Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При использоваиии неопределенных интегралов получилось бы 1п(т(1) — Тв) = 01+ С, оукуда, полагая 1 = О, имеем С = 1п (Т(0) — Тв). Итог, естественно, тот же. РЕаитИВНОЕ дВИжЕНИЕ. Пусть в неподвижной системе координат в некоторый момент времени масса ракеты равна М, скорость — в. Через малый промежуток времени гзг скорость ракеты увеличится иа сзе, масса уменьшится иа ЬМ, причем лМ будет иметь некоторую скорость У. з1 Интегрировать по Т до Т, вообще говоря, некорректно (твк жс, как суммировать по и до и).
Для «иемой» переменной суммирования или интегрирования положено выбирать лругую букву, ио часто удобнее пользоватьсв той же. 112 Глава 5. Интегрирование Закон сохранения количества движения Ме = (М вЂ” 45М)(е+ вье) + 4)М К после деления на 45М и перехода к пределу при 4)ви -+ О приводит к уравнению 41е ли М вЂ” +$' =О, или ле=-У вЂ”, 4(М в и' где 1' = (г — е — скорость истечения газов. Интегрирование последнего уравнения приводит к Г 4(и е ««ае = - в ( — = -К )л М + С. в / в / и Константа С определяется, например, из условия М = Мв при е = О, что дает е = )гв 1л (Мя/М), откуда следует формула Диалкеескею Нв М Инвариантное погружение.
тело, брошенное вертикально вверх, при наличии силм сопротивления воздуха ш 9(е) описмвается дифференциальным уравнением пм) = -пвб — т)5(е), т.е. е = -д — Ф(е). (5.1) Интегрирование (5.1) определяет скорость е как функцию времени, после чего можно решать те или иные сопутствующие задачи. Вычислятгч например, максимальную высоту Л(ея), на которую поднимется тело при начальной скорости ев. Но это в принципе, нбо, как говорится, легко сказать. Интегрирование (5.1) дает") бе д+ р(е) что лишь неявно определяет е(1). В то же время естественно желание иметь формулу лля Л(ея), минующую решение посторонних задач.
Для этого приходится «заходить с другого конца». Тело, летящее вверх со скоростью е, за время вь1 поднимается на высоту ЬЛ = егь1 и теряет в скорости 45е = (я+ )5(е))взй Если зависимость Л(е) максимальной высоты от начальной скорости существует, то обязано выполняться соотношение (5.2) Л( ) = 45Л+Л( — Ье)+о(), т. е. Л(е) = ев) 1+ Л(е — (д+ р(е))В)41) + о( ), или, равносильно, Л(е) = 4)41+ Л( ) — Л'( )(д+ р(е)'рд1+ Н. 4) Константа С определяется начальными условиями, «(0) = ев. 5.6. Несобственные интегралы Отсюда Г обе Н(") шУ,+,» е бе б+)5(е) е Прн )5(а) в 0 получается известный результат )ь = еео/(2б).
Функциональные уравнения типа (5.2) многократно обыгрывались в разнык контекстак. В там числе в контексте инвариантного погрузкения конкретной задачи в семейство задач, где начинают «мучать молчавшие до этого связи. В приведенном примере это всею лить переход от фиксированного ее к переменному. Идея, на нервьш" взгляд, не бог весть как значительна, но она меняет направление мысли. Белянина такая идея привела к созданию динамического программирования. На той зке почве произрастает изящный метод освобозкдения лсесткик связей в меланике (принцип виртуальныл перемещений). 6.6.
Несобственные интегралы Ь Понятие определенного интеграла 2'(х)г[х естественным оба разом обобщается на случаи неограниченного промежутка (а,'о~] и неограниченной функции т(х). (5.3) Если предел конечен, то говорят, что интеграл (5.3) сходится. Если бесконечен, то — расходится б). Аналогично определяется интеграл а е У(х) бх = )!гп / У(х) дх. (5гл) з) Определенной и интегрируемой на любом отрезке [а, А]. 6) Если предел вообще не существует, как, например, в случае / з)их дх, то иногда толе говорят, что интеграл расходится.
Когда значение ннинего предела а не игрвш роли (как в данном случае), его просто опускают. 6.6.1. Несобственный интеграл функции 5) 2'(х) от а до оо опре- деляется как предел (конечный или бесконечный) 114 Глава 5. Интегрирование Наконец, если существуют оба интеграла (5.3) и (5А), то /'7(х) дх = /'~(х) 4х+ / ~(х) Ах.
При мерм 1. Приргь1 в случае р = ! Ах а — = 1и х ~ = 1п А. ! ! В результате при А -+ со имеем !(х „!г 2. у =агсгвх) ',) 1+и 2 о 3. По закону гравитационного притяжения Мгп л' = 7 В! ' где М вЂ” масса Земли,  — расстояние до центра Земли тела массы ю. Если потенциальную энергию бесконечно удаленного от Земли тела считать нулевой, п(со) = О, то, интегрируя работу Р ~И по удалению тела в бесконечность, получаем а )л Миз! Миз /™и= 7' ~ = 'У 11 ~ В Вторая космическая скорость е (позволяющая улететь в бесконечность) определяется из условия Мгп !па! и(со) — и(Ле) = 7 — = —, Ве 2 где Ла — радиус Земли. 115 5.6.
