Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Более того, в том заключена мудрость, поскольку от науки требуется не эффективность 1, а незатухающее тлению 71 Главная проблема — чем-то занять ученых. Не так валено чем, но— ао специальности. Пусть доказывают ненузсные теоремы, публикуются и спорят. Это поддерлсивает квалификацию и не дает увлечься коммерцией. В противном случае ученые выведутся, и станет ясно, что «бьии нулсны», а новых негде более взать. Поскольку мир устроен достаточно мудро, математики постоянно заняты.
В результате казкдая дисцип«ина содержит кое-что «лишнее». С другой стороны, присмотришься к человеку — тапсе,. необязательные детали. Но убери их — и человека нет. 139 6.5. Интеграл Фурье Что касается рядов Фурье, то они, конечно, очень сильно разрослись. Тому, однако, есть серьезная причина — особая роль пгрмоничвскик «олебапий, каковыми называют обыкновенные синусоиды х(С) = Ав)п(2«нС+ б), (6.22) где А — амплитуда, и — частота, б — сдвиг по гбазе.
График зависимо- 8) сти амплитуды гармоник (6.22) от частоты — в разложении у(С) — называют спектром 1(С) Синусоидм в этом мире служат решениями линейных дифференциальных уравнений — и в этом их главное предназначение. Линейные дифуры, со своей сторонм, удовлетворяют принципу суперпозиции, что поднимает роль гармонических колебаний еще выше. Если, например, х,(С) и х,(С) — решения дифференциального уравнения й — х = у(С), соответственно, при у(С) = С)(С) и у(С) = уз(С), то х,(С) + хг(С) будет решением того же дифура при у(С) = у)(С) + Сз(С). Поэтому разложение у(С) в рял Фурье сводит (6.23) к совокупности однотипных дифуров с гармонической правой частью.
При этом свойства спектра определяют резонансные, фильтрационные и другие явления. В миниатюре это дает намек на возможности гармонического анализа. 6.6. Интеграл Фурье Ряд Фурье — это обязательно периодическая функция. При увеличении периода 21 в (6.20) спектр 1(С) все плотнее заполняется гармониками с круговыми частотами: и 2)г пк ь)! = —, ь)2 = ° ° ° ыь = 1' отстоящими друг от друга на сьы = я/1. В предположении абсолютной интегрируемости у(С), (6.24) предельный переход в (6 20) при 1 -) со заменяет суммирование интегрированием: (6.25) где а, Ь„получаются предельным переходом а„Ь„ — -) а, — -) Ь при Сьм -+0 (т.е.
при1-) оо), 3) ) Чтобм избавиться от утомительного написания 2«, используют круювую частоту ю = 2«и. Глава б. Функциональные ряды ! г г а~= — / 7'(г)соаыггм', Ь = — / 7(г)агпыагй'. (6.26) Коэффициент ае при 1-г оо пропадает в силу (6.24). Подстановка (6.26) в (6.25) после использования формулы косинуса разности двух углов приводит к (6.27) что, собственно, и называют интегралом Фурье.
Формулы (6.27) и (6.25) эквивалентны. Первая — более прозрачна понятийно. Вторая — маскирует содержание, но компактна. Проделаннме манипуляции дают правильный результат лишь в тех или иных дополнительных предположениях. Например, (6.27) в точке х обеспечивается выполнением условна Дини. Если в (6.27) 7(х) слева заменяется 7(х + О) + 7(х — О) на , то формула становится верной в довольно свободных предположенйях. часть и ОБЗОРЫ И ДОПОЛНЕНИЯ Беэ пассивной части словарного запаса, активная — перестает работать. Материал второй части не входит в стандартные курсы математического анализа, но отвечает естественной потребности понимания места изучаемого предмета, для чего необходимо расширять представления.
Поэтому концентрированные зарисовки окрестностей могут оказаться интересны сначала для преподавателей и, как следствие, для факультативных курсов. Изложение непрофильных разделов математики «по верхам, но без переупрощений», изло:кение в стиле обзоров, очерков, — наверняка, станет общепринятым (из-эа информационного переполнения всей нашей жизни). Разумеется, ужать десятикратно предмет, «не выплеснув с водой и ребенка», не так просто.
Здесь это уже сделано по некоторым направлениям, приммкающим к анализу. Где можно быстро ознакомиться, скажем, с ТФКП7 Не овладетгч а разобраться, почувствовать фарватер. Может быть, нигде, но гл. 1О написана именно с этой целью. На 15 страницах там изложено ядро теории аналитических функций— и при наличии определенной математической зрелости схватить главную нить можно в один присест. На эту тему есть, конечно, замечательная книга Титчмарша «Теория функций», но для ее освоения требуется намного больше времени и сил, что «на первой итерации» в условиях вторичной потребности — неодолимо.
