Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Визуально ситуацию можно представлять так. На й рисуются одинаково закрученные вихри. Потом наблюдатель, сидя в нуле, смотрит вдоль луча й и протыкание поверхности Р(й) засчитывает как «изнутри наружу», если в районе протыкания вихрь крутится в ту же сторону, — и наоборот. В общем случае вместо вихрей используют левые и правые базисы. Делается это следуюшим образом. Поскольку вращение не меняется при малых изменениях как границы, так и оператора, то Й и Р предполагаются гладкими (в противном случае можно перейти к гладким аппроксимациям). В точке х б й локальный базис (е„..., е„) выбирается так, чтобы вектор е, был направлен по внешней нормали, а векторы е,,..., е„лежали в касательном пространстве к й в точке х.
Нормаль е', к поверхности Р(й) в точке Р(х) называют внешней, если базис (е,,...,е„) = (емР(х)е),...,Р(х)е„) одинаково ориентирован с базисом' ) (ем..., е„). 5) Либо — по часовой, ио тогда смотреть надо снаружи. б) Именно «как бы выворачивает», пгюкольку физическую модель сферы певозмо:кно вывернуть наизнанку, ие разрывая. Напомним, что два базиса (е),..., е») и (е,,...,е„) называются одинаково ориентированными, если е( = т) аое) и бег(а,)) > О. Глава 9. Топология и неподвижные точки 186 В данном контексте разговор об ориентации и строгом определении внешней стороны поверхности больше касается общей панорамы, чем конкретно излагаемых результатов. Далее будет использован единственный факт, опирающийся на «правильное» определение ориентации. 9.6.1.
Пусть А — линейное невырохсденное преобразование и О Е й. Тогда 'у(А, й) = зап дегА. 9.6. Индексы и алгебраическое число нулей Для разрешимости уравнений важно отличие 7(.) от нуля. Установление взаимосвязи между вращением на границе и числом нулей поля внутри области дает более тонкие следствия. Нуль хо Е й поля Р(х) называют изолированным, если в достаточно малой окрестности хо нет других нулей. Вращение поля Р на сферах достаточно малого радиуса с центром в хо называют индексом хо и обозначают зпс) (е, хо). Корректность такого определения вытекает из одинаковости вращений Р на сферах достаточно малого радиуса. Действительно, если шары В, и В, не содержат других нулей, кроме хо, и В, С Вз, то из теоремм 9.3.1 и леммы 9.3.3 следует 7(Р, В|) = 7(Р, Вз). 9.6.1.
Теорема об алгебраическом числе нулей. Пусть векторное поле Р(х) невырозкдено на й и имеет в й лишь изолированные нули. Тогда (9.3) где суммирование идет по всем нулям хз б й поля Р. < Доказательство сразу вытекает из теорем 9.3.1, 9.3.5, если области й, определить как шары достаточно малых радиусов с центрами в точках хп Теорема 9.6.1 имеет разнообразные применения. Гарантирует, например, существование неизвестного нуля, если сумма индексов известных нулей отлична от 7(Р, й).
В различных вариантах позволяет устанавливать единственность решения. Скажем, пусть у(Р,Й) = 1 и производная (матрица Якоби) Р'(х) невырождена на й. Этого, оказывается, достаточно для существования и единственности решения Р(х) = О на й. Действительно, если хо — нуль поля Р, то Р(х) и Р'(хо)(х — хо) непротивоположно направлены в достаточно малой окрестности хо, поскольку Р(х) = Р (хо)(х — хо) + о(!!х — хо(!).
)ВТ 9.7. Нечетные поля В силу невырожденности Р'(х) детерминант Г'(х) сохраняет знак, поэтому индексы всех нулей обязаны быть одинаковы, !пд(Р, хо) = мап г$ег Р'(хо) = !. А это, благодаря условию у(Г, й) = 1, допускает не более одного нуля. 9.7. Нечетные поля Векторное поле Р называют нечетным на центрально симметричном множестве Г, если Р( — х) = — Р(х) при любом х Е Г. Пусть нечетное поле Р задано на границе шара В с центром в нуле. Представим В в виде объединения трех областей, шара меньшего радиуса й! и двух половинок йг, йг шарового кольца (рис.9.3).
