Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4. Рассмотрим еше один пример, где важен не результат, а метод. Площадь круга радиуса Л можно представлять как сумму плошадей тонких колец радиуса т 3. Длина дупг. На рис. 5.3 газ обозначает длину дуги кривой у = /(х) между точками А и В. Из прямоугольного треугольника АВС 103 5.1. Определения и общая картина (рис. 5.4) и толщины Ьг. Плошадь кольца (слоя) в первом приближении, очевидно, равна 2ягЬг. Это определяет дифференциал плошали круга ИЯ = 2яг бг лри разбиении иа кольцевые слои, что позволяет вычислить площадь круга я Ял = / 2яг бг = я21~. о Такого рода способы широко распространены при вычислении различных характеристик геометрических тел. Теория площадей, например, строится на базе покрытия плоских фигур мелкими квадратиками с последующим предельным переходом. Метод хорош своей универсальностью, но в конкретных случаях существуют более экономные приемы, использующие специфику задачи.
При известной формуле длины окружности разбиение круга на квадратики выглядело бы издевательством. 1п4 1и 3 1п2 Рмс. 6.4 Рис. В.б 5. В русле предыдущего примера определим плошадь поверхности вращенияз1 при вращении кривой у = у(х) вокруг оси х. Малый элемент длины дуги Ив вращается вокруг оси х на расстоянии у = /(х). Поэтому плошадь, описываемая элементом Ив при полном обороте, равна ИЯ = 2яу Ив = 2яут/7+ р" дх, что после интегрирования в тех нли иных пределах дает желаемый «криволинейный» результат. Вращение полуокружности, например, порождает сферу, площадь которой можно вычислитыю найденному рецепту: х' Я = 2я ~ у~/~ + р" бх = 2я / ~/Я' — х' 1+ — г(х = 4лЛ .
Яз — х' -я -я б. Формула Стирании. Сумма 1и и! = 1п 1+... + 1п и равна сумме плошадей заштрихованных прямоугольников (рис. 5.5), и может быть приближенно 1 Мы стараемся делать ввл, что все предельно вросго, но здесь есть подводные камни, см. епаралокс Шварца». Глава 5. Интегрирование заменена площадью под кривой 1и х.
Поэтому й Я й гп~ 1и и! / !п х Лх = (х 1п х — х)~ !и ~ — ~ (,е ~ 1 т. е. и! (пг'е)". Прибавление площадей выступающих над кривой 1и х треугольников приводит к более точному результату и! = за( — ) . Упрамиеиия 1. Зная площадь сферы, найти объем шара. Показать /Ц(*)+ (*))Лх /7(х)Лхх/д(х)Лх 3. / а~(х)Лх= а / у(х)Лх.
з. /'у(х) лх = - /'у(х) л*. й ь ь ь 6. / йу(х) Лх= й / у(х)Лх. й й ь ь ь 7. /[у(х) хд(х)) Лх = / у(х) Лхх / д(х) Лх. й й й ь с ь 8. / 7(х) Лх = / Г(х) Лх+ / У(х) Лх. й й с ь 9 / ь(х) Лх > О, если т(х) > О. а 5.2. Уточнения и формальности Слабое звено предыдущего раздела — использование понятия площади, которое не было строго определено. С другой стороны, упоминание плошади адресовалось лишь к визуальному чутью 5.2. Уточнения и формальности 105 Рис. 6.6 и никак не затронуло данные определения.
Тем не менее, есть одна принципиальная особенность, которая требует оговорок. Данное выше определение 5.1.4 нестандартно. Стандартное определение опирается на другую схему. Промежуток [а,Ь] разбивается на и отрезков [х;,х;+1] длины Ьх;, где хе = а, х„= Ь (рис.5.6). На каждом 1-м отрезке выбирается произвольная точка (;, и рассматривается сумма а = ~ у(~;)Ьх;.
6.2.1. Эквивалентное 6.1.4 определение. Предел суммы о при стремлении к нулю максимальной длины Ьх; называется определен- ь ным интегралом т(х) от а до Ь и обозначается ~(х) бх. в Из определения 5.2.1 сразу вытекает свойство аддитивности: Уточнения требует существование предела, а также его независимость от характера стремления гьх; к нулю и от выбора точек (;.
