Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Функции считаются векторами, а равенство (6.1) — их координатным представлением. Конечно, здесь не все так просто, как выппщнт, но будем пока придерживаться оптимистической ноты. Систему векторов (базис) Ьс(я).у~(я) " у (я) " ) (6.11) Глава 6. Функциональные ряды 134 назовем ортогональной, если (уга,уг ) = / р„(х)ут (х)ах=О при Оп~и, а (6.12) и ортонармальнон, если дополнительно ; ит [[1Е„[[ее (р„,1р„) ~ = ~/1О„(Х) О(Х) = 1. а (6.13) ь ь г (х)1Р„(х) йх = ~~ сд / Угд(х)УО„(х) йх, а Д=О а что с учетом (6.12) и (6.!3) дает формулу для определения коэффициентов с„ (координат 2(х)) (6.14) Теорема Пифагора в рассматриваемой ситуации ь [[2[[~ = / у'(х) йх = ~ с'„ а=О (6.15) называется равенством Парсвваля. из (6.15) следует, что разложение (6.1) любой интегрируемой с квадратом функции имеет коэффициенты с„-ь О.
Примерм В приложениях широко используются различные ортогональные системы. Например, известная тригонометрическая система (6.16) 1, соз х, 5!и х, ..., соз пх, О!и пх, ортогональная на [-я, От[ 11, служит основанием для знаменитых рядов Фурье. Ортогонвльность (6.16) легко проверяется, например, 1 Гг' и+й и — й соз пх соз йх г!х = — 2! ~стм — х + соз — х) йх = О 2/~ 2 2 при и за й. 11 Либо иа любом другом промежутке алины 21г.
а случае ортонормавьной система (6.11) — умножая (6.!) на (в„(х) н интегрируя от а до й — получаем 166 6.3. Оргогональные разложения Нормирование" (6. 16) дает ортонормальную систему: 1 сов х з)пх соз пх э)п пх /2я»1 )ГЯ Я »ГЯ Достаточно широко используются ортогонвльные на [-1, 1[ лолииамы Лехеаидра «) 1 4»(х — 1)" Р„(х) =— 2"и! дх» Хоиечио, есть резан задаться соаресом, ле идет ли речь а воздушных замках. Во-лераих, задание скалярного лраизеедеииа с ламотио (6. 1О) лорагидает иоаую меру блиюови — норму (6.14) — и лредельиие лерехади теперь аыеодтн эа лредели пространства иеярериеиих функций. В результате лршшдится допускать к расгматреяию совершение иаеие об»виты — так называемые функции из Ьэ, — которые дотыыю иелриаычиы и требуют ариелечеиия нестандартных инструментов (интегрирование ло Лебегу). Во-вторил, ислальзуемие артогаиальиие системы долхгиы быть полни— а тем смысле, что любую функцию мах«но представить а аиде (6.1),— дгл проверни чего ну»кем инструмент.
Поставленные проблемы удовлетворительно решаются, но уже в рамках другой дисциплины — функционального анализа. В то же время «инструментальная» часть ортогональных рядов существенна лля классического анализа. Поэтому затронутая тематика исторически застряла на полпути. В своей основе она излагается в рамках «классики», но при этом обходятся стороной некоторые острые углы. Пространство Ьэ[о,Ь[ — это пространство функций у(х), для которых существует интеграл от у (х), и скалярное произведение определяется по формуле (6. 1О). К необходимости такого определения однозначно подталкивает все, что сказано по поводу ортогонвльных разложений. В то же время, если подразумевается обыкновенное интегрирование, то данное определение Вэ внутренне противоречиво, поскольку фунввментальные по норме (6.13) последовательности могут сходиться к неинтегрируемым по Риману функциям.
То есть — к функция и, норма которых не определена из-за невозможности интегрирования. Ситуация в свое время была не из легких. Выход из положения нашел Лебег, разработавший более общую теорию интегрирования. Интегралы Лебега и Римана совпадают, если оба существуют. Причем интеграл Лебега — кроме «спокойствия души» вЂ” ничего не дает, и в части вычислений о нем можно даже не упоминать.
Принципиальную важность имеет сама возможность интегрирования по Лебегу. Это сводит концы с концами. Примерно как иррациональные числа. В приближенных вычислениях они не используются, но, заделывая бреши, превращают вещественную прямую в нормальное игровое поде.
з) Умножение р» нв подзолвтне множители, чтобы выполнялось условие (6.13). 4) ) Популярны также ортогонвльные на [-1, 1) воланами ц«бите«а Т„(х) = со» в агссоз х, но звм в основе лежит иначе определяемое скалярное пронзвеаенне. Глава 6. Функциональные ряды 136 Интеграл Лебега в стандартных курсах анализа, если и упоминается, то вскользь, а его теория 1 не излагается. длл ненрерывной на (а, Ь) функции 7(х) и любого е > О всегда монсно указать такой валином Р„(х), что !У(х) Рч(хИ < е дла любого х ч (а, Ь).
