Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

1ОЗ. Центры кругов лежат на дуге. 11) В этом случае в контуре, образуемом разными путями, обязательно им«езся особая точка. 207 10.9. Об остальном 10.9. Об остальном РЗЩЬ$ ЛОРЗИО. Использование в ТФКП рядов Тэйлора в качестве стандартного инструмента удобно, но не обязательно. Использование других рядов имеет свои плюсы и минусы. Широкое распространение при изучении аналитических функций получили, например, ряды Лорана »! »! »! 1(х) = ~ с»(х а) = ~' сн(х !з)" + 'чг! -" (1О 17) «=-! , (х — а)" Первое слагаемое справа в (10.17) представляет собой обыкновенный степенной ряд, сходящийся в некото- В, ром круге радиуса В,. Второе слагаемое после замены тв = 1/(х — а) тоже превращается в обыкновенный сте- пенной ряд, который сходится в плоскости ю в круге радиуса В,, а в плоскости х — вне круга радиуса !/Вз.

Поэтому областью сходимости (10.17) является кольцо (рис. 10.6), что и служит причиной популярности рядов Лорана. Чтобы накрыть изолированную особую точку требуется бесконечно много «кругов Тэйлора» либо одно РИС. 10.6 «кольцо Лорана». Несложные выкладки показывают, что коэффициенты в (10.17) могут быль определены при любом и по единой формуле 1 ~ /(х) с„= —, бх, 2я! / (х а)«ы с где С вЂ” произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце 1/В! < !х — а~ < В! и охватывающий точку а.

1/В, ВЫЧЕТЫ. Коэффициент 1 Г нт, /( )б 2!п / с в разложении (10.17) называется вычетом и обозначается гез (/, а) . ОСОбЫО ТОЧКИ. Точку х = а называют изолированной особой точкой функции /(х), если /(х) аналитична и однозначна в некотором кольце 0 < ~х - а( < В, а в самой точке а недифференцируема. Если дифференцируемость в а восстанавливается при до- либо переопределении значения функции в этой точке, то а называют устрвниивй особой точкой. В том случае, когда разложение Лорана /(х) в а содержит й слагаемых с отрицательными степенями (х — а), точку а называют полюсом Ь-го нарядив. В полюсе конечного порядка модуль /(х) всегда уходит в бесконечность при х -! а.

Наконец, а называют существенно особой точкой, если разложение Лорана /(х) в а содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями (х — а). В существенно особой точке функция ведет себя беспорядочно, принимая в окрестности а все мыслимые значения с любой наперед заданной точностью (пример: еп*).

Перечисленное не исчерпывает классификацию особых точек. Наибольшие осложнения связаны с особенностями многозначных функций. 208 Глава 1О. Аналитические функции 10.9.1. Пусть функиил 1(л) однозночно и онолитично ни замкнутом контуре С и внутри него, зо исключением конечного число точек а„..., аь.

Тогда у(л) Ил = 2к( [гез (у, о, ) +... + гев (у, иь)1. (10.18) с Аддитивность контурного интеграла сводит ~ к сумме контурных с интегралов по маленьким окружностям с центрами в особых точках. Это и дает (10.18). Естественно, возникают ассоциации с теоремой об алгебраическом числе нулей из предыдущей главы. Обозначения м — обозначает начало рассуждения, темы, доказательства. ~ — обозначает конец рассуждения, темы, доказательства. (1~) — предлагает проверить или доказать утверждение в качестве упражнения, либо довести рассуждение до «логической точки».

А =~  — из А следует В х Е Х вЂ” х принадлежит Х Х 0 У, Х П У, Х ~ У вЂ” объединение, пересечение и разность множеств Х и У, для разности Х и У иногда употребляется эквивалентное обозначение Х вЂ” У Й вЂ” замыкание области Й Л~ — плоскость, Вз — трехмерное, Л" — и-мерное пространство г' — мнимая единица, гп = — 1 л = х+ гр — комплексное число, л = г(соз1а+ га1пу) — его тригонометрическая запись х = (хи..., х„) — вектор, х; — его координаты ху, х х р — соответственно, скалярное и векторное произведение векторов х и у — для скалярного произведения используется также эквивалентное обозначение (х, д) иу(х) — производная (скорость изменения по х) функции ~(х) 4х в точке х, эквивалентное обозначение: ~'(х) для производной по времени вместо х'($) чаще используется х, а для второй производной х 210 Обоэначения дп — — частная производная функции и по переменной х дх 17у(х) — градиент функции ~(х), т.

