Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ф и тй Г У(ш) йи. 2)гз г' (ш л)Я+! С (10.12) Перенос дифференцирования под знак интеграла здесь лепсо обосновывается, поскольку дифференцирование под интегралом саму функцию У вообще не затрагивает. 10.6. Регулярность 10.6.1. Теорема. Если функция Г(л) аналитична в некоторой ок- рестности Ит точки а, то она представила рядом Тэйлора, а(я) (а) ,Г(л) = у(а)+ Г'(л)(л — а)+... +, (л — а)" + ..., (10.13) в любом шаре ~л — а ! < г, принадлежащем этой окрестности.
Ситуация кардинально отличается от той, которая имела место в случае функций действительной переменной. Там ряд Тэйлора мог сходиться вообще к другой функции (см. раза. 3.7). Для доказательства возьмем максимальное г, при котором контур С, принадлежит И', и рассмотрим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 1 х — а (х — а)" + +...+ „, +..., (10.14) ю х ю а (ю а)2 ''' (ю а)».ь! ) Из непрерывной функции делает лифференцируеыую.
В результате выявляется уникальная вещь. Аналитическая функция оказывается бесконечно дифференцируемой сама по себе, без каких бы то ни было дополнительных требований. Интеграл Коши дает наиболее простой ключ к пониманию этого факта. Функция Г(х) в силу (!0.10) определяется интегрированием самое себя, а поскольку интеграл обладает улучшающими свойствами 1, то У(х) 7) обязана быть лучше, чем того можно ожидать.
Выход из положения один — быть «бесконечно хорошей». 204 Глава 1О. Аналитические функции где гл Е С„, а х лежит внутри С„и потому знаменатель прогрессии (х -а)/(ы — а) по модулю меньше единицы. В результате ряд (10.14) на С, сходится равно- мерно. Умногкая (10.14) на У(ы) и интегрируя по С„с учетом (10.12) получа- ем (10.13). Казалось бы, еше один перехлест в нагромождении терминов. Дифференцируемость в окрестности х, аналитичность и регулярность — просто совпадают. Но это в ТФКП.
В анализе на действительной прямой зто совершенно различные понятия. Кроме того, в самой ТФКП за каждым понятием стоят свои собственные особые признаки, что удобно для расстановки акцентов. Упоминание регулярности функции, например, подчеркивает ее разложимость в рял Тэйлора. 10.7. Аналитическое продолжение Благодаря теореме 1О.б.! степенные ряды в ТФКП играют роль универсального инструмента.
Но при этом есть свои трудности. Например, функция 1/(1 — л) представляется степенным рядом 1 г — =1+я+я +... 1 — х (10.15) который сходится лишь при ф < 1 (круг А на рис. 10.4). В то же время функция 1/(1 — х) аналитична везде за исключением х = !. Поэтому ее можно разлохппь в ряд в любой точке а ~ !. Получится другой ряд Тэйлора, который будет сходиться в лругом круге В (рис.
10.4). В каком соотношении находятся эги рялы и сама функция 1/(1 — х)? За кадром здесь просматривается очевидная идея. Если на области А (речь идет уже не обязательно о кругах) задана аналитическая функция А(х), на  — Уг(х) и на пересечении А П В значения функций совпадают, то было бы хорошо Ях) считать продолжением А(х) на более широкую область (равно как н А(х) — продолжением тг(х)). Чтобы такой трюк бмл законным, не хватает «малости» вЂ” гарантий единственности Рнс. 10.4 продолжения. 10.7.1.
Теорема единственности. Пусть функции у(д) и д(д) апа- литичны в области Р, и их значения совпадают в различных точках а„Е Р, причем а„-+ и Е Р при п -+ оо. Тогда у (д) = д(л) в Р. Доказательство. Очевилно, аналитическая в В функция Л(х) = У(х) — д(х) в точках а„обрашается в нуль, а потому и Л(а) = О, в силу а„-+ а и непрерыв- 10.6.2. Определение. Функция у(д), представимая рядом (10.13), сходящимся в некоторой окрестности точки д, называется регулярной в д. 205 10.7. Аналитическое продолжение ности Ь.
Поэтому в разложении Ь(з) = се+с,(г — о) + сг(л — о)'+... коэффициент св — — О. Следовательно, Ь(л) = (л — о)Ь,(л). Но тогда Ь(ав) = 0 =Ь Ь,(вв) = О. (10.16) Из доказательства легко усмотреть, что аналитичность влечет за собой изолиуоваииость иулей»1. Но главный вывод заключается, если мо:кно так сказать, в «голографическом устройстве» аналитических функций. Целое отрюкается в любом маленьком фрагменте. Задание функции иа кусочке дуги олуеделяет все остальное.
