Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 114
Текст из файла (страница 114)
(224,3) 1 ла Вероятность обнаружить электрон в элементе объема (см. (2162)) равна бВ'= (ф(26У= (ф! 4пгздг. Подставив в эту формулу волновую функ- циюю (224.3), пол уч и м Вычислим те расстояния г„,„от ядра, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью. Исследуя выражения г(уг'/бг на максимум, получим, что г,„=а.
Следовательно, электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома. Казалось бы, кваитово-механический расчет дает полное согласие с теорией Бора.
Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при г=а достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве 6. Элементы квантовой фнзккн 362 атомов, молекул н твердых тел Рнс, зоз (рнс. 305). Таням образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятным расстояннем от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантовомеханический смысл боровского раднуса. $225. Спин электрона. Спимовое квантовое число О. Штерн н В.
Герлах, проводя прямые нзмерення магнитных моментов (см, $131), обнаружили в 1922 г., что узкнй пучок атомов водорода, заведомо находяшнхся в з-состояннн, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (см, (223.4) ). Магнитный момент атома, связанный с орбнтальным движением электрона, пропорцнонален механическому моменту (см.
(131.3)), поэтому он равен нулю н магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состояннн, т. е. расщепления быть не должно. Однако в дальнейшем прн применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетамн) даже в отсутствие магнитного поля. Для обьяснення тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американскне физики Д.
Уленбек (1900- 1974) н С. Гаудсмнт (1902 †19) предположилн, что электрон обладает собственным неуничтожимым мехвннческвм моментом ммпульса, не связанным с двнженнем электрона в пр<ктранстве,— спинам (см. у !31). Спин электрона (н всех других микро- частиц) — квантовая величина, у нее нет класснческого аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду н массе. Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спнн) (.„ то ему соответствует собственный магнитный момент р,. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуегся ло закону (-с — й <<з (з+ 1), где з — спнновое квантовое число. По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция (.„ сянка квантуется так, что вектор 1., может принимать 2з-1- 1 ориентаций. Так как в опытах Штерна н Герлаха наблюдались только две орнентацнн, то 2з + 1 =2, откуда з= '/ь Проекцня спина на направление внешнего магннтного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением, аналогнчным (223.6); (.ы=йт„ где т, †.
магннтное спнновое квантовое число; оно может иметь только два значення: ш,= ~ <<ь Таким образом, опытные данные прнвели к необхолнмостн характеризовать электроны (н мнкрочастнцы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состоякня электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным н магнитным квантовыми числами задавать еше магнитное спнновое квантовое число. 2 226. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермноиы и бозоны Если перейти от рассмотрения движения одной мнкрочастнцы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имевшие аналога в классической физике.
Пусть кван- тово. механическая система состоит нз Г л а в а 29. Элементы современной физики атомов н молекул Збз одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.
Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики — принципе неразличимости тождественнык частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы, В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из ннх.
Классические частицы, таким образом, обладают иидквидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем иэ различных частиц. В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность ((ф(') нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точии пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц.
Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчерккуть, что принцип неразличимрсти тождественных частиц не является просто следствием вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным. Принимая во внимание физический смысл величины (ф(з, принцип неразличи- мости тождественных частиц можно записать в виде (ф(ко кт)1'=(ф(хз, к~)~', (226.1) где к, и хз — соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что возможны два случая: ф (Хо хз) = ~ ф (хз, х!), т.
е, принцип неразлкчимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет — амтисимметрнчной. Изменение знака волновой функ. ции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.
В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это же является доказательством того, что свойство симметрии илн антисимметрии — признак данного типа микрачастиц. Установлено, что симметрия или анти- симметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спинам (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми — Дирака; эти частицы называются фермионамн.
Частицы с нулевым или целочисленным спинам (например, и-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионамн (суммарный спин — полу- целый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый). Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обос- 364 6.
Элемешы квантовой физики эгамоа, молекул и твердых тгз Таблица б Главное квантовое число и Символ оболочки К 1. 2 8 18 50 О О 2 3 !х 2э 2р Зр Зг! 4г( 4) бсг 5) Символ падабалочкн 4р б 1О 10 14 1О 14 иоанна швейцарским физиком В. Паули (1900 — 1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микро- частиц. 2 227. Принцип Паули. Распределение элентронов в атоме по состояниям Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно церестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находитьси в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной.
Обобщая опытные данные, В. Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермконов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциямн (квантова-механическая фор. мулировка принципа Паули). Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионав любые два из иих не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.
Отметим, что число однотип- Максимальное число электронов в абслачхе Орбитальное квантовое числа! Максимальное число электронов в падобалачке ных базанов, находящихся в одном и том же состоянии, не лнмитируется. Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется наборам четырех квантовых чисел: главного и (и=!, 2, 3, ...), орбитального 1 (1=0, 1, 2, ..., и — 1), магнитного тг (тг= — 1, ..., — 1, О, + 1, ..., + 1), магнитного си и н оного т , (т , = + ггз, — 'lх) Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и там же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел и, 1, тг и т„т, е.
Я (и, 1, та иг )=0 или 1, где 2(и, 1, тг, т,) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: и, 1, тг, т,. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа. Согласно формуле (223.8), данному и соответствует и' различных состояний, отличающихся значениями 1 и тг. Квантовое число т, может принимать лишь двэ значения (~г/з). Поэтому максимальное Г л а в а 29. Элементы современной физики атомов и мо:скул 365 число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно — 1 2 (л)= ~ 2 (2!+ 1)= 2л>.
>сщ Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число и, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от О до и†1, число подоболочек равно порядковому номеру и оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным 1 равно 2 (21+1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
