Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть теперь ГА, ГВ, Гс обозначают границы областей А, В, С. Невероятно, но факт: ГА = ГВ = ГС, т. е. области притяжения имеют одну и ту же границу. Допустим, в океане Ае есть остров, на котором имеется 99 озер Ап..., Ам. На сухопутной части острова выделим множество М, точек, расположенных в узлах квадратной е-решетки. Затем от каждого озера и от океана к каждой точке М, пророем канал, не доводя его до этой точки на расстояние е/2.
На оставшуюся часть суши поместим е/2-решетку, и к точкам М1 пророем каналы, не доходящие до соответствующих точек на е/4. Потом накроем сушу е/4-решеткой, и так далее. Понятно, что в пределе области Ае,..., Ам разрастутся до областей Аю,..., АД с обшей границей Г. Разумеется, с тем же успехом мог быть построен пример любого числа областей с общей границей.
Конечно, граница туг простым замкнутым контуром не является, но пример все же впечатляет, и на его фоне теорема Жердина уже не кажется самоочевидной. Глава 9 Топология и неподвижные точки Излагаемый далее материал апеллирует к геометрической интуиции и не претендует на строгость доказательств. Речь идет о далеко идущих обобщениях простого факта: если функция у в граничных точках отрезка (и, Ь) принимает значения разных знаков, то уравнение у(х) = О разрешимо на (о, Ь). 9.1.
Идеология окутыяения Пусть й — некоторая область в Л", й — ее граница, а Р(й)— ОбраЗ ГраНИцЫ Прн НЕПрЕрЫВНОМ ОтОбражЕНИИ Р: гьи -+ Ран. В ЭТОМ случае Р называют также оператором и говорят, что Р задает в Вн векторное поле Р(х). Допустим, что поле Р(х) невырождено на й, т.
е. Р(х) ~ О при х Е Й. Предположим пока, что поверхность Р(й) связна '), не имеет слипшихся участков, и на одном ее кусочке определена внешняя сторона (ориентация). Разобьем Р(й) на маленькие участки— накладывающиеся друг на друга — и, начиная с исходного кусочка, продолжим определение внешней стороны на соседние участки, согласуя ориентацию на пересечениях. И так, пока не определится внешняя сторона на всей поверхности Р(й).
Теперь из точки О выпустим произвольный луч 1 (рис.9.1) и посчитаем, сколько раз 1 протыкает Р(й) изнутри наружу— допустим, уе раз, и сколько — снаружи внутрь — допустим, уо раз. Теперь величину назовем вращением векторного поля Р на Й. и Множество называют связным, если его невозможно представить в виде объединении двух непересекающихся открытых 1непустых) множеств. Глава 9. Топология и неподвижные точки 180 Рис.9.1 Для корректности определения требуется независимость т(Р, й) от выбора 1. Очевидно, в большинстве ситуаций величина 1(Р, й) как функция 1 локально постоянна — не меняется при малых шевелениях луча.
Изменений можно ожидать, если при повороте луч пересекает точку касания (точка А на рис. 9А). Однако геометрически ясно, что при вращении 1 против часовой стрелки и переходе критического положения 1, появляется лара точек протыкания. Причем, если в одной из них луч будет протыкать Р(П) изнутри наружу, то в другой — наоборот. Поэтому точки протыкания могут появляться или исчезать только парами (полярными), и у не меняется. Если Р(й) имеет слипшиеся участки, то надо считать, что в соответствующем месте луч протыкает поверхность столько раз, сколько там слиплось слоев— и все остается по-прежнему.
Это же доллгно быть сказано в отношении лучей, протыкающих поверхность в точках самопересечения Р(й) (луч 1з на рис, 9.!). ° . Для большинства прило;кений произвол в задании ориентации «исходного кусочка» поверхности Р(й) сам по себе не принципиален. Важно другое — правильное согласование ориентаций при одновременном рассмотрении нескольких областей. Формальное определение ориентации (раздел 9.5) закрывает проблему, но требует привлечения дополнительных аппаратных средств. В большинстве случаев удается обойтись кустарными методами типа следующего.
