Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Главная потеря была в следуюшем. Непрерывная функция на ограниченной замкнутой области Х в и" достигает своего максимума и минимума. Это очень важное свойство для оптимизации. Именно поэтому в ж" зааача определения шах т(я) тех 174 Глава 8. От числа к функциональному пространству никогда не упирается в проблему существования решения. В бесконечномерных задачах — это серьезная головная боль. Например, вариационная задача Ньютона минимизации функционала ! Г хая р(О) = О, д(1) = 1 о для поиска тела вращения с наименьшим сопротивлением газовому потоку не имеет решения, поскольку Г > О, но Х„-+ 0 для рв(х) х+ з!и пЗгх. Еще одно принципиальное отличие.

В гг" сферу невозмо!кно непрерывной деформацией стянуть по себе в точку, что служит основой лля результатов о разрешимости уравнений. В бесконечномерном пространстве такой фокус возможен. Рассмотрим, например, сферу в С[0, 1), состоящую нз непрерывных функций г (х), таких что щах (Г(хЯ = 1.

ее[0,!1 Деформацию проведем в три шага. На первом — деформируем Г(х) в 11 Д2х) лля х б [О, -], '2~ Г!(х) = Г(1) для х б [-, 1], при этом функция на рис.8.3а переходит в функцию на рис. 8.3б с помощью деформации 11 Г(тх) для х б [О, -], Й(т,х) = Г(1) для х б [-,1] при изменении т от 1 до 2. Рис. В.З. Деформация бесконечномерной сферы 175 8.6. Функциональные пространства На втором шаге все 7,(х) деформируются в функции /т(х).

1)график У~(х) совпадает с графиком 7,(х) на [О, 1/2[, а правые концы плавно поднимаются до верхнего «потолка» так, чтобы т2(1) =! (наклонный пунктир на рис83б). Теперь (последний шаг) все функции Гг(х) стягиваются по сфере в любую точку /е(х), если ге(1) = 1. Деформацией может служить Н(х, Л) =Л/е(х)+(1 — Л) у,(х), Л Е [О, ![. функциональный анализ. Выдвижение на передний план понятия функционального пространства сместило акценты и дало толчок анализу в новом направлении. Такого сорта поворотные моменты в развитии научных дисциплин для поверхностного взгляда совсем незаметны, поскольку речь идет о прежних задачах, разве что под несколько иным углом зрения. Первое время кажется, что в этой метаморфозе больше минусов, чем плюсов.

Но мало-помалу преимущества накапливаются, и возникает эволюционный скачок. Неожиданно выясняется, что построен дворец. Роль функциональных пространств подобна роли действительных чисел, которые сами по себе никому не нужны в таком количестве, но они преображают и оживляют математику. Не о бесконечной точности вычислений идет речь. Действительные числа необходимм вовсе не лля вычислений. Их главная роль в придании эаконности предельным переходам, что обеспечивает дифференцирование, интегрирование и т. п.

Изучение функциональных последовательностей приводит к радикально другой ситуации. Вьисняется, что расширять игровое поле для функций можно в разных направлениях. Возникают сотни вариантов. У каждого свои плюсы и минусы. И хотя глаза разбегаются, широта ассортимента в данном случае играет положительную роль, поскольку стандартный сценарий оказания помощи опирается именно на эту широту. В сомнительных ситуациях беда, как правило, заключается в том, что задача неправильно поставлена. Функциональный анализ указывает пространство, в котором надо рассматривать задачу, и все становится на свои места. Вариационное исчисление, например, совсем недавно пользовалось наивными методами поиска «подозрительных» функций.

Проблема существования решения не поддавалась изучению — отсутствовал инструмент и координатная сетка мышления. Функциональный анализ дал понимание того, как нужно правильно ставить такие задачи, в каких пространствах рассматривать... Теория целиком преобразилась. 178 Глава 8.

От числа к функциональному пространству Однако на довольно широком классе задач идеология соответствия не работала. Мутила воду в основном так называемая б-функция, которая содержательно соответствовала плотности точечного источника (чего-нибудь), но никак не поддавалась математически разумному определению. Выход из положения был найден нестандартный, но естественный с позиций теории функциональных пространств. Обобщенные функции были определены как линейные функционалы на некотором заданном пространстве Ю «хороших функций». В частности, б-функция при этом оказалась функционалом, действующим по правилу б(х)(с(х) дх = аг(0) для любой функции цз б ьг.

