Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Более глубокие мотивы такого определения вскроются позже. б. Функция /(а) = )ау = х'+ р' не аналитична. Условия Коши — Римана выполняются только при х = О. Из перечисленных примеров может возникнуть впечатление, что почти все функции аналитичны. В какой-то мере это так, хотя, строго говоря, правильнее обратное: «почти все — не аналитичны». Тем не менее практика сталкивает нас в большинстве случаев с аналитическими функциями: синусы, логарифмы, дробно-рациональные выражения и т.
п. Разумеется, такие функции, чтобы говорить об их аналитичности, надо продолжить на комплексную плоскость, но об этом речь впереди. Для начала полезно ознакомиться с предметом, чтобы потом не удивляться по мелочам. Перечислим некоторые свойства аналитических функций, где понимания можно достичь малой кровью. 197 10.3. Элементарные свойства СВОйСтеа аНаЛИтИЧЕСКИХ фуНКцИй. 1.
Чем меньше окрестность точки л, тем точнее выполняется соотношение Ь/ = /'(л)гьл, которое означает, что все игл поворачиваются на один и тот же угол и растягиваются в одно и то же число раз. Растяжение и поворот определяются множителем /'(г). Поэтому малые фигуры переводятся функцией / в подобные (углы сохраняются, размеры пропорционально изменяются — разумеется, с точностью до «о малых»), Это служит основанием называть такие преобразования конформнымн. Если кривые пересекаются в плоскости л под утлом а, то их образы при отображении / пересекаются в точности под углом а без всяких «о малых». 2. Задание частных производных определяет функцию с точностью до константм.
Поэтому задание одной из функций и(х, д), е(х,р), в силу условий Коши — Римана, с точностью до константы определяет вторую. 3. В силу условий Коши — Римана ради раде = и,е, +и„е„= -и,из+и„и, = О, т. е, градненты функций и и е ортагональны в любой точке л, а значит, ортогонапьнм линии постоянного уровня'1 функций и и е. Это, в свою очередь, влечет за собой многочисленные следствия. Например, если аналитическая в области Р функция / не константа, то ее модуль 1/(ли не может принимать максимальное значение внутри Р— так называемый прннцнл максимума модуля. Вышесказанное позволяет указать причину. Чтобы 1/(л) 1~ = из + ез было максимально, требуется 2и рад и + 2е йшд е = О, что при условии йгад и .1. йшд е и и, е ф О возможно лишь в случае равенства нулю обоих градиентов.
Равенство нулю градиента в локальном максимуме дает картинку линий уровня типа изображенной на рис. 10.1. Понятно, что наложить две такие картинки центрированно друг на друга с соблюдением условия ортогонапьности линий уровня — невозможно. Поэтому максимум модуля аналитической функции, если достигается, то только на границе области.
г, сз:ээ,у Высказанные соображения обычно даже не упоминаются, поскольку дпя их превращения в строгое доказательство приходится из- Рмо. 10.! рядно повозиться с деталями. Поэтому принцип максимума предпочитают доказывать на том этапе развития теории, когда это делается легко и без натяжек. Бела лишь в том, что «легко» и «прозрачно не всегда совпадают. Легкость обоснования иногда оставляет впечатление фокуса. Поэтому наглядность даже с изъяном имеет свою цену. 4.
Лифференцируя условия Коши — Римана и исключая одну из функций и или е, легко убедиться, что обе удовлетворяют уравнению Лапласа, сьи = О, Ье = О, где нг дз 21 = — + —, ах' дрз и являются таким образом гармоническими функцняин. «1 Семейства кривых в(х, у) = С, е(з, у) = С. 198 Глава 10. Аналитические функции Кто знаком с дифференциальными уравнениями в частных производных, может сразу сделать неожиданный (для аналитических функций) вывод. Задание поведения гармонической функции на границе области полностью определяет ее значения внутри области. Для дифференциальных уравнений такая связь естественна и привычна, но для ТФКП вЂ” несколько шокируюша.
Все, чем занимается теория аналитических функций, — как выясняется — это изучение решений одного дифференциального уравнения Ьи = О. Специалисты по дифурам удивляются по этому же поводу: «Неужели теория одного дифура Ьи = О это целая ТФКП7» Упршкненне При использовании полярных координат дяя э = ге" условия Коши— Римана для функции 7(х) = и(г, р) + гэ(г, р) принимают вид ди 1 дэ 1 ди де — — — — (м) г~р др дг 10.4. Контурные интегралы Комплексный интеграл у(х) г(х вдоль кривой Ь можно рассмать ривать как предел суммы з (да)гада при стандартном измельчении разбиения, либо — пользуясь тем, что криволинейные интегралы действительных функций определены — как что получается после перемножения у = н + зп и г(х = гзх + з г(у.
10.4.1. Теорема Коши. Пусть функция у(х) аналитична в односвлзной области Р. Тогда инте1рал от Д(д) до любаму замкнутому контуру С, лежащему в Р, равен нулю. доказательство моментально дает применение к з (х) ах = ~ и ох — е г(р + г ~ и ор + е Вх с с с формулы Грина (7.7) с последуюшим учетом того, что и и е удовлетворяют условиям Коши — Римана. 199 10.4. Контурныв интегралы В условиях теоремы 10.4.1, если кривые Ь1 Е Р ь и Ьз Е Р имеют одни и те же концевые точки а, Ь, то ~'2 У(х)б = Л )бх l ь, ьь что сразу получается интегрированием по замкнутому контуру т |, Ьз (рис. 10.2). Но для этого (!) внутри контура, образованного кривыми Х1 и йз, не должно быть особых точек (в которых у(х) не диф4еренцируема). Другими словами, интеграл у(х) бх не зависит от пути интегрирования а определяется лишь начальной и конечной точками.