С этой целью на каждом промежутке [х;, х;+1] берутся точная нижняя тп; и точная верхняя М; границы т(х), и вводятся 1ОЕ Глава б. Ингегрированив в рассмотрение две суммы Дарбу (нижняя и верхняя) и-! в= у гп;Ьх!, Я= ,'! М!Ьх!. !=О В силу в«т < Я (поскольку и! < у (г!) <М ) очевиден следующий результат. 5.2.2. Для существования определенною интеграла необходимо и до- статочно Я вЂ” в -+ О. Таким образом ответственность определения 5.2.1 за существование предела перекладывается на плечи сумм Дарбу. В непрерывном случае такое «провисание» доводится до логического конца: ь $.2.3. Если функция ~(х) непрерывна на !а, Ц, то интеграл ! (х) дх существует.
Здесь выстреливает теорема 2.7.6 Кантора, гарантирующая равномерную непрерывность 7(х). Это означает, что по любому е > О можно указать такое б > О, что Ьх! < б =ь М; — т! < е, откуда и†! (М; — т!)Ьх! < е ~~, Ьх! = е(6 — а), з=о с=в что дает Я вЂ” в -+ О. Понятно, что в случае кусочной непрерывности у(х) (конечного числа разрывов) результат 5.2.3 остается в силе, поскольку + + +...+ где с; — точки разрыва. Если теперь рассмотреть интеграл ф(х) = У(6) а а 5.3. Теоремы о среднем 107 как функцию верхнего предела, то ЬФ = Ф(х+ Ьх) — Ф(х) = у(1) а1 = Д()Ьх+ о(Ьх), что приводит к Ф'(х) = 7(х) (т.
е. Ф вЂ” первообразная) и устанавливает в конечном итоге эквивалентность определений 5.1.4 и 5.2.1. Отметим наконец, что в случае существования интеграла ь 7(х) дх в указанном выше смысле функция у(х) называется о етнегрируемой ио Риману, а сам интеграл — интегралом Римана. 6.3. Теоремы о среднем При манипулировании определенными интегралами нередко требуются оценки в виде неравенств. Вот очень простой, но часто используемый факт. 6.3.1. Теорема о среднем.
Если гп < Дх) < М на [а, Ц, то < При опоре на определение 5.1.4 доказательство сводится к ссылке на теорему о среднем Лагранжа 3.6.3. Если исходить из определения 5.2.1, то доказательство также элементарно. 6.3.2. Пусть на [а, б] функция у(х) знаколостоянна и гп<Дх) <М. Тогда Ь ь У(х)р(х) 4х = и р(х) 4х нри некотором р Е [тп, М].
(>) 1()В Глава 5. Интегрирование 5.4. Приемы интегрирования Техника интегрирования опирается на знание простейших интегралов и некоторые специальные приемы. Кое-что уже упоминалось в разделе 5.! в качестве упражнений. Далее рассматриваются некоторые стандартные способы интегрирования. 5.4.1. Линейная замена переменном. Если Р(х) — нервообразная функции ((х), то При некотором навыке надобность в запоминании таких правил отпадает, ибо нх проше выводить но мере надобности, чем «носить с соболю Формула проверяется обыкновенным дифференцированием: 1 -Р(ох+ 6)1 = ((ох+6).
о Вот несколько примеров ее применения. Напомним, что лля неопределенного интеграла мы ограничиваемся записью одной первообразной. ах ° / — = 1п(в+ о(, ,/ х+а йх 1 Г ах 1 1 = — агсга —, ГГ аз.г-ог оз,/ 1+(х!о) о о 1 ° / а!пахах = — — совах, й 2 ° /(Зх — 5) вх = — (Зх — 5) . б 5.4.2. Общая замена переменной. Если Е(х) — первообразнал функции ((х), то Другой вариант записи того зкв факта; Это «вывернутое наизнанку» правило дифференцирования сложной функции. Но если «прямой вариант» при дифференци- 109 5.4. Приемы интегрирования ровании работает автоматически, то здесь требуется изобретательность.