Положим Р(х) и х на йз и продолжим Р(х) (невырожденным образом) на всю границу й, и й,. Возможность такого продолжения в плоском случае очевидна. На одной радиальной перегородке Рис.9.3 поле Р задается произвольно (но с соблюдением заданных условий на концах), на другую нечетно продолжается. Далее работает индукция по размерности пространства. В Я' перегородка — это плоское круговое кольцо. Берем одну половинку, залаем на ней поле произвольно, но с соблюдением краевых условий (поскольку на ее границе нечетное поле уже задано) — на другую половинку поле Р продолжаем нечетно. И так далее.
По теореме 9.3.1 7(Р, В) = 7(Г, йд+ 7(Р, йг) + 7(Г, йз). Заметим теперь, что 7(Г йг) = ! а 7(» й1) =7(Г йг). Последнее вытекает из нечетности Р. Действительно, если луч ! протыкает поверхность Р(й,) в точках х,,..., хо, то луч -! протыкает Р(йг) в точках -х,,..., -х», причем характер протыкания (изнугри, извне) сохраняется. Таким образом, 7(Р, В) = 27(Р й|) + ! т. е. врал!влив нечетного леля всегда не«стао, а значит, не равно нулю. Этот факт, казалось бы, относится к весьма частному случаю нечетных полей, но деформации обычно дают возможность значительно «расширить» утверждение. 188 Глава 9. Топология и неподвижные точки 9.7.1. Пусть векторы невырозкденного на В поля Р(х) в симметричных точках направлены неодинаково, т.
е. Р(х) Р( — х) ]]Р(х)]! ]]Р(-хИ]* Тогда 7(Р, В) нечетно и, следовательно, уравнение Р(х) = О разре- шимо в В. В указанных предположениях поле Р гомотопно нечетному полю Р(х) — Р(-х). Деформапией может служить Н(х, г) = Р(х) — гР(-х). 9.8. Собственные векторы На практике довольно часто приходится рассматривать уравнения а(х,Л) =О со скалярным параметром Л. 9.8.1. Пусть 7[гг(х, Л1), Й] ~ 7[6(х, Л2) ~ Й].
Тогда при некотором Л Е (Л1, Лз) на Й существует решениеуравнения гз(х, Л) = О. В противном случае поля 6(х, Л,) и Н(х, Лз) соединял Оы невырожденный гомотопический мост Н(х, г) = 6 [х, тЛ, + (1 — т)Л,]. Когда уравнение с параметром имеет специальный вид Р(х) = Лх, его решения х называют собственными векторами нелинейного опе- ратора Р. 9.8.2. В нечетномерном пространстве в случае О Е Й невырозкденный на Й оператор Р всегда имеет на Й собственный вектор, т.
е. Р(х) = Лх при некотором Л ~ О. Если 7(Р, й) та 1, то поле Р не гомотопно тождественному и, следовательно, яри некоторых х Е й и г Е (О, 1) т — 1 гР(х)+(! — т)х= О, т.е. Р(х) = — х. т 9.9. Обрагныв и неявные функции 189 Если же у(Р, Й) = 1, то поле Р не гомотопно полю -1(х), и тогда при некоторых х б й и т б (О, 1) 1 — т тР(х) — (1 — т)х = О, т.е. Р(х) = — х.
т Таким образом, в нечетномерном пространстве на сфере невозможно задать невырожденное касательное поде (невозможно причесать сферу). Это сразу становится ясным, если центр сферы расположить в нуле и применить результат 9.8.2. Упражнения 1. Что означает результат 9.8.2 для тора в гь', на котором задано невырожденное касательное поле? 2. Пусть О и й и вращение поля х — Р(х) на й не равно нулю. Тогда уравнение Р(х) = Лх разрешимо на й при некотором Л > 1. 9.9. Обратные и неявные функции В анализе хорошо известна теорема о локальной обратимости отобразкения Р в окрестности решения Р(х) = у на базе достаточного условия де! еч(х) ~ О.
