<оо (222.3) Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т, е. кваитуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечна высоинми «стенками» (см. $220), минимальным значением энергии Е„= '/хйым Существование минимальной энергии — она называется энергиеи нуленых колебаний — является типичной для квантовых систем и представляет собой прнмое следствие соотношения не<>пределенностей.
Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь у~одно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме». Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осцнллятора противоречит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице).
Например, классическая физика приводит к выводу, что при Т=О энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т вЂ” -0 колебания атомов в кристалле не прекращаются.
Это является подтверждением нулевых колебаний. Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 300), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно йы«, причем минимальное значение энергии ! Е = — йы.
о — 2 м Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еше к одному значительному отличию от классического рассмотрения. Квантова-механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области 1х( ~(х,„»< (см. рис, 16) 'в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области ( — х„„„, + х,„) . Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая являетси классически запрещенной. Этот результат (без его выиода) демонстрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероятности ш обнаружения осциллятора для состояния и= 1.
Из рисунка следует, что для квантового осциллятора действитель- Рис. ЗВ! Г л а в а 28. Элементы квантовой механики ми «потенциальной ямы». Существование отличных от нуля значений ш за пределами «потенцнальной ямы» объясняется возможностью прохождения мнкрочастиц сквозь потенциальный барьер (см. 222!). на плотность вероятности ш имеет конечные значения за пределами классически дозволенной области )х) ( х »„,т. е.
имеется конечная (но небольшая) вероятность обнаружить частицу в области за предела- Контрольные вопросы ° Чему равны фазовая и групповая скорости фотона? Ли„до ° В каком случае н почему при условиях — ~ 1 и — 1 можно говорить о движении частицы по определенной траектории? ° Как, исходя из соотношения неопределенностей, обьяснить наличие естественной ширины спектральных линий? ° Что определяет квадра~ модуля волновой функции? ° Почему квантовая механика является статистической теорией? ° В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике? ° Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины в два раза? ° Может ли частица находиться иа дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»? ° В чем отличие кваитово-механического и классического описания гармонического осциллятора? В выводах этих описаний? Задачи А 28.3.
ф-Функция некоторой частицы имеет вид ф= — е 'г', где г — расстояние этой частицы от г силового центра, а — постоянная. Определить среднее расстояние (г) частицы от силового центра, [(г) =а/2) 28лй Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода. 28.$. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной ! с бесконечно высокими «стеиками». Определить вероятность (Уг обнаружения электрона в средней трети «ямы», если элеитрои находится в возбужденном состоянии (п=2). Пояснить физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. )В'=0,195) 28.6.
Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 им. Опрелелить в элентрон-вольтах разность энергий (? — Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер гсштавит 0,99. (0,1 мэВ) 28.1. Свободная частица движется со скоростью и. Докааать, что выполняется соотношение и» и=с 28.2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускае- маЯ неопРеделенность скоРости составлвет 1«гге от ее числового значениа, опРеделить неопРеделенность координаты электрона.
Прииенительно ли в данном случае для электрона понятие траектории? (Лх=33 нм; нет] 6. Элементы квантовой физики етоыае, молекул и твердых тел Глава 29 Элементы современной физики атомов и молекул 2 223. Атом водорода в квантовой механике Е„= — — (я =1, 2, 3, ...), 1 2 лее' л 8йе е (223.3) ис. 302 Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водародоподабных систем: иона гелия Не+,двукратно ианизованноголития (.!«« и др.) сводится к задаче а движении электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ле (для атома водорода 2 = !), (х' (г) = —, (223.1) 4пеог ' где г — расстояние между электронам и ядром. Графически функция (г(г) изображена жирной кривой на рис. 302, неограниченно убывающей (возрастающей по модулю) при уменьшении г, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