Пусть П, и Пз граничат по Г = й, Г1 П„внешняя сторона Пн задана — и тем самым определена ориентация на Г, как части поверхности П,. Ориентация на Г, как части поверхности Пы меняется на противоположную (сохраняется), если йз находится по лругую сторону Г (по ту же сторону Г). Зта новая ориентация Г переносится на всю поверхность Пы описанным выше способом «покусочного расширения».
9.1.1. Если О Е Г), то вращение тождественного отображения 1(х) = х на Й равно 1. Зто, пожалуй, единственная ситуаши, где определение внешней стороны у з(й) не вызывает вопросов, поскольку й остается на месте. Луч сначала протыкает й изнутри, потом — снаружи, ..., последний раз — изнутри. 9.2. Гомотопные векторные поля 181 9.2. Гомотопные векторные поля Центральную роль в излагаемой теории играет понятие деформа- ции, или гомотопического моста. 9.2.1.
Определение. Отображения Р и С называются гомотопными на й, если существует такая непрерывная деформация (гомотопический мост) Н(х, т), определеннаяз) для х Е Й и т к [О, 1], что Н(х, О) е— е гг(х), Н(х, 1) = 6(х), причем Н(х, т) ~ 0 при любых х и т, что называют невырождепно- стью деформации. Операции гомотопического перехода от Р к 6 с помощью Н(х, т) визуально соответствует непрерывное деформирование поверхности Р(9) в поверхность С(й). Ограничение невырожденности, Н(х, т) Ф О, означает, что деформируемая поверхность не имеет права пересекать точку О. Геометрически ясно, что лееыролсдеяяая деформация не может поменять величину вращения у(), поскольку — двигается ли луч или деформируется поверхность — точки протыкания исчезают и возникают парами (разумеется, пока деформируемая поверхность не пересекает нуля).
Поэтому справедлив следукнций важный результат. 9.2.2. Теорема. Гомотопные векторные поля имеют одинаковые вращения. Становится ясно, что бесконечное разнообразие практических ситуаций может быть сведено к некоторому стандарту. Деформирование Р(й) на единичную сферу Я, с центром в нуле, и последующее разглаживание складок — порождает многослойную поверхность, окутывающую сферу (т(Р, й)1 раз)). Отрицательный знак т(Р, й) связан с выворачиванием й наизнанку. 9.2.3. Самый распространенный на практике вид деформаций— линейная гвмотопия: Н(х, т) = тУ(х) + (1 — т)0(х), связывающая отображения Р и С.
2) Стенографически это записывается короче и точнее: и: П х [О, )1 -) Л». з) Если Р отображает о в о, то т(Р, о) — это так называемая тово»ееячыкяа степе»» омсбр»»ее»я» Р. 9.4. Разрешимость уравнений 183 9.3.4. Если 7(Р, й) Ф О, то уравнение Р(х) = О разрешимо в й, т. е. существует точка х" б й, в которой Р(х*) = О. Таким образом, любая теорема об отличии от нуля вращения векторного поля Р мо:кет трактоваться как принцип разрешимости уравнения Р(х) = О. Отметим в заключение справедливость полезного дополнения к теореме 9.3.1, вытекающего из леммы 9.3.3.
9.3.6. Утверлсдение теоремы 9.3.1 снраведливо Вез нреднолозкения й = Г1 Й, но нри условии невырилсденности Р нв й ! 0 Й . 9.4. Разрешимость уравнений 9.4.1. Пусть О б й и для любого х Е й выполняется одно из условий: ° векторы х и е'(х) не направлены противоположно; ° 11е (х) — х11 < 1!е (х)11+ 1!х11; ° скалярное произведение (Р(х), х) ) О. Тогда уравнение Р(х) = О разрешимо в й.
В случае непрстивопсложной направленности х и Р(х) теоремы 9.2.2, 9.1.1 обеспечивают равенства 7(Р, Й) = 7(л (х), й) = 1, что по теореме 9.3А влечет за собой разрешимость Р(х) = О. Два других условия влекут за собой непротивоположную направленность, х и Р(х). > Изучаемые уравнения часто имеют специальный вид х = Т(х). (9.2) В этом случае решение уравнения (9.2) называют неподвижной точкой оператора Т.
