Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Урысон ставит вопрос на более глубоком уровне, пытаясь определить размерность еометрического объекта'!. В основу кладется следуюшая индуктивная идея. Линию, как одномерный объект, удается разбить на две части точкой (нуль-мерной). Двумерную поверхность точкой уже не разобьешь, нужна линия (одномерная) — и так далее.
Простая идея на этапе формализации упирается в мощный барьер. Определение «под ключ» — очень сложная цпука. Додумывание мелочей иногда от первоначальной идеи не оставляет камни на камне. В данном случае трудности легко предвидеть. Определение должно работать на самых разнообразных объектах, среди которых канторово множество — не самый худший вариант. Эпопея кончилась, правда, хорошо, но для этого нужен был Урысон. Мы не останавливаемся на деталях, чтобы не отвлекаться. При наличии интереса мо:кно обратиться к специальной литературе, попытавшись сначала изобрести индуктивное определение размерности самостоятельно.
При этом можно он!утишь разнииу между «искусством и ремеслом». Попытка воспроизвести Урысона обычно не проходит. Несколько строчек определения, а не получаетог! Слохсные задачи решаются, пробяемы— не поддаются. Как заговоренные. 73'т как раз и выяшшется, для кокон надобности человека задумал Бог. Самые большие математики создают новые поншпия, обеспечивая работой тысячи коллег и последователей. Что касается определения размерности, то Урисон чуть позже определил ее иным (эквивалентным) способом: фигура Я имеет размерность п, если ее можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, что ни одна точка Я не принадлежит и+ 2 различным частям, но при достаточно мелком разбиении есть точки, принадлежашие о+ 1 различным частям.
Эта форма определения оказалась более практичной. «Ложка дегтя» в рассматриваемой области принадлежит Хаусдорфу, который определил размерность иначе. Мно:кество А покрывается кубиками со стороной е. Если Ф(е) обозначает минимальное число кубиков, необходимых для покрытия А, и )У(е) при е -ь 0 растет пропорционально е в, то величина А называется размерностью А (по Хаусдорфу).
У канторова множества эта размерность равна !ов, 2. Мандельброт назвал множества, имеющие дробную размерность, еуракталами. (ьоитрпример Шварца. Вернемся, однако, к проблеме измерения. Изыскания в области экзотических множеств, конечно, не перечер- з> По сравнению с теорией линейных пространств, где размерность определяется хах максимальное число векторов базиса (осей координат), в данном случае речь идет о существенно более обшей топологической ситуации.
166 Глава 8. От числа к функциональному пространству кивают простые результаты вычисления длин, площадей и объемов. Тем не менее общая проблема остается. История с измерением плошадей на искривленных поверхностях имеет дополнительные краски. Как известно, элементарная теория площади строится с древних времен на идее равносоставпенности многоугольников, а потом дополняется предельным переходом. В случае гладких плоских фигур все это хорошо работает. До определенного момента думалось, что и на искривленных поверхностях можно действовать аналогично. Но, как говорится, не тут-то было. Следующий контрпример Шварца поверг многих в глубокие раздумья.
Вертикальный прямой круговой цилиндр (радиус основания г = 1, высота Н = !) разрезается на и горизонтальных слоев толшинм !ь = Н/и. На внешней окружности кажлого горизонтального сечения отмечаются ш равноотстоящих точек (две соседние — А, В на рис. 8.2 видны из центра под углом 2а). Во всех четных сечениях выделенные точки находятся строго лруг под другом.
Нечетные сечения повернуты относительно четных на угпг а. 2гл Две соседние точки любого сечения и третья точка, лежашая посредине — «над» либо под ними, — опре- А В деляют треугольник, вписанный в боковую поверхность Р .82 цилиндра. Покрытие из таких треугольников при изРис. 8. мельчении все точнее воспроизводит цилиндрическую поверхность, как бы ложась на нее в один слой и равномерно покрывая.
Интуитивно кажется, что площадь покрытия в пределе (при и, пь -ь оа) должна стремиться к плошади пилиндрической поверхности, равной в данном случае 2я. На самом деле предел молвит быть любым )2а' и далее никаким (т. е. не существовать). В конце девятнадцатого века (1890 г.) этот пример в некотором роде потряс математическую обшественность. Стало ясно, что интуитивно очевидное понятие гпошади представляет собой тонкую материю и требует строгого анализа. Аномальное поведение предела устанавливается легко. Каждый треугольник «В В в ) «.« соответственно, «.= »гь- Теперь надо учесть, что о = я/пь, /ь = 1/и. Число треугольников в покрытии 2пгп. Поэтому общая плошадь треугольного покрытия 2 Я = 2пь х!и — пз (1 — соз — / + 1. 8.4.
