Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 113
Текст из файла (страница 113)
при приближении электрона к ядру. Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой фуикцисй ф, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1): Лф+ 2,-(ГЕ+ ~' Х)ф=О, (223.2) й 1 4леег / где гл — масса электрона, Š— полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: г, б, <р. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением Е, важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.
1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции ф, только при собственных значениях энергии т, е.
для дискретного набора отрицательных значений энергии. Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. $220) и гармонического осциллятора (см. $222), решение уравнении Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней.
Возможные значения Еь Еь Е„ ... показаны на рнс. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Еь отвечающий минимальной возможной энергии,— основной, все остальные (Е„.= Еь п=2, 3, ...) — возбужденные (см. 2 212) . При Е (О движение электрона является связанным — ан находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа и энергетические уровни располагаются теснее и при л= «а Е =О.
При Е)0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е)0 (заштрихована иа рис. 302) соответствует иоинзованному атому. Энергия ионнзации атома водорода равна Е~= — Е~=гле'/(Зй~еа) =13,55 эВ. Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной бором для энергии атома водорода. Однако если бару пришлось вводить допалнктельные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, явлиясь следствием самой теории, вытекают Г л а а ~ 2'.! 81»«че«гы гоиреиеннай физики атомов и чпь «гл ЗГП1 непосредственно из решения уравнения Шредингера.
2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции фм„,(г, О, ф), определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным 1 и магнитным гпь Главное квантовое число п, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы; п=!,2,3, .... Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона каангуетеп, т.
е. не может быть произвольнымм, а принимает дискретные значения, определяемые формулой 1.,=йт)!(1+1), (223.4) где 1 — орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значения 1=0, 1, ..., (п — 1), (223.5) т. е. всего п значений, и определяет момент импульса электрона в атоме. Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор 4., момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция (.м на направление г внешнего магнитного полн принимает квантоаанные значения, кратные й Е„=йель (223.
6) где т~ — магнитное квантовое число, которое при заданном 1 может принимать значения т,=О, ~1, ~2, ..., ~1, (223.7) т. е. всего 21+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число пп определяет проекцию момента импульса электрона иа заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 21+1 ориентаций. Наличие квантового числа т~ должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным нвантовым числом п на 21+ ! подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расшепле. иие спектральных линий.
Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П. Зееманом (1865 — 1945) и получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектом Штарка ". Хоти энергия электрона (223.3) и зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному значению Е„ (кроме Е~) соответствует несколько собственных функций ф„,, отличающихся значениями 1 и гп« Следовательно, атом водорода может иметь одно н то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном п орбитальное квантовое число 1 может изменяться от О до п — 1 (см.
(223.5)), а каждому значению ! соответствует 21+ 1 различных значений т~ (223.7), то число различных состояний, соответствующих данному п, равно (21+ 1) = пэ. (223.8) ~-О Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера н условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию ф. Кроме того, поскольку при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, квантовая механика вообще отказыва. ется от классического представления об электронных орбитах Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема.
Вероятность обнаружения электрона а различных частях атома различна, Электрон при своем движении как бы «размазня» по всему объему, обрайуя электронное * И. Штарк (1874 в 1957) — немецкий физик. и Злсиекты квантовая физики »томов иолекул и ~вгрчых тгл М мд 2С ма 2л ма 2д /В.т Рис. Заз облака, плотность (густота) иоторого характеризует вероятность нахождении электрона в различных точках объема атома. Кяинтояые кисли и и ) характеризуют Размер и форму электронного облики, а квинтовое число т~ характеризует ориентацию электронного облака е пространстве.
В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами (= =О, называют к-состояннем (электрон в этом состоянии называют з-электроном), (=! — р-состоянием, (=2 — и'-состоянием, (=3 — )-состоянием и т. д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях с п=2 и (=О и 1 обозначаются соответственно символами 2з и 2р. На рис.
303 для примера приведено распределение электронной плотности (формы электронного облака) для состояний атома водорода при и= 1 и п=2, определяемое !фы«ч(з. Как видно из рисунка, оно зависит ат п, ! и тк '!'ак, при 1=0 электронная плотность отлична от нуля в центре и не зависит от направления (сферически-симметрична), а для остальных состояний в центре равна нулю и зависит от направления. 3.
Спектр. Квантовые числа и, ! и т~ позволякзт более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора (см. рис. 294). В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие числа возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Теоретически доказана и экспериментально подтверждено, что для диполь- нога излучения электрона, движущегося в центральна-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для которых: !) изменение орбитального квантового числа б! удовлетворяет условию б(= -~ 1; (223,9) 2) изменение магнитного квантового чис- ла Лт~ удовлетворяет условию Дт,=О, ~1.
В оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполняются, Однако в принципе могут наблюдаться и слабые «запрещенные» линии, например возникающие при переходах с И=2. Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излучению более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадрупальных переходов (переходы с б)=2) во много раз меньше вероятности дипальных переходов, поэтаму «запрешенные» линии и являются слабыми.
Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному и, и правило отбора (223.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рнс. 304): серии Лаймана соответствуют переходы пр- 1з (п=2,3, ...); серии Бальмера -. пр » 2л лл - 2р пИ - 2р (и =3 4 ) н т. д. Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен уве- Г л а в а 29 Элементы современной Физики атомов и молекул 301 Е,ээ 1=0 5 2 3 4 а г д -0,54 -0,84 -1,50 -3,38 Лвимана вальмепэ С = 1/3/па". (224.2) -13,55 Рис.
304 б)Уг= —, е 4пг бг. — эыа 2 па лнчением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как поглошающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 12 -~ лр (л=2, 3, ...), что находится в полном согласии с опытом.
2 224. !з-Состояние электрона в атоме водорода 1з-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным, т. е. не зависит от углов б и р. Волновая функция ф электрона в этом состоянии определяется только расстоянием г электрона от ядра, т. е. ф=фээ(г), где цифры 100 соответственно указывают, что п=1, 1=0 и гп~=О. Уравнению Шредингера для !з-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида ф=Се (224.1) где, как можно показать, и= й24пе,/(глез) — величина, совпадающая с первым боровским радиусом а (см.
(212.2) ) для атома водорода, С вЂ” - некоторая постоянная, определяемая из условия нормировки вероятностей (216.3). Благодаря сферической симметрии 1р-функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии г одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема дУ, отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиусом г и толп!иной дг: дУ=4пг'дг. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей (216.3) с учетом (224.1), 1 ) 12р!26У= ~ сэе юм4пг~бг. с о После интегрирования получим Подставив выражение (224.2) в формулу (224.1), определим нормированную волновую функцию, отвечающую (з-состоянию электрона в атоме водорода: ф, (г) = — — е о'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
