Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда размышления устремляются в другое русло. В чем причина? Почему добавление к колебанию фиктивной мнимой части сразу все упрощает? Почему, чтобы найти радиус сходимости ряда ав+а~х+агх +" г для вещественного х, надо изучать поведение ряда в комплексной плоскости (причем иначе — невозможно)? Откуда у вспомогательного инструмента такая колоссальная мощь и проникающая способность? Вот в чем источник подозрения, что какая-то космическая тайна стоит за кадром. Сегодня на все эти вопросы есть простые и ясные ответы, которые начали созревать и оформляться относительно недавно — в девятнадцатом веке. До этого в суждениях о комплексных числах даже таких великих математиков, как Лейбниц и Эйлер, преобладали эмоции.
И очень трудно сказать, чего им не хватало, ибо сегодняшние ответы в общих чертах они бы могли сформулировать и тогда. 192 Глава 10. Аналитические функции Разница едва ли не идентичных формулировок была бы в наполненности несколько иным содержанием, в других акцентах, в другом понимании тех же самых слов. Последние двести лет дали массу интересных примеров, породили серию других «нереальных» инструментов. Кроме того, вымерли многие несостоятельные идеи.
Все это вместе взятое наполнило старые формы новым содержанием. Тем не менее подводная часть айсберга остается невидимой. Кто скажет, в чем глубина и смысл понятия абстрактного числа? Говорить вроде бы не о чем. Но рождение заняло несколько тысячелетий. Первый слой понимания сути комплексных чисел внешне достаточно прост.
Введение операций сложения и умножения для натурального ряда инициирует цепную реакцию. Обратные операции — вычитание и деление — влекут за собой необходимость появления отрицательных чисел, потом дробей. Аналогичная ситуация возникает в связи с извлечением корней, что приводит к появлению мнимой единицы, а потом — с учетом сложения и умножения — комплексных чисел. Иными словами, на целых положительных числах вводятся арифметические операции, после чего натуральный ряд расширяется до максимального игрового поля. Такое поле дают комплексные числа. Процесс расширения однозначен, и дальше пути, кстати, нет '). На следующем витке спирали возникает вопрос о широком распространении комплексных чисел.
Почему они неожиданно всплывают то там, то здесь? Ответ прост. Потому что вся математика стоит на арифметических операциях, для которых комплексные числа — неизбежный финал расширения натурального ряда. Поэтому игра идет на одном поле. Конечно, зто лишь плоское изобрюкение многомерной картины. Можно изучать, например, теорию чисел, а можно отправиться в свободный полет, пытаясь понять, что же изучается в теории чисел. Числа или операпии нал ними? Что изучает механика? Силы и ускорения или правила их взаимодействия? Вряд ли Господь занимается измерением скоростей, а природа, скорее всего, не пользуется и Например, кватернионм (трехмерные числа) рассматривают иногда как обобщение КЧ, но зто вопрос словоупотребления.
Умножение кватернионов некоммугативно (еа ЗЬ аа), и потеря тех или иных свойств «арифметических оперений» неизбежна при любом расширении поля комплексных чисел. 10.2. Диффереицируемость законами Ньютона. Но уж если сами модели имеют вспомогательный характер, то почему бы им в промежуточных вычислениях не опираться на фиктивные символы? Именно это и происходит, когда операции (действия) выдвигаются на первый план. Глаголы можно изучать, не обращая внимания на существительные. Вот показательный эпизод из истории теоремы Ферма' !.
Лама и, независимо, Куммер в середине девятнадцатого века предложили «доказательства», опирающиеся на манипуляции с (и — 1)-мерными числами вида а» + а~( + ... + а..зс" ', (10.1) где аь — целые числа, а 2в ,, 2я ь=соа +гзгп —. и и Беда была в том (чего поначалу не заметили авторы), что числа (10.1) не разлагались единственным образом, подобно числам натурального ряда, на простые множители (неразложимые далее). Такой прокол по тем временам перечеркивал все доказательство. Куммер сделал гениальный ход, который прославил его на долгие годы. Он дополнил множество (10.1) фиктивными числами.
Единственность разложения на простые множители была восстановлена, доказательство заработало! Хотя заработало и не на полную мощность — фикция привнесла свои трудности— идея эксплуатации вымысла получила еше один импульс. И теперь на такие идеи опираются многие разделы современной алгебры. По существу, Куммер предпринял очень естественный шаг. Доказательство, как правило, это серия трюков с буквенными формулами. Письменная эквилибристика становится законной, если опирается на какую-то систему, пусть фиктивную — но только непротиворечивую. Еще одно требование — стыковка со »ходом и выходом.