Локальной обратимости Р в каждой точке, конечно, недостаточно дпя глобальной обратимости. Но последнюю обеспечивает простое дополнительное условие 1пп !!Р(х))! = Оо, 1!х!1- со (9.4) что уже отмечалось в разделе 4.14. Довольно странно, что этот полезный результат остается малоизвестным. 9.9.1. Теорема. галя глобальной обратимости непрерывного отобра- жения Р, действующего в Во, необходимо и достаточно выполнение двух условий: (9.4) и локальной обратимости Р в любой точке Я".
Ли+(! — Л)е, Л Е $0,1]. Необходимость условий очевидна. Установим достаточность. 1-й тог. В силу локальной обратимости Р Функпия !па (Р(х) — Р(и), и) локально постоянна в достаточно малой окрестности любой точки и б й". Переход из и в любую другую точку о можно представить в виде последовательности сколь угодно малых шагов вдоль отрезка !ВО Глава 9.
Топология и неподвижные точки Поэтому функция 1пд '1Р(х) — Р(и), и~ постоянна' ! в Н". 2-й шаг. В силу (9.4) деформация Н(х, т) = Р(х) — тР(0) — (! — т)у невырождена на сферах Я достаточно большого радиуса. Поэтому вршцения полей Р(х) — Р(0) и Р(х) — у на Я равны при любом у. А так как все индексы одинаковы, то по теореме 9.6.1 об алгебраическом числе нулей число решений уравнения Р(х) = р, как функция р, есть константа, отличная от нуля.
3-й шаг. Допустим, что Р(х) = р имеет гп > 1 решений. Пусть, например, р = 0 соответствуют решения х,,..., хм. При движении по любому лучу в1 (» Е Л", 1 Е (О, со)) из каждой точки х, выходит непрерывная кривая х;(1)— такая что Р(х;(1)) = е1. В силу локальной обратимости Р кривые х;(1) не могут пересекаться. Отнесем теперь к множеству С; все точки кривых х;(1), соответствующие всевозмо:кным и и 1.
В силу той же локальной обратимости Р множества С; открыты и не пересекаются. Но 0С; = Н". Это противоречит связности Н". > В более обшей ситуации речь идет о существовании функции х = С(р), неявно задаваемой уравнением Ф(х,р) = О. Здесь сохраняется полная аналопи с предыдущим случаем. 9.9.2. Дм гладильной разрешимости Ф(х, р) = 0 относительна х неабпгдимо и достаточно выполнение двух условий: ° Уравнение Ф(х, р) = 0 локально разрешимо.
° ЦхьЦ -+ оо ~ ЦрьЦ -+ со, если Ф(хь, уь) = О. (ш) ь! В случае иевыроилеииости производной Рг(х) постоянство ивлекса очевидно сразу. Глава 10 Аналитические функции 10.1. О загадке комплексных чисел Попытки задуматься о подноготной комплексных чисел (КЧ) извлекают на свет мысли типа «чушь, мистика». Однако первый позыв «перечеркнуть и забыть» быстро проходит, поскольку выясняется, что вещь все-таки удобная. КЧ резко упрощают теорию колебаний, электричество... Законы волновой оптики странным образом оказываются согласованы с правилами умножения комплексных чисел.
Потом вдруг обнаруживается, что изучение линейных дифференциальных уравнений без КЧ вообще невозможно. Постепенно становится ясно, что это не просто удобная вещь, а невероятно удобная. Дальше — больше. Получается, без комплексных чисел никуда нет ходу. Даже в теорию вероятностей. Даже в теорию чисел. Хотя, казалось бы...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