Кто-то может заметить, что все зто отдает схоластикой и наукообразием, поскольку обычное представление о б-функции, как о пределе колоколообразных приближений (рис. 8.4), приводит к тому же результату. Конечно, никакого разумного предела б,(х) при е -» О— нет, но сам по себе он и не нужен, потому что речь, как правило, идет о решении какого-нибудь уравнения Ьи(х) = б(х), (8.12) где Ь вЂ” дифференциальный оператор.

Если в правой части (8.12) б(х) заменить на б,(х) и через и,(х) обозначить соответствующее решение, то в довольно свободных пред- положениях и,(х) -» и'(х) при е -» О, (8.13) что, собственно, и требуется. При атом нет никакой беды, что б,(х) не сходится. — е Е Рме. 8.4 С тем, что сказано, надо согласиться. Но зто та самая наивная точка зрения, связанная с поиском кривых «подозрительных на решение». Вопросы существования, устойчивости и многое другое остается за кадром.

Работа ведется наощупь. Обобщенные функции. Особого упоминания заслуживают обобщенные функции. До какого-то момента развитие понятий проходило в рамках представления о функции, как о чем-то, имеющем график. С некоторой натяжкой, конечно.

Непрерывные, потом измеримые, или суммируемые с какой-то степенью... не везде однозначно определенные... Но так или иначе б(х) означало, что почти везде аргументу х ставится в соответствие 8.7. Теорема Жордана и парадокс Брауэра 177 В каком смысле и'(х) является решением (8.! 2) и является ли? Не упускаются ли из виду другие решения? Иными словами, решение может оказаться угаданным, но тут-то и выясняется, что необходимо гораздо больше — понимание ситуации, которого как раз не дают «доморошенные» методы. Можно добавить еше один аргумент. Зачем тратить время на обоснование предельного перехода (8.13) в каждой отдельной задаче? Почему бы не сделать это один раз для всех задач сразу? Но о такой малости на фоне сказанного выше едва ли стоит говорить всерьез.

8.7. Теорема Жордаиа и парадокс Брауэра Математическая формализация, как «шагреневая кожа», в большинстве случаев дает не то, чего от нее ждут. Под непрерывной функцией обычно подразумевают функцию, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Поначалу кажется, что в, б-язык переводит это представление в эквивалентную форму. Но это совсем не так. В рамки определения попадает гораздо больше функций, чем хотелось бы.

Нанример, функция О, если х рационально, Г(х) = х, если х иррационально непрерывна в нуле, хотя график ее «бесконечно дыряв». А график везде непрерывной функции р = х з1в(1/х) невозможно нарисовать. Но это, как говорится, цветочки. Непрерывный образ отрезка [0,1[ может иметь бесконечную длину и покрывать весь квадрат (кривые Пеона), Становится ясно, что необходимы меры предосторожности.

Одна из таких мер — сужение поля зрения до гомеоморфизмов, каковыми называют взаимно однозначные и ненрерывные в обе стороны отобрюкения. Иногда зто щюизводит должный эффект. 8.7.1. Теорема Жордана. Томеоморфный образ окружности делит плоскость на две части (на две связные компоненты) и является их общей границей. Это знаменитый результат из области очевидных на вид утверждений, которые очень трудно доказываются.

Поначалу кажется, что теорема ломится в открытую дверь. Приведенные выше примеры несколько рассеивают такое впечатление, но далеко не полностью. Украшает ситуацию следующий парадокс Брауэра. Собственно, никакого парадокса тут нет, но это по сути. Интуитивно же пример выглядит фантастично. 178 Глава 8. От числа к функциональному пространству Зададимся следующим вопросом: могут ли на плоскосши сто областей иметь общую границу? Не общую точку или участок— а одну и ту же границу. Похоже на бред, но ответ — положительный. Еше более удивительно, что ситуация нескольких областей с общей границей встречается не только в фантазиях, но и на практике. Итерационная процедура хь — 1 2 222 ь 2 Зхь (8.14) на комплексной плоскости вычисляет корень кубический из единицы, каковых имеется три: -1+12/3 -1- $2/З (8.15) и есть, соответственно, три области притяжения А, В, С. Процесс (8.!4) сходится к одному из корней (8.15) в зависимости от того, какой области принадлежит хе.

Характеристики

Список файлов книги