Поэтому функции е*, япх, 1пх на действительной прямой автоматически порождают соответствующие функции в комплексной плоскости. Вопрос лишь в том, как их найти. Когда выдвигаются какие-нибудь дополнительные требования, проблема может оказаться сложной, но принципиально она всегда разрешима. Разложение в степенные ряды позволяет гарантированно расширить область определения аналитической функции до максимальных размеров. Иногда это реализуется совсем просто.
Скажем, в ситуациях в »» 2»+! е* = ~ —,, япх = ~~ (-1)в и! (2п + 1)! в которых ряды имеют неограниченный радиус сходимости, достаточно поменять действительное х на комплексное з — и аналитические функции е' и и!ил готовы. В случае логарифма, 1пх=Е(-1)" ' „ ,(х — 1)в и в=! проблема сложнее.
Конечно, х здесь можно заменить на л, но это даст лишь ряд Тэйлора, сходящийся в круге единичного радиуса, тогда как логарифм определен в гораздо более широком диапазоне~~. Надежный выход из положения заключается в расширении области определения пошаговым переходом к другим рядам по цепочкам пересекающихся крутов, как на рис. 10.5. Зто обязательно в> Имеется в виду функция, не равная тождественно нулю.
91 Логарифм определен везае за исключением действительной полуоси (-со, О). Говорят: иа комплексной плоскости с разреюм по (-ю, 0). Снова, по непрерывности, Ь,(о) = О, что означает с, = О. И так далее. Все коэффициенты в разложении Ь оказываются нулевыми. Поэтому Ь(л) ш 0 в круге сходимости ряда (10.16), т. е. Г(г) ш р(л). Окончательный вывод о тожде«гвенности нулю Ь(л) в 22 вытекает из возможности попасть в любую точку гв б 22 по цепочке пересекающихся кругов (рис.
10.5), в кюкдом из которых Ь Ь(з) разлагается в свой ряа Тэйлора и повторяется предыдущее рассуждение (для некоторой новой последовательности ов из предыдущего круга, где уже Ь(з) ш 0). Рмо. 10.5 206 Глава 1О. Аналитические функции приведет к успеху, но только «идеологическому», Логарифм везде, где возможно, будет определен и даже вычислим, но единой формулы это не даст. Простая формула !их «« /— 1 получается совсем из других соображений.
Но это уже вопрос удачи, а не систе- матического подхода. В сказанном ва:кно обратить внимание на следующий аспект.лабая аиалитическая функция мелеет быть арададгивиа до функции, аяредедеияай иа макгимадьиа вазмалеиай об«асти. Для я!в д — это вся плоскость, для д/(д — 1)— плоскость с выколотой точкой д = 1. Но так или иначе появляется возможность вообще не упоминать область определения, считая /(д) определенной везде, где возможно.
Это еще одна удивительная особенность ТФКП. Область алргдглеиия задается самой функцией. 10.8. Многозначные функции Функции, аналитичные на всей комплексной плоскости, называются целыми, и с ними меньше всего хлопот. Любое их разложение в ряд Тэйлора сходится при любом д. Там же, где необходимо прыгать по «ступенькам разложений» (по цепочкам кругов, рис. 10.5), — при этом еще говорят а продолжении функции вдаль того иди диого лути — может возникать проблема многозначности, связанная с тем, ~я! что продолжение по различным путям дает разные результаты ' ~!.
Такая ситуация вполне типична. Самые обьиенные функции — Я, !их — многозначны, и это заставляет разрабатывать инструменты для борьбы с неудобствами. Один из таких инструментов — римаиавы лаверхиасти. Главная идея здесь заключается в способе рассмотрения многозначной функции как однозначной на подходящей поверхности. Такая идея работоспособна не только в ТФКП. Скажем, окружность х' + у' = 1 на плоскости представляет из себя вполне добропорядочный объект.
Разделение переменных на аргумент и функцию порождает многозначность у = х~/! — х', избавиться от которой можно было бы, рассматривая у как функцию не отрезка ( — 1, 1), а дуги окружности. Либо окружность можно было бы сплюснуть на ) — 1, 1) и считать отрезок (-1, 1) состоящим из двух слоев. Значение у = т/! — х' тогда сопоставлялось бы верхнему слою, у = -~/à — х~ — нижнему. Сплющенные графики аналитических функций, собственно, и являются римановыми поверхностями. Характер разрезов и склеивания листов определяется конкретными особенностями изучаемой функции. ю! Например, ялоль дуги, ведущей из а в Ь на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