Чтобы воспользоваться здесь результатом 9.4.1, достаточно перейти к векторному полю е (х) = х — Т(х). В итоге, например, можно гарантировать существование у Т неподвижной точки, если (Тх, х) < (х, х), х Е й. Из леммы 9.3.3 вытекает следующий фундаментальный результат. Глава 9. Топология и неподвижные точки 184 Особую популярность имеет 9.4.2. Теорема Брауэра. Оператор Т, переводящий в себя замкну- тый шар В, всегда имеет неподвижную точку х' б В. Без ограничения общности центр шара В можно считать расположенным в нуле.
Предположим противное (Т не имеет неподаюкной точки в В). Тогда поле х — Т(х) невырождено на сфере В и, в силу Т(В) С В, векторы х б В и х — Т(х) непротивоположно направлены. Легко видеть, что непротивоположная направленность х и х — Т(х) обеспечивается в гораздо более свободных предположениях. 9.4.3. Пусть й — лроизвольнан об«ость, О б й и онератор Т на границе й удовлетворяет усвовию Т(х) Ф Лх нри Л > 1.
Тогда у Т суиГвствует ненодвигкная точка х' б й. Важное замечание. Вращение векторного поля относится к разряду структурно устойчивых (грубых) характеристик. Оно не меняется при малых изменениях как отображения Р, так и области П. Поэтому любые теоремы о разрешимости уравнений, опирающиеся на оценки Т(), «выдерживают» малые возмущения. При вычислениях самого вращения оказывается возможным пользоваться различными аппроксимациями, не нарушая выводов, — например, вместо Р(х) в окрестности хо можно рассматривать линейное приближение Р'(хо)(х — хо) (разумеется, если производная Р'(хр) невырождена). 9.5. Ориентация Изложенное до сих пор можно придумать, наверное, за полчаса, но уточнять потом всю последующую жизнь. Дело в том, что созгщающий ракурс мышления рано или поздно сталкивается с несуразностями, которые выглядят сначала малозначительными, но в конечном итоге приводят к необходимости перестройки всего проекта.
В этом отношении весьма «перспективно» выглядит понятие внешней стороны поверхности. Пусть, например, й — шар в трехмерном пространстве с центром в нуле, сфера Я вЂ” его граница. Что с этой сферой делает отобрюкение Р(х) = -х? Вроде бы ничего. Сфера остается на месте. Поэтому, казалось бы, внешняя сторона Я и Р(Я) одна и та же.
И такую ложь вполне мо:кно допустить, если речь идет о гомотопности Р(х) и 6(х) с последующим абсолютно правильным выводом о разрешимости уравнения С(х) = О в й. Но ложь, безусловно, выстрелит, не в этом, так в другом месте. Если бы на Я бьши нарисованы вихри, закрученные по часовой стрелке (при виде, допустим, изнутри), то на Рф) эти вихри бы крутились уже против 9.5. Ориентация 185 часовой стрелки )). Такой казус возникает потому, что отображение Р(х) = -х как бы выворачивает сферу наизнанку ) — в результате внешняя сторона оказы- 6) вается внутренней, а вращение отрицательным, у(-х, Я) = -1.
Такое уточнение становится принципиальным, например, в следуюшей си- туации. Пусть й, — шар в зь' с центром в нуле, й, — шаровое кольцо (рис.9.2), й = й, ййз — шар большего радиуса, чем й,. Пусть Р(х) = -х на Й„Р(х) = х на Й. По теореме 9.3.1 7(Р, Й) = 7(Р, Й)) + 7(Р Йз). Поэтому, учитывая 7(Р й) = ) 7(Р й)) = имеем 7(Р, йз) = 2, что влечет за собой Р(х*) = О для некоторого х' Е Йз. Другими словами, образ шарового кольца Р(йз) обязан накрывать точку О, по, вообше говоря, просто так не очевидно. Рис. 9.2 Пытаясь обойти стороной возможные трудности, обычно предпочитают говорить об ориентации поверхности, а не о внешней и внутренней сторонах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
