Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Характерный пример дает функциональное пространство Ьз(а, Ц, представляющее собой пространство функций Г(х), для которых существует интеграл от у~(х), а скалярное произведение определяется по формуле (6.10), т. е. ь (у, е) = у(х)у(х) дх. а Понятно, что интегрирования по Риману в этом случае уже не достаточно, ибо фундаментальные по соответствующей норме последовательности могут сходиться к неинтегрируемым по Риману функциям. Лебег разработал общую теорию интегрирования, которая обеспечила выход из положения.
Интегрировать по Лебегу уметь не надо. Напомним, что уже говорилось по этому поводу в гл. б. Интегралы Лебега и Римана совпадают, если оба существуют. Поэтому интегрирование простых функций ничем не отличается от обычного, а при интегрировании сложных — до вычислений дело не доходит.
Принципиальную важность имеет сама возможность интегрирования по Лебегу. Это сводит концы с концами. Примерно как иррациональные числа. В приближенных вычислениях они не используются, но, заделывая бреши, превращают вещественную прямую в нормальное игровое поле. Интеграл Лебега, в отличие от интеграла Римана, строится несколько иначе. Точки х группируются по признаку близости значений интегрируемой функции ~. Обыграть это можно различным образом. Например, так. Сначала рассматриваются лросглме функции у(х), принимающие не более чем счетное число значений уо уз °" уи ..., и для них интеграл опрелеляется как где А„= (х Е А, у(х) = у„). Затем функцию у(х) называют иимегрируемой ло Лебегу на множестве А, если существует равномерно сходящаяся к у(х) по- А ие по признаку их блиюсти иа оси х. 170 Глава 8.
От числа к функциональному пространству следовательность интегрируемых на А простых функций уя(х). Предел числовой последовательности / А(х) ди в этом случае называют интегралом Лебсга. Разумеется, корректность определения (сугцествование предела и его независимость от выбора последовательности Г„) дол:кна быть установлена. Этим, наряду с массой других вопросов (признаки интегрируемости, предельные переходы под знаком интеграла и т. п.), занимается теория интеграла дебета.
8.5. Аксиома выбора У абстрактного мышления не так много опорных точек. Аксиома выбора (АВ) — одна из них '0). 8.5.1. Аксиома выбора. Влюбом семействе Ф непустыхмножеств в каждом множестве Х Е Ф можно выбрать по одному элементу. Другими словами, существует функция выбора Г, ставящая в соответствие каждому Х Е Ф элемент у (х) Б Х.
До Цермело аксиома 8.5.1 широко использовалась в математических рассуждениях как самоочевидный факт, но будучи явно сформулирована, вызвала ожесточенную критику. Принципиальное отличие АВ от других аксиом заключается в разительном контрасте между ее естественностью и «невероятностью» следствий. Вот, пожалуй, самый яркий пример.
8.5.2. Парадокс Баиаха — Тарского. Шар В в Лз допускает разби- ение на конечное число множеств (8.5) В,,...,В,, при котором из (8.5) можно составить передвижением В, как твердых тел (перенос плюс поворот), шар вдвое большего радиуса (или вдвое меньшего, или дюжину шаров такого же радиуса). Выглядит, конечно, шокирующе, но ничего страшного в утверждении 8.5.2 нет. По крайней мере, зто факт из того же разряда, что и соответствие у = 2х между [О, 1] и [О, 2). Функция у = 2х показывает, куда передвинуть точки х Е [О, 1), чтобы из отрезка [О, 1) получился отрезок [О, 2). У Банаха с Тарским зто, разуме- юг Нижеследующие три раздела представляют собой компиляцию фрагментов из книги: Басс В.
Интуиция и математика. Мз Айрис-Пресс, 2003, 8.5. Аксиома выбора 171 ется, гениально обыграно, однако источник тот же — мощность множества не зависит от размеров. Разумаиая лииейиая фуикяяя — еше олин фокус аксиомы выбора. Линейная функция уг(х) обычно определяется характеристическим свойством Р(х + У) = Р(х) + Р(Р) (8.6) при дополнительном требовании непрерывности. Решением функционального уравнения (8.6) оказывается линейная функция уг(х) = йх. Действительно, из (8.6) следует Р(рх) = рх(х) для любого целого р.
Поэтому что получается в результате замены л = Рх. Это дает Р(- ) = -Р(х) /РЛ Р Ч Ч откуда т.е. 1р(х) = йх обязано выполняться для всех рациональных х, где й = 1р(1). Окончательный вывод о неизбежности х(х) = йх делается на основе предположения о непрерывности х. Возможность иного решения в отсутствие непрермвности кажется маловероятной. Однако аксиома выбора позволяет указать бесконечное число таких решений, говорить о которых удобнее, опираясь на понятие базиса Гамеля.
Напомним, что базисом называется любая совокупность линейно независимых векторов (е„..., е„,...), через которые однозначно выражается любой вектор х рассматриваемого пространства х=~~ х,е,. (8.7) 1 При этом х, называют координатами вектора х. В конечномерном пространстве процедура построения базиса элементарна. Берется любая система В линейно независимых векторов (это может быть, в том числе, один вектор) и к ней добавляется любой вектор, который линейно не выражается через В.
