Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 109
Текст из файла (страница 109)
(2 15.5) 1!одчеркнем, что ЛŠ—.- неопределенность энергии системы в момент ее измерения, Л! — неопределенность длительности процесса измерения. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Лй не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии ЛЕ= =-и/Л! возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излучениого фотона хакже должна иметь неопределенность Лч=ЛЕ/Д, т. е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной ч ьс ЛЕ/й Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оцепить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.
!.оотношение неопределенностей неоднократно являлось предметом философских дискуссий, приводивших некоторых философов к его идеалистическому истолкованию. Например, по их мнению, соотно- б. Элементы ккактккой физики атомов, молекул к твердых тел шение неопределенностей, не давая возможности одновременно точно определить координаты и импульсы (скорости) частиц, устанавливает границу познаваемости мира, с одной стороны, и существование микрообъектов вне пространства и времени — с другой.
На самом деле соотношение неопределенностей не ставит какого-либо предела познанию микромира, а только указывает, насколько применимы к нему понятия классической механики. 9 216. Волновая функция и ее статистический смысл Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волиового дуализма, ограниченность применении классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречие целого ряда экспериментов с применяемыми в начале ХХ в.
теориями привели к новому этапу развития квантовой теории — созданию квантовой мехамики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы; см. 4 200) до 20-х годов ХХ в.; оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э. Шредингера (1887 в 196!), немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П.
Дирака (!902 в 1984). На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракциоиная картина, наблюдаемая для световых волн, характеризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний.
Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интен- сивиость определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.
Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям,— в одних направлениях наблюдается боль. шее число частиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля.
С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц, т.е. интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая. Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью кван.
товой теории. Можно ли волны де Бройли истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толнование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла. Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М.
Борн (1882 †19) в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Ч'(х, д, з,Г). Эту величину называют также волновой функцией (или Ч'-функцией). Амплитуда ве- Г л з в а 28 Элементы квантовой механики 347 ятностей Величина ! Ч' ! ' = д Ф'/ д У <г>= 1 г!4!'ДУ, роятности может быть комплексной, и ве- роятность (р' пропорциональна квадрату ее модуля: йу )Ч'(х, у, х, !)! (2!6.!) (! Ч'!'=Ч'Ч", Ч'* — функция, комплексно сопряженная с Ч').
Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени ! в области с координатами х и х+бх, у и у+бу, х и х+дх. Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом ЙУ равна б йг = ! Ч' ! эд У.
(216.2) (квадрат модуля Ч".функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатамн х, у, г. Таким образом, физи. ческий смысл имеет не сама Ч'-функцня, а квадрат ее модуля )Ч")~, которым задается интенсивность волн де Бройля. Вероятность найти частицу в момент времени ( в конечном объеме У, согласно теореме сложения вероятностей, равна Так как !Ч'(эоУ определяется как вероятность, необходимо волновую функцию Ч' нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем У принять бесконечный объем всего пространства.
Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки веро- ! 4 !'6У= 1, (216.3) где данный интеграл (216.3) вычисляется по всему бесконечному пространству, т, е. по координатам х, у, х от — оо до оо Таким образом, условие (216.3) говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве. Чтобы волновая функция, являлась объективной характеристикой состояния микрочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий.
Функция Ч',характеризуя вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность ие может изменяться скачком). Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиция: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями 4'„ Чгь...,Чг„,..., то она также может находиться в состоянии Ч', описываемом линейной комбинацией этих функций: где С, (п=!, 2, ...) — произвольные, вообще говори, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулеч волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.
Волновая функция 4', являясь основной характеристикой состояния микро- объектов, позволяет а квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микро- объект. Например, среднее расстояние (г) электрона от ядра вычисляют по формуле б. Элементы квантовой физики 348 атомов, молекул н тверд»зх тел где интегрирование производится, как и в случае (216.3). $ 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний Статистическое толкование волн де Бройля (см. 22!6) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. 2215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастнц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц.
Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ч' (х, у, г, 1), так как именно она, или, точнее, величина !Ч'(', определяет вероятность пребывания частицы в момент времени 1 в об ьеме д)», т. е. в области с координатами х и х+ бх, у и у+ду, г и г+бг. Так как искомое уравнение дгтжно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в !926 г. Э. Шредингером.
Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике н уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с ега помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид й' ДЧ' — — ЕЧ»+ И (х, у, г, 1) Ч.
=(й 2т ' д/ (217.1] где 6/ й/(2п), т — масса частицы б— Дзч» Д'Ч' оператор Лапласа (ЛЧ' = — -+ —, + Дхз ДУ' Дхч» + — ), 1 — мнимая единица, (/ (х„у, г, 1) дг — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ч' (х, у, г, 1) — искомая волновая функция частицы. Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спинам, равным 0; см. 2225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
