Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 24
Текст из файла (страница 24)
7.7 153 7.5. Оператор Гамильтона 2. Уравнение нтялояротгдности. Вывод уравнения тенлонроводности в данном контексте сам яо себе не нредстовляет особого интереса. Речь о другом — об адэквотности языка. На фоне координатных методов нзлонсения урматов и векторный стиль ассониируется со вздохом облегчения яри нереходе от азбуки Морзе к обыкновенной речи.
Пусть Т(т,1) обозначает температуру тела в точке г в момент времени 1, с — теплоемкость, р(г) — плотность. Допустим, элемент объема «Пг массой р(г) дУ за время й нагревается дТ на — й градусов. Для этого необходимо количество тепла дг дТ й'„г = сргнг — й. д2 Интегрирование по произвольному объему T дает количество тепла ВТ г',г= / срдК вЂ” й, дС идугпее на нагревание ю~ этого объема. Если теперь через о(г, г) обозначить удельный поток тепла в точке г в момент 1, тогда то же самое количество тепла Я можно посчитать другим способом: Я = — 1о бЯй = — / д1чддрй. В результате ~(сйд +дгчй) б('=О, г что, в силу произвольности У, приводит к дТ сй — + бн о = О.
д1 При естественном предположении о = -й ВгадТ получается стандартное уравнение теплопроводности дТ ср — — йч(йагадТ) = О. И 7.5. Оператор Гамильтона Онералюром Гамильтона называют дифференциальный оператор «набла» д .д д «г =1 — +1 — +гг —, дх ду дл' з) Урмятамн называют «уравнения математической фкзнкнк ю) ~ Возможно, со знаком минус. Глава 7.
Элементы векторного анализе 154 представляющий собой довольно удобный инструмент. При записи дифференциальных операций с ним можно манипулировать как с вектором. Градиент ~р, например, получается «умножением» вектора т7 на скаляр <р: д<р д<р т7Уз =! — +3 — + й —. дх ду дх' Дивергенция оказывается равной «скалярному произведению» век- торов т7н а: да, да„да, т7. а = — + — + —. дх ду дх Удобства на этом не заканчиваются. Оператор з7 позволяет компактно записывать н другие дифференциальные операции— например, го1а = з7 х а (см.
след. раздел), — что наталкивает на мысль о поиске определенного единства дифференциальных операций векторного анализа. Здесь в самом деле обнаруживается некая общая идеология, но она лежит в стороне от избранной линии изложения. Отметим еще, что под скалярным произведением» ° у подразумевают дифференциальный олераяюр Лая«оса, д2 дз д2 сз = ту~ = — + — + —, д з дрз дазь представляющий собой последовательное взятие от скалярной функции р гради- ента, а потом — дивертенции: д'ьз бы агаве = — + — + —.
дх' дуз да'' 7.6. Циркуляция Криволинейный интеграл у йх вдоль кривой Ь ничем не отлича- Ь ется от обыкновенного определенного интеграла ь | 7'(х) ах, « где у = 7'(х) описывает кривую Х (рис. 7.8 а). Некоторые отличия возникают, когда Ь не описывается однозначной функцией 7.6. Циркуляция а) Рие. 7.В у = у(х), но и тогда сохраняются обходные пути н). Кроме того, всегда можно воспользоваться стандартным методом. Кривая Х, подразделяется на малые участки длины здх; и предел суммы ,'у уу(хть у;) гзх; при бесконечном измельчении разбиения полагается равным интегралу гр(х, у) дх.
ь Контурный интеграл у бх равен площади Я, которую огра- с ничивает С (рис.7.8б). Действительно, интегрирование у по С сводится к интегрированию грг(х) от а до Ь, что дает площадь под графиком у = грг(х), плюс интеграл грз(х) от Ь до а, что дает минус-ндощадь под графиком у = уз(х). Если контур С находится не в плоскости Оху, а в пространстве Охух, то при взятии того же самого интеграла у Их — поскольку с от х ничего не зависит — контур С надо спроектировать в плоскость Оху, и далее, как в предыдущем случае, интегрировать у по проекции контура С,. Получится удх = Я„ с О Сосгоигдие, наиример, в нокусочном интегрировании на участках, где зависимость р от а однозначна. 1бб Глава 7.
Элементы векторного анализа где Яз — площадь, ограниченная С,. Вместо Яз может получиться также — Я„если учитывается ориентация. Упрвлшеиие длл любой интегрируемой функции 7(х) у(х) г(х = О. с Рассмотрим теперь общий случай криволинейного интеграла а(г) гзг = (а, Нх+ ау дд+ а, Их), (7.5) значение которого называют 'циркуляцией поля а(г) по контуру С. Если а = йгад(р, то интеграл (7.5) по любому замкнутому контуру равен нулю г~). действительно, гагр = 'чггр с(г, поэтому вдоль любой кривой Ь, соединяющей точки а и Ь, что в случае замкнутого контура (а = Ь) дает нуль.