(6.17) Аналогичное утверждение имеет место для функций из уз с заменой неравенства (6.17) на 117(х) — Рч(хЩ < е, где ноРма опРеделиетса Равенством (6.13). Поэтому система (1, х, хз,...) — полна в уз, равно как и любая ее ортогонализация, сохраняющая возможность разложения (6,! ) с любыми коэффициентами. Зто сразу устанавливает полноту полиномиальных систем (Лежандра, Чебышева и др.).
Остается заметить, что «история» почти дословно повторяется для тригонометрических полиномов, что гарантирует полноту систем, лежащих в основе рядов Фурье. Упражнение Коэффициенты с„, обеспечивающие минимум ь и з ~Дх) — Ч ~сьев(х)~ дх -ь ппп, « (6.18) определяются формулой (6.14). Онтимальность коэффициентов с„с точки зрения (6.18) гыюс нолното системы (1р»(х)) — зто как раз та комбинация, которая позволяет гарантировать, что разлохсение (6.1) сходится именно к 7(х), еою с« считаются но формулам (6.14).
77одразумевается, конечно, сходимость в среднем, т. е. но норме Хз. 6.4. Ряды Фурье Рядами Фурье называют различные вариации разложения функций по ортогональным тригонометрическим системам 6), например, по (6.16), т. е. (1, сов пх, 8(п пх) (п = 1, 2,...). 51 Совпадающая по своему «философскому» значению с теорией делекиндовмх сечений веществениык чисел. 1 Только по синусам, только по косинусам и др.
Рядами Фурье называют также разяожеиия вообще по ортогональным системам. Полнота ортогональных систем — это тоже проблема функционального анализа — и пытаясь расставить все точки над 1, можно увязнуть на другой территории. Но в общих чертах здесь многое понятно. Решающую роль играют аппроксимационные теоремы Вейерштрасса. Одна такая теорема 3,7.2 уже упоминалась: 6.4.
Ряды Фурье у(х) = — + ~ (а„созпх+ Ь„з(ппх) ( — гг < х < гг), (6.19) 2 и=1 где 1 Г 1 Г а„= — / у(х) созпхг(х, Ь„= — / у(х) яп охах. Разложение (6.19) можно представить в эквивалентной форме У(х) = ~ Ап яп (пх + бп) в=о при очевидном пересчете коэффициентов. Упражнения Проверить справедливость рвало:кения: !. а=2~ (-1)ем (-гг<х<а'). и я=! г 2. х = — +4~(-1)" г (-а <х<х). З, пг Представление (6.19) легко переносится (с помогдыо замены переменных) на функции, заданные на произвольном отрезке. Например, в случае (-1,1] СЮ ее / пхх нях г 7(х) = — + ~ ~о„соз — + Ь„мп — ), (6.20) где 1 г пггг 1 Г , няг о„= — ( у(1) соз — гм', Ь„= — ( у(1) мп — гй'. 1/ 1 ' " 1/ 1 (6.21) Частичная сумма !! Яе(х) = — + С(еь созйх+Ье Япйх) 2 ь=! сходится к у(х) — но только в среднем, т.
е. по норме 6г. Нормализация и подсчет коэффициентов разложения по формуле (6.14) в этом случае приводят к представлению Глава 6. Функциональные ряды 138 Другие вопросы тоже лепсо решаются в Ьг. Причина понятна. Идеолопш, формулы подсчета коэффициентов — все проистекает из Ьз. Никто, тем не менее, не запрещает интересоваться, как обстоят дела в случае непрерывных либо кусочнонепрерывных функций. Туг, конечно, приходится городить новый огород, потому что хозяйство прибыло из Бз, а его насильно акклиматизируют в других условиях.
Все меняется с первой строчки. Знак равенства в (6.19) трансформируется в «», потому что теперь не ясно, куда ряд сходится. Потом, конечно, выясняется, что — «более-менее, куда надо», но с оговорками. Чтобы в точке я ряд сходился к у(х) — накладывается, например, условие Дини: сходимость интеграла Е при некотором е > О. В местах разрывов ряд сходится к полусумме значений функции слева и справа. А разрывов не удается избе:кать дюкс в «непрерывном случае» по той причине, что ряд, если уж сходится на [-(, Ц, то в силу собственной периодичности он сходится на всей оси — к функции, периодически продолженной с [-1, Ц на (-оо, со).
Периодическое же продолжение у(х) обязательно порождает разрывм, если /( — Ц ф /(Ц. Поэтому на краях промежутка [-1, Ц сходимость «специфическая», Зато, если /(-Ц = у(Ц, то среднее арифметическое частичных сумм Яь(я) + Я~(х) + ... + Я„(х) н + 1 сходится равномерно к у(х) на всей оси (теорема фейера).
Затем возникает проблема равномерной сходнмости в обычном смысле. Затем — изучается характер убывания коэффициентов. Потом — особенности. Далее — почленное интегрирование и дифференцирование. Теория начинает занимать тома, но это имеет свои плюсы. Здесь, моисею быть, имеет смысл приоткрыть завесу над прикладной значимостью математики. Неписанный этикет, который циники называют мошенничеспшом, иредиисывает напоминать о вахсности любой теоремы, большой или маленькой, правильной или неправилыит". Дт открытия финансирования это действительно валено — но в том нет никакой беды, ибо так устроен мир.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
