Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рациональные сечения (множество элементов а < а, где а рационально) оказываются рациональными числами. Все другие сечения называются — иррациональными. Особо имеет смысл выделить понятия инфинума и сунремума. Пусть дано ограниченное снизу множество М.
Определим множество Г нижних граней М, как множество таких рациональных 7, что у < т для любого т б М. Легко убедиться, что Г удовлетворяет условиям определения 8.1.1 и поэтому является сечением. 8.1.2. Определение. Число г1(Г) называется точной нижней гранью множества М и обозначается 1пГМ. Если М не ограничено снизу, то полагают 1п1' М = — со. Аналогично определяется точная верхняя грань 1 ьцр М. !! Чтобы не нарушить уже имеющиеся неравенства лля рапнональных чисел.
а В рассуждениях множество верхних граней Г надо заменить на -Г, чтобы попасть в рамки определения а!.!. 8.2. Проблемы бесконечности 161 Остается, может быть, самый главный вопрос «о полноте вещественной прямой». Рациональные числа не исчерпывали всех точек. Хватит ли для «сплошного заполнения» дедекиндовых сечений? Рациональным последовательностям а„теперь есть «куда сходиться». Но не потребуется ли новое пополнение для иррациональных а„? Не появятся ли «новые числа», если сечения производить уже с помощью вещественных множеств А, удовлетворяющих тем же условиям 1, 2 из определения 8.1.1? 8.1.3.
Основная теорема Дедекинда. Любое сечение в области вещественных чисел является вещественным числом. Другими словами, операция пополнения вещественных чисел не дает новых элементов (как в случае с рациональными числами). Доказательство просто. Пусть сечение определяется множеством А вещественных чисел. Пусть А„— множество всех рациональных чисел из А. Вещественное число ацр А„определяет сечение А, как множество чисел х ( ввр А„.
8.2. Проблемы бесконечности Сегмент [О,! [ представляет собой тот миниатюрный капкан, в который попадается бесконечность. Неограниченно развертывающийся процесс вдруг завершаемся, и необъятное оказывается в клетке. Именно в этом заключается 90% парадокса. Аномалия бесконечности ведь при отсутствии границ особенно не ощущается. У машины Тьюринга, например, лента бесконечна в смысле наращиваемости— если потребуется, мо:кно удлинить. Такая постановка вопроса вообще не вызывает дискомфорта, равно как и противоречий. Искрить начинает, когда бесконечность уже сосмолласа, что как раз имеет место на любом кусочке вещественной прямой. Интересно, что до определенного исторического момента математики не хотели замечать очевидного.
Первым на непроторенную дорогу ступил Георг Кантор, и его усилия привели к перевороту математического мышления. Бесконечности, бывшие все на одно лицо, стали непохожи друг на друга. Счетность. В основу сравнения легла простая идея. Бесконечные множества Х и У эквивалентны [равномощны), если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Множества, эквивалентные натуральному ряду, счетны.
В принципе удивительно, что множество дробей счетно. Устанавливается это довольно просто. Рациональные числа располагаются в виде бесконечной квадратной таблицы и нумеруются вдоль стрелочек. 162 Глава 8. От числа к функциональному лространству 1 1 1 2 2 2 1 2 г' 3 3 1 2 4 4 1 2 1 1 — — + 3 4 2 2 3 4 3 3 4 3 В результате число 1/1 получает номер 1, 1/2 — номер 2, 2/1— номер 3 и так далее.
Ранее встречавшиеся числа пропускаются. При этом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством рациональных чисел и натуральным рядом. Затем Кантор показал, что множество действительных чисел отрезка [О, 1) (континуум) — несчетно. В предположении противного их можно пронумеровать (8.1) ап аг,..., а„,. и тогда любое число Ь с десятичной записью Ь = Он8п8г... отличающееся от а~ в первом десятичном знаке, от аг — во втором, и так далее, — не входит в список (8.1), что дает противоречие. Описанный способ построения числа Ь называют диагональным.
х = О,о!пг..., р = Оьд!)3г ° . Ей можно сопоставить точку отрезка х = О,аф~аъдг... До этого момента все было не слишком удивительно. Взрыв дало сопоставление квадрата и отрезка. Выяснилось, что они содержат одинаковое число точек. Это не лезло ни в какие ворота. В первую очередь был потрясен сам Кантор. Вот доказательство, на которое ушло три года. Каждая точка единичного квадрата задается двумя координатами 8.3. Хврвктериэвцня множеств 163 Элементарное уточнение деталей показывает, что получается взаимнооднозначное соответствие г с=ь (ж, р). такой встряски мир не получал со времен Галилея, когда обнаружилось, что все тела падают с одинаковым ускорением. Пяиптоаа кпнтинуума.