Аналогом теоремы Гаусса — Остроградского при вычислении интеграла (7.5) служит нгеорема Стокса: (7.6) где го( а = т(7 х а, т. е. В плоском случае, когда а(г) не зависит от л, например а(г) = (Р(г)Д(г), О), формула Стокса (7.6) переходит в формулу ог Это имеет место лишь в случае, когда потемциал и однозначен.
Длл многозначного потенциала, например Чг = агси ((((х), — это не так. 7.6. Циркуляция 157 Грина (7.7) Ролгор еще называют вихрем. Он характеризует плотность завихрения векторного поля. В случае потенциального поля (поля градиента) го( ягас()р = О, что сразу следует из символического представления 'з) Ч х (17)р) (либо из теоремы Стокса). Несложное вычисление ротора поля скоростей (7.4) вращающегося тела, и 60+гехт приводит к показательному результату: го! 6 = 2!с, который свидетельствует о связи ротора с вращением. < Вместо формулы 17 х а для определения ротора можно использовать различные предельные переходы. Например, ~а йт гога а = !пп с з-о Я (7.8) где контур С, ограничивающий плошадь Я, стягивается в точку, при этом вектор плошади д стремится по величине к нулю, а по направлению к 7).
При таком определении ротора теорема Стокса становится очевидной, а связь с предыдущим определением ротора легко устанавливается примерно так. Если двя простоты предположить, что С стягивается в нуль, то, в силу да, да, да, а,(т) = а,(0) + — х + — зу+ — за+ о()(т)!), дх др дз где производные берутся в нуле, имеем да, Г да, Г да, Г а, )зх = а,(0) ~ )Гх + — * ус) х )Гх + — * ~) р )Гх + — * уа) з )Гх + ~ о())т)!) )гх, д* У др,г д. ,7 с с с с с с )3) Векторное произведение ~вравлельных векторов всегда равно нулю.
158 Глава 7. Элементы векторного анализа что после учета (см. начало раздела) Их = ~ х Их = О, ~ р Их = -Я„)з г Их = Я„ с с Я, = Ясов(й,л), Я„= Ясов(7з,р) приводит к 1 г" да, дю, — ~ а, Нх = — — сов(7г, х) + — соз(7з, р) + о(.). ЯУ * др ' дк с Аналогичные выкладки по другим координатам и предельный переход в итоге (7.8).
Глава 8 От числа к функциональному пространству 8.1. Вещественные числа Иррациональные числа иногда кажутся ненужной роскошью. Дробей, казалось бы, достаточно. Десяток-другой знаков после запятой — куда больше? Но вещественные числа нужны совсем ие для вычислений. Плотная числовая прямая необходима как фундамент математического анализа, чтобы «сходяшнмся последовательностям» было к чему сходиться. Чтобы имели смысл такие пределы, как производные, интегралы, суммы рядов, длины, площади, объемы, элементарные функции.
Иначе все рухнет. Определения н доказательства каждый раз будут упираться в логическую несостоятельность. «Общественное мнение» тут, правда, особо не упорствует. Дескать, вещественные — так вещественные, тем более в школе их все равно уже ввели. Однако школьного «упоминания» о бесконечных десятичных дробях недостаточно. Бесконечная дробь — зто развертывающийся процесс. Чем он заканчивается и заканчивается ли— в этом, собственно, и состоит вопрос.
Аккуратное построение теории вещественных чисел опирается на дедекиндовы сечения. Рациональные числа с арифметическими операциями далее предполагаются известными. 8.1.1. Определение. Непустое множество А рациональных чисел назовем сечением Дедекиида и обозначим г1(А) при выполнении двух условий: 1. Если а б А, Д < а и гб — рациональное число, то г1 б А. 2. о А иет наибольшего числа.
Обратим внимание на «корявость» терминологии типичную для некоторых математических ситуация. Называть сечением мно:кесгво, мягко говоря, неестественно. Однако проблема — в том, что мы хотим определить журавля в небе, имея в руках только синицу. Если бы речь игла, например, об А, состоящем из рациональных я < 3, то на раль сечения годилось бы число 3. Однако в случае «иг < 2» указать сечением зг'2 пока нет возмо:кности, поскольку игра начинается 160 Глава 8. Ог числа к функциональному пространству а отсутствие иррациональных чисел.
Поэтому в роли сечении оказыааетси само множество А, что рехсет слух, зато напоминает о стартовых условиях. Подготавливая почву для сечений стать числами, надо определить для них понятия больше, меньше, равенства, суммы и т.д. Это делается совсем легко и немного скучно. Например, неравенству д(А) < д(В) приходится сопоставить!1 строгое включение: А С В, но А ~ В. Сумме й(А) + А(В) — сечение множества А+ В, состоящего из рациональных чисел а + )з, где а Е А, )з Е В. Чтобы такие определения имели смысл, надо проверить стандартные условия, которым они обязаны удовлетворять.
Скажем, отношение неравенства должно быть транзитивно: В данном случае это обеспечивается транзитивностью строгого включения для множеств: АСВ, ВСС =ь АСС. Так же легко проверяются обычные свойства сложения для сечений. И так далее. Короче, все это рутинная работа, которая заканчивается определением на сечениях обычных числовых операций. После этого термин «сечение» приравнивается термину «вещественное число .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