Каждый раз при интегрировании гг(х) дх вопрос упирается в подбор представления Цх) = ~(у(х))у (х) с легко интегрируемой функцией у(), что находится в сфере изобретательской деятельности. Приведем несколько иллюстрируюших примеров. ,1 1+я«2,/ 1+х' г" М Здесь можно произвести замену х' = и взпь интеграл | —, и потом вернуться к переменной х, получив Ф(х) = (1/2) асс!а х . Разумеется, промежуточную переменную можно «держать в голове», не записывая. Совсем простая ситуация; $1п хсозхах= $!в хоз!ох = — $!и х.
5 6 Конечно, в приведенных примерах замена переменной «сама напрашивается». Везет не всегда. Не так легко, например, додуматься, что проблему взятия Г ох интеграла / решает замена ! = з/! + я~+ х. Возведение 1-х = Л +хтт з/1 + хт в квадрат дает »! — 1 1 +! 1~+1 х = —, ь/!+х~ = —, «)х = — ~й, 21 21 2Р откуда = / — = !в Щ = !в ) згг! + хз + х) Их Г о1 Л+Р-/ !в 6.4.3. Интегрирование по частям. Коротко: Опять «выворачивание наизнанку», но уже правила дифференцирования произведения. Если учесть гЬ(х) = о'(х) егх и гзи(х) = и'(х) $$х, то дифференцирование и гЬ = ио — и Ни приводит к обычной формуле дифференцирования произведения.
Глава б. Интегрирование 110 Примерм 1. ~ 1пхг!х=х1пх — ~ хг!1пх=х!пх — ( г!х=х1пх — х. 2. ( хсоахг!х= / хг!а!па=х«1пх — / а!пхг!х=хяпх+соах. / а — х — а г г г 3. / т/аг — хг ох = хна~ — х' — ~ г!х = г/ат — х' г = х~/а~ — хг — / тга' — хгг!и+ а /г ./ г/ат — х откуда х г — — а', х т/аг — хг г!х = — г/а' — х' + — асса!и —. 2 2 а Рядовой стиль манипулирования при взатии интегралов примерно таков.' г!(х(2) (' соа (х/2) г!(х/2) яп (х/2) соа (х(2),/ яп (х/2) соа'(х/2) /' г!га(х(2) / х~ = / — ~ — — — г) г!х = — (!п !х - о! — 1п )х + о!) = 1 Г 1 1 г 1 ,/ 2о~х — о х+о/ 2о 1й /' пх 5.5.
Дифференциальные уравнения Теория дифференциальных уравнений начинается с рассмотрения простейших ситуаций, в которых решение задачи получается обык- новенным интегрированием. Например, — = У(!) ~ х(!) = х(0) + /(т) тгт, Ж О Круг задач в области интегрирования различных функций довольно широк. Но все они имеют к матанализу весьма отдаленное отношение в том смысле, что мало связаны с пониманием существа интегрирования. Скорее, это упражнения в сфере «ловкости манипулирования» — так же, как, скажем, избавление от иррациональности в знаменателе, которое к природе иррациональных чисел никакого отношения не имеет.
5.5. Дифференциальные уравнения х 1 т(х Г с(д à — = г(1 =р — = Ж. Ь(х) / Ь(.)-/ г1х — = Ь(х) с(1 е(0) о В том и другом случае видно, что помимо интегрирования надо задать х в начальный момент (если 1 время). Во втором случае особенно важно взять интеграл (чтобы довести дело до конца). Если, например, Р(д) — первообразная функции 1/Ь(д), то в итоге получается Р(х(1)) — Р(х(0)) = 1, что неявно задает решение х(1). Можно действовать также несколько иначе, используя в приведенных выкладках неопределенные интегралы (вместо определенных).
Тогда после интегрирования получаются формулы с константами С, значения которых можно определять из начальных условий. Остываиие чайника описывается уравнением т = Ьт — т), где с > 0 — козффипиеит, характеризующий теплоотдачу, т(1) — температура в момент времени 1, Тв — температура среды. Действуя по второй схеме, получаем '1 т т« что дает (с учетом Т > Тв ) 1п(т(1) — Тв)/ =бг ~ Т(1) =Те+(Т(0) — Тв)ет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