Фикция должна включать систему описания исходных данных и систему описания ожидаемых результатов. Больше ничего не нужно. Если задача поставлена правильно, ответ будет «каким надо». Опробование таких моделей значительно обостряет понимание комплексных чисел. Понимание роли, места, корней, внутренних пружин. Конечно, это все эмоции, но от них в математике очень многое зависит. 10.2. Дифференцируемооть Функцией комплексного переменного л = х + зу можно было бы считать любую функцию вида ~(д) = и(х,у) + зп(х, у), но тогда никакой интересной теории, выходящей за рамки изучения отображений на плоскости, ~: В2 — у Я2, не получилось бы. 1 Речь идет о неразрешимости уравнения л»+ у» = з» в целых числах при и > 3.
В конце двадцатого века после трехсот лет безуспешных попыток теорема доказана Э. Уайлсом. Глава 10. Аналитические функции 194 Теорию аналитических функций, или ТФКП з), из обыкновенной рутины выделяет особое понятие дифференцируемости, которая определяется как представимость приращения функции в виде Ь~(х) = ~(х+ Ьх) — ~(х) = Адэх+ о(~Ьх)), (10.2) где А — комплексное число, зависящее от точки г, которое называют производной Г(е) в точке х, и обозначают )г(е), либо ф/дх. Из-за совпадения формы может показаться, что ничего особенного в таком определении нет, но зто только на первый взгляд. Если' бы речь шла, например, просто об отображении плоскости, то определение дифференцируемости у совпадало бы по записи с (10.2), но А было бы матрицей, дх др до до дх дд (10.3) Мы же хотим, чтобы А было комплексным числом 4).
Это очень сильно ограничивает класс рассматриваемых функций. Таким образом, определение производной внешне выглядит обыкновенно, У( + ~ ) — У(х) Сэл-эб э5х (10.4) но требует дополнительно независимости предела (10.4) от пути стремления Ье к нулю. Это приводит к необходимости выполнения для ~ = и + Ы условий Коши — Римана; (10.5) что устанавливается совсем просто. ээ ТФКП вЂ” теория функций комплексной переменной.
я Другими словами, побы действие матрицы Л на Ья было эквивалентно умножению на комплексное число (растяжение плюс поворот). 195 10.3. Элементарные свойства В случае )зх = гзх + зО и гхх — ) 0 — вычисление предела (10.4) дает Г(х + Ьх) — 1(х) п(х + ьзх, у) — и(х, у) + Ьх сьх ,»(х+гзх,у) — »(х,у) дп д» +3 — +* — =~(), гхх дх дх в случае с)х = О+ Ыу н ьзу — ) 0 тот ие предел (10.4) оказывается равным у(х + гхх) — у(х) п(х, у + ь)у) — п(х, у) + Ьх зду ,»(х,у+)зу) — »(х,у) д» дн +з — — -з — =у(х) (ду ду ду Оба варианта обязаны совпадать, что и дает (10.5).
10.2.1. Необходимые условия Коши — Римана (10.5) в случае непрерывности частных производных функций и, » в некоторой области Р достаточны для дифференцируемости ~ в Р. требование непрерывности частных производных в подобного рода ситуациях стандартно. доказательство элементарно, см. 4,52. 10.2.2. Определение.
Функции, дифференцируемые в некоторой об- ласти Р, называются аналитическими в Р. Тавтология терминов на данном этапе может показаться странной. Зачем для дифференцируемой функции выдумывать еще одно имя? Но тут есть исключительное оправдание. Оказывается, аналитические функции обладают совершенно неозкиданныи свойством. Дело заключается в следующем. Обыкновенный анализ приучает к мысли, что функция может быть дифференцируема либо один раз, либо два, либо и раз. Аналитическая функция, дифференцируемал по определению всего один раз в области Р, оказывается (что будет показано позже) бесконечно дифференцируемой 5) в Р.
10.3. Элементарные свойства Охи и ахи по поводу аналитических функций, конечно, должны быть подкреплены свидетельством их разнообразия. Не говоря о том, что неплохо было бы убедиться, что существует хоть одна аналитическая функция помимо константы. 3) То есть у нее существуют в П производные любого порядка. 196 Глава 10. Аналитические функции Примеры 1.
Функция у(а) = х" при любом натуральном и дифференцируема, ее производная у'(а) = нх" ' легко вычисляется в лоб: ( +и )«« =на" '+(...)Ьл -+ па" ', гза независимость от характера стремления Ьа к нулю очевидна. 2. Сумма и произведение аналитических в Р функций 7,(а) и уз(х)— аналитичны в Р. Функция У,(а)Я(л) аналитична в Р всюду, где гз(л) ~ О. Композиция аналитических функций, у(у(х)), аналитична.
(м) 3. Функция у(а), представимая сходящимся в некотором круге (~х! < Л) рядом у(а) = ~ ~а„х", «=0 аналитична при (л( < и. (М) 4. Если функция у(х) аналитична в Р и у'х) Ф О, то существует обратная к 7(а) функция у(х), аналитичная в у(Р). При этом 7'(л) = 1/р'(и), тле и = 1(х) (и) 5. Положим е* = е*(соз р + ( Ип р) = е«мт. На действительной оси функция совпадает с е*. Условия Коши — Римана легко проверяются. (М) Это может служить пока формальным определением комплексной экспоненты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
