Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 19
Текст из файла (страница 19)
( ° ) е( у ~уе 5.7.2. Пусть функция ~(х,у) и частная производная дз(х, у)гду непрерывны в прямоугольнике [а, о'1 х (с, д]. Тоеда ь ь — / у(х,у)с(хее / ' дх т( г Г дух,у) ду / ' 1 ду 1 Равномерная скоднмость по х в данном случае оэначает: по любому е > О можно укатать таксе б, что !7(х, у) — Р(х)~ < е прн любом х, как только 1у — уе! < К 5.7. Интегралы, зависящие от параметра 119 при любом у Е [с,4], что в случае зависимости верхнего предела интегрирования от у дополняется равенством е(т1 еЫ вЂ” 7 у(х, у) г1х = 1 дх + чо (у) ~(ут(у), у), <$ Г Г д,Г(х,у) где имеется в виду ~р(у) 5 [а, д].
(~ь) 5.7.3. Если функция 7'(х,у) непрерывна в прямоугольнике [а,д] х [с,д], то А Ь ь в ду У(х,у) дх = <Ь,Г(х,у) ду. (в) Выдвигаемые требования к 7(х, у) не выглядят слишком жесткими, но и они могут быть ослаблены. Выходит, что интегрирование для стандартных операций анализа не воздвигает больших преград. Предельные переходы могут свободно проникать «сквозь интеграл» снаружи внутрь, и наоборот. Проблема усложняется при переходе к несобственным интегралам, где приходится опираться на дополнительное условие равномерной сходимости интегралов.
В случае оо А | у(х,у)дх = 1пп / у(х,у) Нх А»оо д (5.7) зто означает равномерную сходимость (5.7) по у, т.е. по любо- му е > 0 можно указать такое В, что при А > В выполняется неравенство оо А | ,Г(х,у) дх —,Г(х,у) дх ( е для любого у из рассматриваемой области 1'. Для несобственных интегралов на конечном промежутке типа (5.5) ключевым также оказывается условие равномерной сходимости интегралов, определяемое по аналогии с предыдущим. Выполнение соответствующих условий приходится проверять отдельно, либо «в лоб», либо опираясь на различные достаточные Глава 5. Интегрирование 120 признаки. В более слохсных случаях используется так называемая теорема Авцвла, но это уже инструмент из «другой оперы». Коитрпримеры Рецепт, взятый сам по себе, всегда представляет определенную опасность.
Необходим фон, намечаю!пня границы... Для теорем — зто контрпримеры. 1. Пусть 2. Рассмотрим функцию 1„(х), равную 1/н при условии О < х < и и нулю для х > н. Очевидно, последовательность функций (/о) равномерно сходится к нулю на (О, со), но о! 1йп / 1!,(х) Ах = 1. «-ко д о Упражнение Пусть 1(х, р) = 1/рз в области А (рис. 5.9), 1(х, р) = -!/х' в области В и 1(х, р) = О на границе А и В. Тогда ~ ~ 1(х, р) ах Ар Ф ~ ~ 1(х, р) Ар !)х.
о о о о Рис. 5.9 5.8. Двойные интегралы Объем )г цилиндрического тела (рис. 5.10), стоящего на основа- нии Р в плоскости ху и ограниченного в направлении л поверх- ностью х = 1(х, у), можно приблизить суммой 1г(е, б) = у 1(*оп р!)~1хг~роч (5.8) 1 (О, р) (1 — -„) О В случае 1(О, у) = 2/р ! йпг 1(х,р)йх = 1, о-!о а о при условии О < х < р; при условии р < х < 1. ! 1пп 1(х, р) !!х = О.
о о о 121 8.8. Двойные интегралы которая представляет собой сумму объемов вертикальных столбиков высотой ~(х;,у;), стоящих на малых квадратиках с площадью Ьх;Ьу;. Величины г, б обозначают максимумы )Ьх;), (Ьу;(. Предел У(г, б) при измельчении разбиения фигуры Р называется двойным интегралом функции ~(х, у) по области Р и обозначается Рис. 5.10 дхду = Яр, р где Яр — площадь фигуры Р. Таким образом, двойной интеграл может использоваться для вычисления площадей. Что касается возможного диапазона обозначений, то вместо произведения дифференциалов ах Иу иногда пишут дифференциал площади аЯ, вместо — просто „если из контекста ясно, о чем идет речь.
Наконец область Р может заменяться ее описанием типа хз + у~ ( 1. Сведение двойного интеграла к повторному. Практически — это единственный метод вычисления двойного интеграла, заслужива- Заодно получается интерпретация двойного интеграла как объема, заключенного под графиком х = у(х, у). Короче говоря, все развивается по образцу определенного интеграла от функции одного переменного, с той разницей, что промежутки заменяются плоскими фигурами. Совершенно аналогично вводятся суммы Дарбу и т. п. Принципиальная тонкость заключается в допуске к рассмотрению только квадрируемых областей Р, которые характеризуются тем, что ограничены контуром, имеющим нулевую площадь.
Площадь кривой, в свою очередь, определяется (упрощенно говоря) как предел суммы покрывающих кривую квадратиков при бесконечном их измельчении. Для простых областей Р никаких проблем не возникает. Более того, придумать «проблемную» область Р— сложная задача.
