Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Так как па (220.2) 2Р (0) = О, то В = О, Тогда Ч2(х)=А кОп йх. (220,5) Условие Чг(!)=А з|п й1=0 (220 2) выполняется только при !21=ли, где л — целые числа, т. е. необходимо, чтобы й=лп/1. (220.6) Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что 2 гдг Е„= — г — (л = |, 2, 3, ...), (220.7) т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется тахько прн собственных значениях Е„, 'зависящих от целого числа и.
Следовательно, энергия Е„ частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает ли2нь определенные дискретные значения, т. е. кваитуется. Квантованные значения энергии Е называются уровнями энергии, а число л, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таиим образам, микрочастицв в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е„, или, как говорят, частица нахадитси в квантовом состоянии л. Подставив в (220.5) значение й из (220.6), найдем собственные функции: ип ф (х)=А з2п — х. б Элементы квантовой физики 352 атомов, молекул и твердых еел Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (210.3), которое для данного случая запишется в виде А )~ з!п х е(х=!.
ег .»пп 1 В результате интегрирования получим А =з(2/1, а собственные функции будут иметь вид ф„(х)= — з!п х (п=!, 2, 3,,). /2 . пп М (220.3) Графики собственных функций (22О.В), соответствующие уровням энергии (220.7) при п=!, 2, 3, приведены на рис. 297, а, На рис. 297, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная !ф (х)! =ф (х) ф«(х) для п=1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Иэ выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двуми соседними уровнями равен ЛЕ„= Е„+, — Е„= лд пй (2п+1) яв п. (220.9) 2тЕ т1~ Например, для электрона при размерах ямы 1=10 ' м (свободные электроны )Е Рис.
297 в металле) ЛЕ. к«10 "п Дж 1О "п эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (1 - !О '" м), то для электрона ЛЕ„-!О "п Джж!0»п эВ, т. е. получа. ются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образо»к применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает. Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная лей'/(2пе1').
Наличие отличной от нуля минимальной энергии ие случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Лх частицы в «яме» шириной ! равна Лх=1, Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может йцеть точное, в данном случае нулевое, значение.
Неопределенность импульса Лр=)е/1. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Е м ж (Лр) '/ (2т) = =Лх/(2т1»). Все остальные уровни (п=-!) имеют энергию, превышаюшую зто минимальное значение. Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (п »1) ЛЕ,/Е,ж2/и«1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов дискретность — сглаживается.
Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики. збз Г » и в в 28 Злементм квинтовой механики д ф!,з 'л+й'ф,л=о дх (221. 1) ! ! Фз(х) = 4зе + Взе (221. 3) Рис. 298 !2 Т И Трофимова Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в современной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает н себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики н динамики специальной теории относительности переходят прн и<~с в формулы механики Ньютона.
Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопнческнмн телами, нх волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона. 2 221. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект Рассмотрим потенциальный барьер простейшей прямоугольной формы (рнс. 298,а) для одномерного (по осн х) движения частицы.
Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты (! н ширины ! можем записать рО, х(0 (для области !), (7(х)=~(7, О(х(! (для области 2), О, х)! (для области 3). Прн данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, лабо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е ) (!), либо отразится от него (прн Е( (!) н будет двигаться в обратную сторону,т.е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для мнкрочастнцы же даже прн Е)(! имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера н будет двигаться в обратную сторону. Прн Е((! имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х'= 1, т.е. проникает сквозь барьер.
Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно нз решения уравнения Шредингера, опи. сывающего движение мнкрочастнцы прн условиях данной задачи. Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждой нз выделенных на рнс. 298, а области имеет внд (для областей ! и 3 (ев=2тЕ/Ьв), д'Фе д» +9 фи=О (для области 2 д'=2пт (Š— (!) /д'). Общие решения этих дифференциальных уравнений: ф,(х)=А,е'""+В,е 'в' (221.2) (для области !); фз(х) = А те'е'+ Вие (д об 2); (для области 3).
В частности, для области ! полная волновая функция, согласно (2!7.4), бу- 6. Элементы квантовой физики 354 атомов, молекул н твердых тел дет иметь вид 95 (х, !) =фФ(х) е — А~е — шзыю-л ! ! В~е — о/зз!ю+р,зз (22! А) Учитывая значение д н Вз=О, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде: ф,(х)=А,е'""-)-В,е (для области !), фз(х)=А,е Р'+В,ез' (для области 2), фз(х) = А,ем' (22! .5) (для области 3). В области 2 функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно показать, что В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распространяющуюся в противоположном направлении, т. е.
отраженную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево). Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо.
Поэтому коэффициент Вз в формуле (221.3) следует принять равным нулю. В области 2 решение зависит от соотношений Е~ !/ или Е((/. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при Е( (/ законы классической физики однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер, В данном случае, согласно (22!.1), и =!й — мнимое число, где й=,Е2 ((/ — Е)/д.
ф,(О) = Р,(О), Р',(О) = Р,'(О), 'Рз(!) = фз (!) 'Рз(!) = 'Рз(з/. (221.6) Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты Аз, Аз, В~ и Ва через Аь Совместное решение уравнений (22!.6) для прямоугольного потенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей) а-ае а( — т/а ~и — Ва. 2 (221/7) где (/ — высота потенциального барьера, Š— энергия частицы, ! — ширина барьера, ()а — постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из вы- для частного случая высокого и широкого барьера, когда 8!Ъ1, Взжб. Качественный вид функдий ф1(х), фз (х) и фз(х) показан на рис.
298, (з. Из рисунка следует, что волновйя функ(тия не равна нулю и внутри барьера, а (в области 3, если барьер ие очень широк(будет опять иметь вид волн де Бройля с'тем же импульсом, т: е. с той же частотой, ио с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Таким образом, ивантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности 0 потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих.
Можно показать, что //= ! 4з! I!А!! . Для того чтобы найти отношение !Аз/А~!', необходимо воспользоваться условиями непрерывности ф и тР' на границах барьера х=О и х=! (рис. 298); 355 Г л а в а 28. Элементы квантовой механики хх х, Рнс. 000 Рнс. 300 !2' ражения (221.7) следует, что В сильно зависит от массы ш частицы, ширины ! барьера и ат ((/ — Е); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.
Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 299), удовлетворяющей условиям так называемого квазиклассического приближения (достаточно глад. кая форма кривой), имеем О-О, Р $ — ал) 1;Г2 !< — «) ~ 3. где (/=(/(х). С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е( (l невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