На каком-то шаге процесс заканчивается — иначе возникает противоречие с конечномерностью. При наличии аксиомы выбора такая процедура может быть реализована и в бесконечномерном случае. Получаемые таким образом базисы называются базисами Гамаля. Дополнительное разнообразие ситуаций определяется возможностью вводить ограничения на допустимые координаты.
Требовать, скажем, их рациональности. В последнем случае действительная прямая становится бесконечномерным векторным пространством из-за рациональной несоизмеримости многих чисел. Например, 3 и зг'2 линейно независимы, поскольку Л13+ Лзъг2 = 0 невозможно при рациональных Л,. 172 Глава 8. От числа к функциональному пространству Возвращаясь теперь к решению функционального уравнения (8.6), возьмем любой базис Гамеля на действительной прямой, выберем некоторый базисный вектор ея, например, ея = з/5 или ез = я, или люке е„= 1, и положим 1з(х) = йх„, что даст функцию, удовлетворяющую (8.6).
В результате, конечно, мы имеем не синицу в руках, а журавля в небе. Функция р(х) существует, но даже не поддается вычислению, за исключением избранных точек. Тем не менее этого оказывается иногда достаточно. для рациональных с, что как раз достаточно для наших целей. Необходимый результат вытекает из неравенства Р(куба) ~ Р(тетраэдра), поскольку Р(куба) = уз( — ) ~~ 1," = О, (8.10) Р(тетраэдра) = р(В) ~~ 1г = ~ !г ~ О. (8.!1) Причина заключается в следующем. При разрезании куба или тетраэдра на меньшие многогранники и суммировании псевдовесов этих меньших многогранников, вычисленных по формуле (8.9), получается тот же самый псевдовес Значения р(Л) дяя других углов Л мы не можем знать из-за произвола достройки базиса, но зги значения нам и не нужны. Решение третьей щюадхыы Гилммрта.
Равновеликие многоугольники рав- носоставлены, т.е. один из них можно разрезать на меньшие многоугольники и сложить другой. Равносоставлены ли равновеликие многогранники? В этом вопросе заключалась третья проблема Гильберта, которую отрицательно решил М. Дзн в 1900 г.
Таким образом, оказалось, что при переходе от Гя~ к Я' ситуация принципиально меняется. Сложное и запуганное доказательство Дэна — того, что куб и тетраэдр не равносоставлены — усилиями математиков было превращено в изягцную миниатюру. Вот современный вариант. Введем понятие нсевдоиеса многогранника М, Р(М) = '> 1, р(Л,), (8.9) Э где суммирование идет по всем ребрам длины гм Л; — двугранный угол при з-м ребре, а х — функция вида (8.8). Точнее говоря, пусть  — двугранный угол при ребре правильного тетраэдра. Достроим множество (В, и) до базиса Гамеля (легко проверяется, что я и В несоизмеримы), и положим р(Л) = Л,, т.е. х(Л) равно В-й координате в разложении числа Л по базису.
Вычислять значения 5е(Л) мы можем лишь в двух ситуациях п1 х(сВ) = с и х(ся) = 0 173 8.8. Функциональные пространства исходного многогранника. Это происходит потому, что суммирование по всем новым ребрам (появившимся в результате разрезания) дает нуль. Дело в том, что если некоторое 1 лежит внутри М и служит ребром (или частью ребра) новых многогранников, то 1(р(Л,) +... + р(Л,)) = 1уг(Л, +... + Л,) = 1р(2я) = О, если:ке 1 лежит на грани М, то опять получается нуль 1(гр(Л~) +...
+ р(Л,)) =1уг(Л~ +... + Л,) =1)г(я) = О. Наконец, если 1 совпадает с ребром исходного многогранника, то Л, +... + Л, равно я/2 в случае куба, и д в случае тетраздра. Таким образом, псевдовес не зависит от способа разрезания и может просто вычисляться по формулам (8.!0), (8.11). Аксиома выбора, безусловно, не является инструментом, имеюшим утилитарное значение дяя инженера, но зто существенный фактор обшематематической культуры. 8.6. Функциональные пространства Разложение функций в бесконечные ряды естественно привело к мысли о бесконечномерной природе функций.
В основу легла аналогия с конечномерным случаем х = хге1 + ... + х„е„, где хг — координаты, е; — базисные векторы. У функционального ряда ~(Х) = 01Р1(Х)+". + СяРя(Х)+" величины с; были приняты за координаты, а функции (рг(х)— за базисные векторы. Наивное соображение в конечном итоге привело к созданию функционального анализа. В процессе, как водится, выяснилось, что начинать можно совсем с другого конца, задавая, например, не базис, а метрику. Но так или иначе в обиход изучения функций был введен геометрический стиль мышления. Плоскости, шары, конусы — такие понятия стали эффективно применяться при манипуляциях с множествами функций. В отличие от перехода от лхз к Л" (и > 3), функциональный «шаг в бесконечность» был сопряжен со значительными потерями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
