Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Кратные интегралы что позволяет с помощью замены х = Са перейти р огре к асом нию «единичных» тел (о = 1). При вычислении объема зто приводит к формуле У(а) = а"У(1), (5.13) поскольку бес хс — — а" и У(а) / й!', / /с!есле! Ле 1' 11 Таким образом, обьем и-мерного куба со стороной а равен У(о) = а".

В более сложных случаях обычно применяется ндукц р и ия по азмерности пространства. Например, для вычисления объем „( ) - р а Т (Ь) и-ме ного симплекса: хс ) О,..., х» ) О; х! +... + х«( Л, к цели быстро ведет преобразование »-1 1 ««~ г „, т„(1) »(1 =1» 1 1 - .— =.-(!)1(1-.)"' .= "„' О 6 «...»С„-, <1-и о где все 5 > 0 и Т„,(1 — ~„) = (1 — У,„)" 'Т„,(!) в силу (5.13). Учитывая теперь, что Т,(1) = 1, последовательно приходим к Т„( ') = !гп.. Окончательно го" Т„(!с) = —,. При вычислении объема В„(г) и-мерного шара х, +...

+х„<г работает аналогичный трюк, »-1 -1 С1+ +С! <1 С! «1'1 (!) ( (1 с1!) = 2В,— (!) 1 ! " — 1 о В итоге преодоления рутины лля четной н нечетной размерности пространства получается: !г" 2 я л,+, О.1-1 О Ви(!') — г, В!о+1(г)— 126 Глава 5. Интегрирование 5.10. Механические задачи Вранденне и иеиентьз инеРЦии. при вращении механического тела вокруг некоторой фиксированной оси с переменной угловой скоростью ы(1) = р(1) каждая частица массы Ьтч находящаяся от оси на расстоянии г„движется со скоростью е; = Пы и ускорением е;=га=гф.

Умножая закон движения каждой частицы 2ьов!е; = и) на г; и суммируя по о, после перехода к пределу при ат; -+ 0 получим ХуЗ=М, где М вЂ” результирующий момент действующих сия, Х вЂ” момент инерции тела, представляющий собой интеграл / г' йи, в котором суммирование производится по объему тела. г Найдем моменты инерции некоторых стандартных тел.

! . Однородный стержень длины !. Ось вращения проходит перпендикулярно стер:кню через его конец (рис. 5.!4) Элемент длиной йг имеет массу 4т = гв о!г/П Поэтому ! 2 т 2 Х=Х! г йт=Хт — г 4г= —. / ! 3 о о ~0 !о ! г ' й — — — — — -~ью — — — — -~~ ,'0 Рис. 5.15 Рис. 5.14 2. Обруч при условии, что ось вращения проходит через центр и лежит в плоскости обруча (рис.

5. !5). Из сообрюкений симметрии ясно, что моменты инерции относительно перпендикулярных осей х, р равны, Х, = Х„, где Х.= /*'Лт, Х,=/р 4т, откуда 2Х=Х,+Х = / (х1+рз)йв= / В~йт=тВ' 127 5.10. Механические задачи что дает пзЯ' Х = —. г 3. Однородный диск радиуса Л. Ось проходит через центр перпендикулярно плоскости диска (рис, 5.16). Выделим из диска обруч радиуса г и бесконечно малой ширины дг. Его масса (Я вЂ” плошадь) да 2г дг дпь = оп — = гп —. Я Вз Поэтому и 2гп Г з пЖ Х= — / г дг= —. л/ о Рмс.

6.16 4. Однородный диск радиуса Л относительно диаметра (рисунок тот же, но теперь ось лежит в плоскости диска). Момент инерции выделенного обруча (рис. 5.! б) относительно диаметра равен Ы = дпь г')2. Отсюда а и 2 зп 3 Х= — у г дно= — уг г дг= —. 2.7 Вз,/ 4 Подстановка в,у = / г' дпо значения (рис.5.17) го + а + 2го а, 2 2 г=го+а з с учетом / о'о дпо = 0 дает нужный результат. Рмс. 6.17 5. Теорема Штайнера.