е. вектор который направлен по нормали к поверхности постоянного уровня функции у(х) и численно равен скорости максг1- мального роста у(х) в точке х. Лредметный указатель Абсолютно сходящийся ряд 37 аксиома выбора 170 аналитическая функция 195 аналитическое продолжение 204 Бесконечно большая величина 22 — малая величина 22 бесконечный предел 22 бесконечный ряд 35 Бином Ньютона 11 Векторное поле 179 — произведение 144 верхний предел 29 вогнутость 57 вращение векторного поля 179 выпуклость 56, 57 Гармоническая функция 197 гармоническое колебание 139 гессиан 94 гиперплоскость 81 гомотопический мост 181 гомотопные отображения 181 градиент 78 граничные условия 60 Двойной предел 71 двусторонняя поверхность 144 детерминант 83 дивергенция 150 дифференциал 49 дифференциальное уравнение 47, 59, 110 дифференцирование 41 — оператора 88 длина дуги 102 Евклидово пространство 66 Замкнутое множество 18 Измеримая функция 168 интеграл 99 — двойной 121 — кратный 124 — Лебега 135, 169 — неопределенный 99 — несобственный 113 — определенный 1О1 — Римана 107 — Фурье 140 интегральная формула Коши 202 интегрирование 99 — по частям 109 интервал 18 инфинум 160 тьанторово множество 163 касательная плоскость 78 квадрируемая область 121 ковер Серпинского 164 коллинеарные векторы 68 компактность 30 комплексное число 14 континуум 162 контрпример Шварца 165 контурный интеграл 155 конус 87 конформное преобразование 197 Предметный указатель криволинейный интеграл 154 критерий Коши 24 критическая точка 93 Лагранжиан 96 лемма Больцано — Вейерштрасса 28 — Гейне — Бореля 29 — о вложенных отрезках 25 линейно зависимые векторы 68 линейный оператор 81 логарифм 16 Мажорируюший ряд 36 матрица 82 — вырожденная 83 — единичная 82 — обратная 82 — транспонированная 82 — Якоби 88 мера Лебега 167 метрика 84 множества 17 множитель Лагранжа 97 монотонная функция 57 монотонность 56 монотонный оператор 87 Начальные условия 60 невырожденная деформация 181 неподвижная точка 86 непрерывная функция 33, 70 неравенство Иенсена 58 неявная функция 92, 190 нижний предел 29 норма вектора 66, 84 — матрицы 85 — подчиненная 85 нормаль 144 Обратимость отображения 189 обратная функция 90 однородные функции 76 односторонние производные 43 оператор Гамильтона 153 — Лапласа 154 — «набла» 153 оптимизация 92 орт 142 ортогональный базис 134 открытое множество 18 отрезок 18 Парадокс Банаха — Тарского 170 — Брауэра 177 первообразная 99 перестановки 9 — с повторениями 10 площадь кривой 121 повторный предел 71 показательная функция 16 полипом Бернштейна 56 полиномы Лежандра 135 полный дифференциал 75 полуупорядоченность 87 полярные координаты 14 последовательность Коши 24 правило Лопиталя 61 предел 20 — функции 30, 69 предельная точка 18 признак Даламбера 37 — Коши 37 принцип максимума модуля 197 — сжимающих отображений 86 производная 41 — обратной функции 45 — сложной функции 45 — Фреше 88 Предметный указатель производные высших порядков 44 промежуток 18 Равенство Парсеваля 134 равномерная непрерывность 35, 71 — сходимость интегралов 119 — — ряда 129 радиус сходимости 132 размерность 68 размещения 9 расходящаяся последовательность 22 регулярная функция 204 ротор 157 ряд функциональный 129 — Фурье 136 Сегмент 18 сечение Дедекинда 159 сжимающее отображение 86 система координат правая/левая 143 скалярное произведение функций 133 согласованная норма 86 сопряженное число 14 сочетания 9 спектр 139 спектральная норма 85 степенной ряд 131 столбцовая норма 85 строчная норма 85 сумма Дарбу 106 супремум 160 сходимосзь 20 Циркуляция 156 Теорема Безу 12 — Бопьцано — Коши 34 Брауэра 184 Вейерштрасса 34, 56 Виета 11, 13 Гаусса †Остроградско 151 Дарбу 54 Жордана 177 Кантора 35 Коши 53 Лагранжа 52, 79 о трех собачках 22 Римана 39 Ролля 52 Стокса 156 Штольца 27 Условия Коши — Римана 194 условный экстремум 96 Формула Муавра 15 — Стирлинга 103 — Эйлера 55, 76 фрактал 165 фундаментальная последовательность 24 Частичная сумма 129 частная производная 74 частота 139 — круговая 139 число е 26 числовая последовательность 20 Эквивапентностьнорм 85 экспонента 43 экстремумы 56 е-окрестность 18 Издательство УРСС специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных занедений.

Характеристики

Список файлов книги