Короче говоря, далее предпринимается попытка узаконить обзорный стиль в учебной литературе. В широком диапазоне. От близкого к поверхностной популяризации, в гл. 8, до почти строгого описания предмета в гл. 7, 1О, включая интуитивные способы изложения (гл. 9). Глаза 7 Элементы векторного анализа Начинать изучение аедторного анализа имеет смысл в пространствах размерности даа или три, где помогает наглядность. 7.1. Координаты и ориентация Когда речь идет об изучении функции и = ~(жы..., хя), где и, скажем, производительность химического реактора, а хн..., хя— температуры, давления и концентрации реагентов, — то никакого пространства еще нет.
Есть функция и аргументы. Переменные, параметры — что угодно, но никакой геометрии. Пространство возникает как виртуальный инструмент, когда значения хы..., хя мысленно откладываются по осям некоторого вспомогательного (фиктивного) пространства. Безусловно, затея с геометрией имеет смысл лишь в том случае, когда она хоть что-то дает. Простоту вычислений, идею доказательств или хотя бы вдохновение. Как ни странно, она дает все.
Хотя, если вдуматься, тут нечему удивляться. Просто большинство естественных вопросов (разрешимость, оптимизация, неравенства) имеют определенный геометрический смысл. В результате аморфные алгебраические факты приобретают наглядную интерпретацию, а химический реактор получает осмысленное описание в и-мерном пространстве. Поскольку способ введения в задачу пространства — обычно «координатный», сразу же возникает вопрос, а не играет ли роли выбор осей координат, и если играет, то как этим лучше распорядиться. В большинстве ситуаций наиболее удобны ортогональные системы координат со взаимно перпендикулярными осями.
На рис. 7.1 изображены две такие системы с осями (х,у, д), по которым направлены единичные орты (1,1, к). 7.1. Координаты и ориентация (правая) Рмс. 7.1 Правая/левая система координат характеризуется тем, что при вращении по кратчайшему пути от ж к у буравчик движется по направлению л — для правой системы, и в противоположном— для левой. Если оси неортогональны, то буравчик движется под острым углом, соответственно, к а либо — л. С ориентацией системы координат обычно ассоциируют ориентацию пространства.
Из-за пресловутого буравчика ясно, что это так или иначе связано с вращением. Ориентация плоскости, например, может быть задана фиксацией направления обхода контуров (по часовой стрелке или против Н). Некоторые думают, чню правая и левая системы ююрдинат даны Богом, но дея определения пользуются ссьшками на буравчик и часовую стрелку.
Другого пути, кстати, нтп, «Наличие винта» в устройстве аьизическою щюстранства — зто уже совсем другой вощюс. Не заложив ли Создатель асинметрию пространства до производство штопора? Дело ведь в таи, что малый процент, скажем, леворуккт людей обязан иметь свою причину. Это молсет быть, например, вращение Земли, действующее как-нибудь опосредованно. Но тогда наступает черед вращения планет.
и так далее, пока не вьиснится, есть ли асииметрия в природе вещей, либо только в региональных отклонениях. Проблема ориентации возникает также для искривленных поверхностей, где она приобретает несколько иную окраску. Поначалу кажется, что аналогично плоскому случаю ориентацию можно задать, фиксирован направление обхода контуров. Но вопрос «откуда смотреть?» — здесь становится сложным, а иногда и неразрешимым. Проблема упирается в разграничение внешней и внутренней опорок. Для односторонних поверхностей — лист Мебиуса, бутылка Клейна,— ~ Если понятно, откуда смотреть.
Глава 7. Элементы векторного анализа подобная дихотомия невозможна, и такие ситуации необходимо исключить. Для гладких поверхностей Я проблема разрешается следующим образом г~. В силу гладкости а кюхдой точке поверхности Я есть касательная плоскость, которая непрерыяно изменяется вместе с точкой касания А. Единичный перпендикуляр к касательной плоскости а А называют нормалью к поверхности Я а этой точке. При дяижении А нормаль, как и плоскость касания, меняется непрерывно. Рмс.7.2.
Бутылка Клейна 7.1.1. Если лри обходе точкой А любого контура иа Я нормаль возвращается а исходное яалахггкие Ц, кааерхнагть Я называют даусиюраиией. 7.2. Векторное произведение Векторы' и основные операции над ними описаны в разделе 4.1.
Еще одной важной операцией является векторное произведелие, л=хху, где вектор л по длине равен ~л) = )з! )у! д1пчг, т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах х, у (рис. 7.3), а направление л определяется по «правилу буравчика». Векторное произведение не ассоциативно, Рис. 7.3 (а х Ь) х с ф а х (Ь х с), г) Неглаакие же поеерхиоети можно аппроксимировать гладкими. ~ На односторонних поеерхнссгях нормаль при возврате может принять прстиьопохожиое направление. Процедура «отделения» внешней стороны от внутренней может быть организоаана слелующим образом. Поверхность Я разбивается на маленькие участки— иакладыаающигся друг иа друга — и, начиная с некоторого исходного кусочка, на котором направление нормали назначается декларативно, внешняя сторона продолжается на соседние участки с согласованием ориентации на пересечениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