Если момент инерции Хо относительно аси, проходящей через центр тяясести тела, известен, то момент инерции,ул относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а, определяется 4ормулой )А = 10+ гпа . 128 Глава 5. Интегрирование Рис. 5.18 6. С каким ускорением палый цилиндр радиуса Я скатыяается с наклонной плоскости (рис.

5.18)? Уравнение моментов относительно мгновенной оси врантения (точки А) '1 в данном случае имеет вид Аы Хл — = лейле мл о. Ф В силу е = юле и Хл = 2пэЯ', ускорение цилиндра получается равным 1 9 = -йя1лн. 2 еэ Момент силы трения а этом случае иуленой. Глава б Функциональные ряды Представление функций в виде бесконечных сумм, ~(х) = серь(х) + с1у1(х) +...

+ сч(рп(х) + ..., (6.1) Б(х) =серо(х)+" +соря(х) Вопрос сходимости Ях) -» у(х) обычно подменяют вопросом стремления к нулю хвоста ряда сь~рь(х) — + 0 при и — » оо. ь= +1 (6.2) Но (6.2) влечет за собой сходимость у„(х) лишь к некоторой функции, к «эф ли от икс?» — зто уже другая задача. Дело в том, что проблемы нет, когда само разложение (6.1) служит определением ~(х). Если же Г(х) определяется как-то иначе, то необходимо еще обосновать, что правая часть (6.1) сходится именно к у(х). 6.1. Равномерная сходнмость Под равномерной скодимостью ряда счрч(х) ~ (6.3) о=О играет в анализе важную роль. По аналогии с конечномерным случаем функциональные ряды (6.1) интерпретируются обычно как запись у(х) в координатной форме, с„— и-я координата, у„(х) — направляющий вектор и-й оси. Постепенно выясняется, что за этим стоит гораздо больше, чем просто внешнее сходство.

Принципиальной особенностью разложений (6.1) является возможность приближения функций 1 (х) частичными суммами Глава 6. Функциональные ряды 130 в соответствии с определением 4.4.2, подразумевается равномерная сходимость к нулю его хвоста (6.2) на рассматриваемом отрезке ]а, Ь]. Равномерной сходимостью ряда на бесконечной (либо незамкнутой) области Х будем называть его равномерную сходимость на любом ограниченном замкнутом подмножестве Х. 6.1.1.

Теорема. Пусть все функции узп(х) непрерывны на отрезке '(а,Ь] и ряд (6.3) сходится равномерно. Тогда его сумма 3(х) непрерывная функция. Результат сразу следует из теоремм 4.4.3. Ы 6.1.2. Теорема. Пусть функции <рп(х) непрерывны на (а, Ь], и ряд (6.3) сходится равномерно. Тогда ряд (6.3) можно почленно интегри- ровать, т. е.

интеграл от суммы ряда ((х) равен Доказательство элементарно. Из равномерной сходимости к нулю хвоста ряда следует стремление к нулю интеграла хвоста ь ь ! УУ(л)дх-У:сь3'Ть(х)йх~-+О ь=ь а а при и — ь сю. 6.1.3. Теорема. Пусть функции (оп(х) непрерывно дифференциру- емы на [а, Ь], и равномерно сходится как ряд (6.3), так и ряд, составленный из производных: туп (х) ,с„ (6.4) Тогда почленно продифференцированный ряд (6.4) сходится к произ- водной ~'(х), т. е. Отсюда вытекает, что равномерно сходящийся ряд моясяо почяеяпо иятегрвровать вяз вселит дополнительных усяоеий. Для почлеииого дифференцирования 6.2. Ствпвнныв ряды условия нужны, но они естественны: взятие производных не должно нарушать равномерную сходимость ряда.

Доказательство последней теоремы моментально вытекает из предыдущей. В предположении противного интегрирование (б.4) вступало бы в противоречие с теоремой бд.2. 6.1.4. Если )сагра(х)~ < у„при любом х б Х, и числовой ряд ~ у„сходится, то ряд (6.1) на Х сходится равномерно.

Доказательство совсем просто. 6.2. Степенные ряды Фундаментальную роль в теории степенных рядов 'Е' свхл (6.5) играет следующий простой результат. 6.2.1. Если ряд (6.5) сходится при кагсом-то х = и, то при условии ф < )г( он сходится абсолютно, а при ф <~г — е! еиге и равномерно (при любом малан е > 0). Если все слагаемые положительны, результат абсолютно прозрачен.