Затем Кантор стал искать промежуточное по мощности множество между натуральным рядом и континуумом [О, 1]. Одна из попыток в этом направлении навечно вошла в историю под именем каяторова млолсества, получаемого последовательным выбрасыванием третей из сегмента [О, 1[. Сначала [О, 1] делится на три равные части, и средняя часть удаляется. С каждой из оставшихся частей повторяется аналогичная операция — н так до бесконечности. В пределе от [О, 1] почти ничего не остается, что и называется кантороамм мколсеством С. Легко сообразить, например, что длина выброшенных третей равна ! 2 4 — + — + — +...=1, 3 9 27 т.е.
«вся длина» [О,!] выбрасывается. Однако оставшееся тощее множество С оказалось равномощно континууму — и это снова был шок. < Понять результат проще всего так. Элементы [О, 1[ можно представлять, например, как десятичные дроби О,а,а,..., где каждое а, принимает одно из значений О, 1,..., 9. Континуальность [О, 1] поэтому равносильна несчетности всех бесконечных последовательностей а,а, ....
Десятичное основание является случайным обстоятельством. То же самое может быть сказано в рамках любой системы счисления, — например, троичной, в которой а, могут принимать лишь три значения О, 1, 2. Если в троичной записи чисел запретить использование единицы, — это и будет канторово множество С. Но а, в оставшихся числах О,а, а,... могут принимать два значения О, 2 — чего хватает лля несчетности, Безуспешные попытки найти промежуточное по мощности множество постепенно привели Кантора к убеждению, что «промежуток» пуст — вслед за счетным множеством сразу идет континуум. Эта гипотеза подорвала здоровье многих математиков, в том числе и самого Кантора. На решение проблемы ушла сотня лет.
Итог оказался неожиданным. Выяснилось, что гипотезу с равным успехом можно принять нли отвергнуть, как аксиому. 8.3. Характеризации множеств На узком плацдарме сегмента [О, 1] проходило очень много математических исследований. В учебники, конечно, попали вершки, просчеты канули в Лету. А без них, между прочим, ничему особенно не научишься. Не поварившись в том соку, не ощущаешь куда и почему математика движется. Как ни странно, вживаясь в ошибки прошлого, получаешь больше, чем от заучивания стерильных истин. 164 Глава 8. От числа к функциональному пространству Самые простые вопросы на территории [О, !] ведут в тупик. Взять хотя бы измерение длины и площади. Пример канторова множества С дает повод задуматься.
На каждом этапе выбрасывания третей остается 2/3 от того, что было. Поэтому мера, суммарная «длина оставшегося», стремится к нулю, 2'т" — — »0 при и — эоо. з,у' И другого, кажется, быть не может, поскольку в С нет ни одного сплошного кусочка. Похоже, что меру таких множеств можно заранее полагать равной нулю. Однако... Пусть ап — последовательность нечетных чисел. Разделим [О, !] на а1 частей и среднюю часть удалим.
Каждую из оставшихся частей на втором шаге разделим на ат частей и средние опять удалим — и так до бесконечности. В пределе получится некий аналог канторова множества — обозначим его С, — мера которого будет определяться бесконечным произведением и может быть сделана (выбором последовательности ав) любой в диапазоне [О, !). В то же время С, как и С, не имеет ни одной внутренней точки. Под давлением этого примера уже не ясно, что отвечать на вопрос о мере множества дробей.
Ковер Серпинского. Ковер Серпинского — это двумерный аналог канто- рова множества. Каждая сторона квадрата [О, 1] х [О, 1] делится на три части, в результате квадрат разбивается на 9 квадратов (рис. 8.1). Средний — удаляется. Потом с оставшимися квадратами повторяется то же самое — и так далее. Вообше говоря, ковер Серпинского — это линия, но не все так просто.
Определение линии имеет богатую историю. На каком-то этапе Жордан предлагал удобный вариант: «Линией является след от движения точки». Потом р В 1 благополучие было подорвано кривыми Пеано и лругими не- приятностями. Вюкный шаг сделал Кантор: «Линия на плос- кости — это континуум, не имеюший внутренних точек . Определение всех устроило, но ненадолго. Разм арность. к логическому концу ситуацию привел Урысон в своей теории размерности. Разумеется, «скоро сказка сказывается...» Дело не скоро делается потому, что в отличие от света, распространяющегося прямолинейно, мысль ходит кругами.
165 8.3. Характеризация множеств Понятие линии Жордана — «непрерывный след движения точки» вЂ” интуитивно очень естественно. Хорошо вжившись в него, можно ощутить драму открытия кривых Пеано, зачерчиваюших целиком квадрат. Положение спас Кантор, придумавший для определения линии «континуум, не имеюший внутренних точек». Однако в пространстве его рецепт ничего не лает — обыкновенная линия перестает отличаться от поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