Несобственные интегралы 4. В момент 1 = О двигатель лодки выключается. Какое расстояние лодка нройдет ло инерции, если скорость в момент выключения — еь, а сила сонротивлення воды пропорционально скорости, В = -Ве? Интегрирование уравнения движения, до гн — = -Во, 41 Г' де Ф вЂ” =- — ~ 41 ю 1ло+Ст- — 1. е пь,/ гп Константа определяется из условия е(О) = оь. В итоге е(1) =оье В~ .
Окончательно, ьэ к еьнз -Ва„~ еьгн Я = едет- — е 5. При вращении графика кривой р = 1/х в диапазоне (1, со) вокруг оси х образуется тело вращения (рис. 5.7), объем которого определяется по формуле получаемой как результат предельного суммирования обьемов колец радиуса р = 1/х и толщины с.'ьх (сь1г = а р~ гьх). Рно. б.
г Интересно, что объем тела ограничен, но вертикальное плоское сечение, проходящее через ось х, имеет бесконечную площадь (1) Я = 2 / — = со. х ! б. Часто думают, что для сходимости интеграла / /(х) Ых от положительной функции 7(х) требуется /(х) -ь О при х ь со. Это, правда, больше психологический вопрос, чем математический. Глава б. Интегрированив 116 На самом деле, если Г'(х) равна нулю вне треугольных пиков (высотой 2 и шириной основания 1Ги~) в районе целочисленных аргументов (рис.
5.8), то ОЭ СО 1 у(х) дх = Х~~ — < со. 1. Если О ( Г(х) < р(х) при достаточно больших х, то стодимость / р(х) дх ОР расходимость / 1'(х) дх' схадимость / у(х) дх, расходшиость / р(х) дх. 2. Если существует конечный предел !цп — =М>О, У(х) *-- а(х) то оба интеграла / у(х) дх н /р(х) дх сходятся или расходятся одновременно. Пусть теперь функция у(х) определена на (а, Ь), интегрируема на любом отрезке (а,с] С (а, Ь) и уходит в бесконечность при х -+ Ь вЂ” О, т.е. при х стремящемся к Ь слева. Принципиальный вопрос в приложеРис. 6.8 ниах: сходится ли несобственный инте- грал? Многие результаты в этом направлении перекликаются с признаками сходимости числовых рядов.
Особую роль играют абсолнгтно сходящиеся интегралы 2(х) с(х, сходящиеся вместе с ~,~(х) ~ г(х. Соответственно„повышенное внимание уделяется интегралам ог положительных функций. Вот несколько простых фактов, доказательство которых может быть использовано в качестве упражнения. 6.6. гзисобсгввнныо интегралы $.6.2. Несобственный юииелрал ь у(х) дх а функции, уходящей в бесконечность при х -у Ь вЂ” О, определяется как дигедел (конечный или бесконечный) (5.5) Как и в предыдущем случае, если предел конечен, то говорят, что интеграл (5.5) сходится.
Если бесконечен (или не существует), то — расходится. В указанных выше условиях точку Ь называкгг особой. Из контекста, надо полагать, ясно, что представляет собой несобственный интеграл, если особой является «левая» точка а, обе, а и Ь, либо некоторая точка внутри отрезка [а, Ь]. 1. При р;ь 1 1 ь — = — ~ = — (1 — с»), 1 ы Рс 1 Р с в случае р = 1 1 хх — =1пх! = — 1па ~с с В результате при с -+ О+ О имеем 1 1 2. ~ 1п х ах = (х 1о х — х)[, = -1.
Минус — следствие того, что интеграл е учитывает площади, лежащие ниже оси х, как отрипательные. 118 Глава б. Интегрирование ох, х 3. / = атсяп! — атсэ(пО = —. т/! — х' е т/Э т/Э Г ассах т/2 4. / тахте= — / = — 1и совх(е =со. ,/ сов х 5.7.
Интегралы, зависящие от параметра В прикладных задачах приходится рассматривать функции, возникающие в результате интегрирования. Например, ь Ф(у) = Дх„у) дх. (5.6) а Поскольку интегрирование обладает улучшающими свойствами (из интегрируемой функции делает непрерывную, из непрерывной — дифференцируемую), то многие манипуляции с Ф(у) можно менять местами с операцией интегрирования при довольно свободных предположениях относительно функции у(х, у). Вот простые и легко доказываемые факты. У'(Х,У) -+ У(Х) пРи У вЂ” У УО равномерно у) по х, то 1пп / У(х,у)дх= / 1пп у(х,у)тЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