В случае произвольных знаков вывод может показаться даже неожиданным. Тем не менее... Из сходимости се + с,т+ сгг~ +... вытекает с„т" -+ О, а значит и ограниченностгк )с«г"! < М. Поэтому дая ~х~ < ~г! будет что обеспечивает абсолютную сходимость. Зта же выкладка в паре со ссылкой на утверждение 6.1.4 дает требуемую равномерную сходимость. Из 6.2.1 сразу следует, что область сходимости степенного ряда — зто всегда промежуток (-В, ла), в котором ряд сходится, причем всегда абсолютно, а на любом сегменте [-и, и] С ( — аь, ль)— равномерно.

Глава б. Функциональные ряды 132 Необходимая (по теореме 6.1.3) равномерная сходимость на (-г, г) С (-22, 22) почленно продифференпированного рада ~ с„п х" следует из того, что этот ряд мажорируется (при любом е 6 (г, Я)) числовым рядом пс„(-) в" ', которыя, в свою очередь, в силу и (гув)» ~ -ь О сходится вместе с Х~~ с„в». 1» Радиус сходимости В может быть конечным ') или бесконечным. Что касается сходимости ряда на концах промежутка ( — В, В), то ситуации могут быть разные (встречаются все мыслимые).

Примерм 1. Ряды х х' » е*=1+ — + — +...+ — + ", 1! 2! и! Э хз"' ~ мпх=х — — +...+(-1)" +... (6.7) 3! (2ть + 1)! сходятся при любом х, что моментально выводится как из признака Коши 2.8.4, так и из признака Даламбера 2.8.5. 2. Те ие признаки Коши и Даламбера легко позволяют установить сходимость степенных рядов — =1+х+х +х +..., 1 2 3 1 — х х' х' х' 1и (! + х) = х — — + — — — +... 2 3 5 (6.8) (6.9) но у:ке при !х( ( 1. Во всех перечисленных случаях признаки йоши и Даламбера поломают точно уловить границы сходимости, т. е. заодно определяют радиусы сходимости рядов, что в каком-то смысле закономерно.

В общем случае радиус сходимости ряда (6.5) вычисляется с помощью верхнего предела ло формуле В = 1!гп згг)с1 ! В тои числе нУлевым, когда Рад сходитсЯ толька пРи е = О, напРимеР, 2л п»х». В результате можно гарантировать, что на ( — В, В) степенной ряд сходится к непрерывной функции, и его можно поцяенно интегрировать и дифференцировать.

6.3. Ортогональные разложения (!) Важно заметить, что в приведенных примерах установлено лишь то, что касается сходимости непосредственно рядов. Левые же части формул (6.6)-(6.9) никакого обоснования пока не имеют. Ряд х — хз/3! +... сходится, но — к синусу ли от х, определяемому с помощью прямоугольного треугольника? Разложение Тэйлора на действительной прямой ни в коей мере это не подтверждает, что уже обсуждалось в разделе 3.1.

Строгое и красивое обоснование подобного рода фактам дается в теории аналитических функций (гл. 1О), где загадочные вещи из теории рядов становятся прозрачны. Разумеется, свет клином на аналитических фунюпих не сходится, но «обыкновенное» доказательство формул типа (6.6)-(6.9) создает впечатление, что столбовая дорога остается где-то в стороне.

Кустарные методы здесь выглядят примерно так. Сумма убывающей геометрической прогрессии 1 — х" +' бь — 1+я+я + ° ° ° +я 1 — я при и -+ ос дает (6.8). Некоторые ухищрения с предельным переходом позволяют установить (6.6). Равенспю (6.9) выводится почленным интегрированием ряда 1 з з — =1 — х+х -х + 1+я ях поскольку 3! — = 1и (1+ х). И так далее.

l 1+* о 6.3. Ортогональные разложения Назовем (6.10) сквирнмм лроизведением функций т и р. Поначалу это может показаться странным, но (6.10) действительно определяет операцию, которая удовлетворяет обычным свойствам скалярного произведен на. Аналопи с конечномерным случаем на этом не заканчивается.

Характеристики

Список файлов книги