Если х = г(х, у)»вЂ” д 1, то 122 Глава б. Интегрирование ющий внимания. Снова всплывает теория повторных пределов. Другое дело, что в случае непрерывных функций у(х, у) и простых ограниченных областей Р никаких проблем не возникает. Например, в условиях прямоугольной области повторные интегралы из утверждения 5.7.3 оказываются равны как раз двойному интегралу Ь 4 У(х у)~хФ= Ь Нх у)~ = 1х Нх,у)ау* 1ю,Ь]х]сд] что представляет собой не что иное, как равенство повторных пределов двойному для аппроксимирующей суммы (5.8) т'(е, Ь).
Двойные интегралы, естественно, могут рассматриваться и на бесконечных областях, но тогда уже встают вопросы равномерной сходимости интегралов (см. пред. раздел). Рассмотрим теперь область Р, изображенную на рис. 5.11. По у она ограничена кривыми у = а(х) и у =,8(х), переменная х меняется в прежних пределах, от а до Ь. Опять-таки, если все фигурирующие функции непрерывны, то, очеРис. 6.1 1 видно, Другой повторный интеграл использовать проблематично из-за того, что описание граничных точек Р дает неоднозначные функции х от у. В общем случае выход из положения подсказывает рис. 5.12.
Отрезок 1а, Ь) подразделяется на промежутки, в пределах которых область Р можно покусочно описывать с помощью ограничений по у некоторыми кри- Ь выми типа у = а(х) и у = р(х). Рис.5.12 123 5.8. Двойныв ингвгрвлы Упражнение площадь круга х + уг ( 22~ (рис. 5.13) 2Д222 я д = / 2(х / 2(у = 2/ З/Дг — хгдх = яиг, ч 2 2 -я -Ч Я-2 Замена переменных. При вычислении двойных интегралов довольно часто зф- Рис. 5.13 фективным инструментом оказывается взаимно-однозначная замена переменных (х,р) =дИ,г() = Ех(й,г)) М г()) упрощающая или область Р, или функцию Г'(х, д).
Например, в полярных координатах (г, (о), х = гсоаог, у= 2 а!п(о, круг х' + у' ( и' оказывается прямоугольником [О, 22[ х [О, 2в'). Функция у(х, у) меняется при этом на [(г соа р, г яп уг). Остается вопрос о соотношении дифференциалов плошади дх ду и дг др. Коэффициент искаиения объема — в данном случае плошади — в малой окрестности точки (г, уг) определяется величиной (см. равд. 4.10) [ое! д'(г, 12)[ = г, дх дх дг дтг 1'соа 1о „а1п уг''1 1 а1п уг г соа уг / ' дг д1о Следовательно, го Я Ц 21х21у= / гур /г21 = ЯК 24„2<Я! о о что с вычислительной точки зрения проще прямолинейного взятия интеграла, использованного выше. В общем случае замены (5.9) формула перехода к новым переменным такова Р!о Ро (5.10) 124 Глава 5.
Интегрирование Сопоставление с правилом замены переменной в определенном интеграле ь р / 7(х) ах = / у[х(О[х'(О о(, (5.1 1) к к где а = х(а), Ь = х05), обнаруживает принципиальную разницу. Очевидно, [х'(~)[ является коэффициентом искажения длины, но знак модуля в (5.11) отсутствует. Причина заключается в том, что промежуток интегрирования в (5. 11) ориентирован (а < Ь либо а > Ь), и от этого зависит знак интеграла.
Двойной же интеграл определялся пока на неориентироаоннмх областях. Однако возможен другой подход. Области придается ориентация заданием направления обхода ограничиааюшего контура — положительного или отрицательного. Соответственно, плошади ориентированной области приписывается знак плюс или минус. При этом в формуле замены переменных модуль с детерминанта снимается. 6.9.
Кратные интегралы Тройной интеграл по области Р от функции и =,у(х, у, х) определяется как предел где Ь'(е, б, гт) = ,'г ~(хг, уг, дг)ЬхгЬу1Ь|1, (5.12) 1 а е, б, гг обозначают максимумы [льхг[, [злуг[, [глдг[. Аналогия с двойным интегралом полная. Область Р подразделяется на малые кубики (со сторонами [1лхг[, [Ьу;[, [.Щ[), и в качестве отправной точки рассматриваются суммы (5.12), которые, например, можно рассматривать как естественные оценки (приближения) массы тела Р с плотностью распределения масс у(х, у, л). Дальнейшее развитие теории (в том числе интегралов большей кратности) идет по тому же пути, что и двойных интегралов.
Суммы Дарбу, повторное интегрирование, несобственные интегралы и т. п. Замена переменных происходит по той же самой формуле (5.10), если отвлечься в (5.10) от количества переменных. 06ЪЭМЫ та-МЭРНЫХ тел. В описании стандартных и-мерных тел обычно фигурирует некий характерный размер о, входяший в неравенства вила уг(х, а) <О. Функции р, как правило, однородны, т.е. х(тх, то) = т" р(х, а), 125 5.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