ь Поэтому вместо у(х) бх можно писать у(х) Их. При этом ь а очевидно свойство аддитивности: ь с ь 1ф1 Положим е(х) = у(то) бш, а где подразумевается путь интегрирования по произвольной криво, й лежащей в Р и ведущей из а в х. Легко показать, что функция Р(х) аналитична, причем р'(х) = у(х). Действительно, р(в+ ол) — Г(в) = / /(ы) Вы, откуда +е Глава 10. Аналитические функции 200 Интеграл справа стремится к нулю при г'.ьг -ь О, что и обеспечивает Р'(я) = = У(г).
Мноиество всех яервообразныл, т.е. таких функций, что О'(г) = у(г), называется неонределенным интегралом функции г(в). Очевидно, первообразные отличаются друг от друга на константу. Поэтому для любой из них ь У( ) бг = Г(Ь) - Е(а). Примеры 1. Функция л" при любом и = 1, 2,... аналитична везде. Поэтому интеграл от з" по любому замкнутому контуру равен нулю. 2. Пусть С вЂ” окру:кность радиуса В с центром в нуле. Тогда ~ — = 2я! с (10.6) Это вюкный факт.
Интеграл легко вычисляется в полярных координатах л = В(соз !ь + г з! п гр) = Веге, а так как В = сонм, то дг = В( — яп р + ь соз р) др = гВеье йр Поэтому 2» ~ — =ь/ др=2вй с ь 3. Если контур С не деформируется в точку, отличие контурного интеграла от нуля, разумеется, не обязательно. Например, интеграл по тому зке контуру, что и в предыдущем примере, дг — = 0 при целом и зй 1. л» с Для дальнейшего важно еще отметить аддигпивнослгь контурного интеграла в следующем смысле. Если контуры Сг и С2 имеют Интеграл оказывается не равным нулю, но противоречия с теоремой 10А,1 нет, поскольку функция 1/л не аналитична в нуле, и контур С нельзя стянуть в точку в Вз'10.
Именно носледнее обстоятельство является критичным для справедливости теоремы Коши. Область 21 на самом деле молсет быть какой угодно. Если контур С такое, что его мозкно стянуть (деформировать) в точку в области 22, то интеграл от /(л) яо С будет равен нулю. 201 10.5. Интеграл Коши С! 2 а) Рнс. 10.3 об ий участок Сы, после выбрасывания которого образуется конщий тур С, причем Сы проходится в противоположных направле авлениях при интегрировании по Сг и Сз, то у(г) г(д+ Д(л) ггл = у(г) г(д.
с, с, с Это не что иное как свойство слагаеммх противоположных знаков взаимно на ис. Ю.З а абсолютно прозрачна. На рис. 10.3 б изобраь е, о аниченном жен более сложнмй пример. Функция Г(а) аналитична в кольце, огран С б ой окружностью Ся. Интеграл по замкнутому контуру Смо малой „и ольшо ок С по часовой е С п отив часовой стрелки, потом по ВА, затем Ся — лю. Поэте стрелке, затем возврат в исходную точку по АВ, — равен нулю. му г(х) Ах = ~ 7(х) Аа, са с, (10л) что является следствием Г" (х) Ах + ~ Г(х) г(а = )г Г(а) Аа. с, с,„ с, 10.5.
Интеграл Коши Пусть функция у(л) аналитична внутри контура С и на самом конг(гл) туре С. Тогда " ' ', как функция пг, аналитична на С и внутри С гв — л за исключением точки пг = л. Поэтому У(гв) ( ~ У(пг) д цг — л Х пг — г С (10.8) гог Глава 1О. Аналитические функции где С„ обозначает окружность радиуса т с центром в л. Равенство (10.8) можно получить так же, как и (10.7), поскольку в обосновании (10.7) никакой роли не играло, что Сл окружность. Поскольку у(то) = у(д) + о(то — д), то у(то) йгп о(то — д) Сс Сс При г — у 0 второй интеграл справа в (10.9) обнуляется, а первое слагаемое, в силу (10.6), оказывается равным у(л).2тгь'.
В результате (10.10) что называют интегральной формулой Коши. В случае, когда С является окружностью С„, представляет интерес перейти в (10.10) к интегрированию в полярных координатах: зв = л + ге'", огв = !ге'4'И(а. В результате получается формула 1 Г 7(л) = — Г! Г(л + гесв) И1в, о нли, равносильно, 1 Г Г(х) = — / Г(за) дв, 2яг,l с, где дв — дифференциал дуги окружности С„. Выхолит, что Г(л) в точности равна среднему значению Г на акрунснастн С, с Иенюрам в л. Бесконечная диффереицируемость. Уникальность ситуации, которую улавливает интегральная формула Коши, заключается в том, что (10.10) можно продифференцировать по параметру д и получить (10.11) 203 10.6. Регулярность потом снова продифференцировать (10.11) по л, получить формулу для второй производной, уя() = — у 2 Г у(ш) л)з С и так до бесконечности, ~(")() = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