Мера Лебега 167 Если при измельчении покрытия сохраняется пропорция п = тпз, то Я вЂ” ) язггтзя) + 4 при ги -) со. Таким образом, выбором т могкно обеспечить любое значение предела > 2)г. 8.4. Мера Лебега За исходный пункт берется определение плошади прямоугольника ь) п)(Я) = аЬ, где а и Ь стороны прямоугольника Я. Плошадь фигуры Р, представимой в виде конечной совокупности непересекаюшихся прямоугольников (Р„), полагается равной ги(Р) = Х~ из(Р„), в (8.3) что называют аддитивлостью меры ги(Р).
Далее для ограниченных многкеств определяется внешняя мера р'(А) =!пГХ~ пз(Р»), и (8.4) где инфинум берется по всевозможным покрытиям мноиества А конечными или счетными системами прямоугольников. «) е) Коротко и всно теория меры излагается в замечательном учебнике Колмогорова и Фомина Элементы теории функций в функционального анализа». 5) Значительный вклад внесли древние греки, Жордан, апрель и Лр. б) Независимо от того, входит лв в прямоугольник граница, целиком или частями.
Рассматривая задачу измерения площадей на искривленных поверхностях, Лебег в итоге построил общую теорию меры, решив проблему в известном смысле окончательно. Все конструктивно задаваемые множества стали измеримыми. Для подтверждения факта существования неизмеримых множеств требуется уже новая гипотеза (аксиома выбора — см.
след. раздел). Теория меры излагается во многих учебниках4), и здесь едва ли целесообразно дублирование. Мы ограничимся несколькими замечаниями, которые полезно иметь в виду. В первую очередь интересно обратить внимание на исторические корни. Лебег не был первым, кто занимался вопросами измерения площадей — и многое было наработано до него' ). Более того, различные исследования довольно близко подходили к етому, что нужно», но точного попадания в цель не было. Недоставало вроде бы мелких штрихов. Главный вопрос, естественно, упирался в само понятие меры.
Вот итоговый вариант для плоского случая. 168 Глава 8. От числа к функциональному пространству Наконец, множество А называется измеримым ла Пебегу, если по любому е > 0 можно указать такую конечную совокупность А, непересекающихся прямоугольников, что') ,и*(АйА,) < г. Меру Пебега и(А) измеримою множества А полагают равной и'(А). Очевидно, функция р(А) является продолжением меры т(Р) на более широкий класс множеств. В общем случае работает аналогичная схема, с той лишь разницей, что вместо прямоугольников берется та или иная система простейших множеств, мера которых задается директивно, после чего проделываются те же манипуляции.
В отличие от системы прямоугольников, где аддитивность (8.3) автоматически влечет за собой счетную аддамааяасть, или а-аддатавнасть ), требование счетной адаптивности в общем случае, если необходимо, приходится оговаривать особо. Это, собственно, и есть стержень теории. Самая сложная ее часть. Хотя обычно кажется, что нет ничего проще определения. Трудности, мол, состоят в доказательстве теорем. Но это— видимые трудности.
При несовершенном определении исходных понятий какие-то теоремы так или иначе доказываются, а цель не достигается. И очень трудно догадаться, как надо «пошевелить» определения, чтобы теоремы стали попадать в десятку. Главное значение теории меры состоит в том, что она дает опору для рассмотрения пространств измеримых функций и для интегрирования по Лебегу. Функцию у(х) называют измеримой, если измерим прообраз / '(А) любого измеримою множества А.
Такие функции могут очень сильно отличаться от непрерывных, будучи, например, разрывными в любой точке. С другой стороны, функция у(х), измеримая на [а, Ь], отличается от непрерывной не очень сильно в следующем смысле (теорема Пузана); для любого г можно указать непрерывную функцию р(х) такую, что т" (х) ~ у)(х) лишь на мно:кестве меры < е. Измеримые функции естественным образом возникают при рассмотрении функциональных рядов, поскольку сумма ~ с„уз„(х) не обязана бмть непрерывной при непрерывных р„(х). Это обстоятельство в свое время взорвало безмятежные представления об изучаемых функциях как о непрермвных или, 7) Г Здесь й обозначает симметрическую разность множеств, т. е.
Аû есть объединение двух разностей: А ) В и В ) А. з) То есть справедливость (8.3) в случае бесконечного числа слагаемых. 8.4. Мера Лебега 169 в крайнем случае, имеющих не очень много разрывов. Выяснилось, что ряды Фурье (именно они исторически были в этом отношении первыми) могут сходиться к весьма экзотическим функциям. Таким образом, достаточно естественный способ зааания функций с помощью рядов выводил за рамки обычных представлений и привел в конце концов к построению функционального анализа — анализа в функциональных пространствах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
