Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ (1092155), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Получается нечто вроде «покусочного продолжения». !45 7.2. Векторное произведение анти ком мугативно, х х у = -у х ж, но справедлив дистрибутивный закон, (х+у) х и = х х и+у х и, (7.1) проверка которого требует некоторых технических усилий — зато окупается впоследствии многочисленными выгодами. Остановимся, для примера, на факте сложения вращений по правилу параллелограмма.
Это весьма неочевидно и даже неожиданно, если учесть, что трехмерные повороты не коммутируют. Тем не менее вращение в й' действительно имеет векторную природу. Стандартное кинематическое доказательство несколько громоздко. При испольюванни векторного аппарата усилие мысли почти не требуется.
Линейная скорость е конца радиус-вектора т при вращении вокруг оси, проходящей через начало координат О, с углоной скоростью ы равна е=ыхт, (7.2) где (пока формально) вектор ы направлен по оси вращения (в сторону, определяемую по «прави2ту буравчика», рис. 7.4). Очень полезная формула, кстати. Рмс.7.4. Вращение — вектор Если тело участвует в двух вращенияхч и' и ы', то линейные скорости в =ш хт и е =ы хт 2 1 2 2 складываются как векторы, и результирующая скорость оказывается равной работает дистрибутивный закон (7Л)— е =ш2 х т+ы2 х т = (ы2+ш2) х 2, е Здесь и далее мы стараемся нрииисывать верхние индексы векторам, а нижние координатам. 146 Глава 7.
Элементы векторного анализа что и дает нужный вывод. Результирующее движение происходит с векторной угловой скоростью и = и' + и . Замечание. Векторному произведению а х Ь, вообще говоря, можно было бы сопоставить не вектор, а параллелограмм, построенный на векторах а, Ь, который имеет подходящее направление обхода. Это было бы более логично, но менее продуктивно.
Наличие проблемм сразу не очевидно. Дело в том, что вектор с = а х Ь имеет принципиально другую природу, но при использовании одной и той же системы координат это никак не сказывается. Различие проявляется при переходе от левой системы к правой или наоборот. Например, при замене координат (х, р, л) на (-х, -р, -л) обычные векторы (их называют еще полярными) меняются на противоположные (а на — а). Векторы типа с = а х Ь (их называют аксиальными) — не меняются. Такого рода метаморфозы вообще характерны для векторного исчисления.
Например, дифференциальные операции над обычнмми векторами порождают вроде бы объекты той же природы, но зто поверхностное впечатление. Скорость— вектор, градиент — вектор, и разница не видна, пока исследование проводится на базе ортогонааьиых систем координат, В неортогональных системах происходит «сбой» вЂ” формулы перехода при замене переменных оказываются различны. Выявляется так называемая контраварнантноп природа скорости и коворианюнол природа градиента. Упражнения 1. В правой системе координат: 1х1=1г, ) х а=1, Ь х1=11 2.
Координаты оскгпора а х Ь равны: (а х Ь), = а„Ь, — а,Ью (а х Ь)„= а,Ь, — а,Ь„ (а х Ь)„= а, ܄— а„Ь,. 3. Формула двойного векторного произведения И: а х (Ь х с) = Ь(а с) — с(а Ь). Примеры 1. Моментом силы с относительно точки О называется вектор М=гхс. Аналогично определяется момен»в количества движения: Х = г х пзо.
и 1 Мнемоническое правило: абэпз равно бац минус паб». 147 7.3. Кинематика Дифференцируя Х, получаем Х = г х те+ г х те = г х те = г х Р = М, поскольку тб = Р и г х те = е х гпе = О. Если система состоит из жестко скрепленных между собой материальных точек, то Х = ~ г, х т,еп М = ~~~ г, х Рн Для каждой точки справедливо уравнение Х, = М,, что после суммирования по всем 1 дает (7.3) В случае вращения сисгемы вокруг некоторой фиксированной оси с перемеииой угловой скоростью ы(1) скорость каждой частицы равна е, = г,м, где г; расстояние до оси вращения, Х = ( ) тп,г<) и = лм. Сумма л = ~ пцг) — есть момент инерции системы (тела). Таким образом, (7.3) с учетом Х = .7ш приводит к уравнению вращательного двюкеиия «лы' ~М, равносильно, Яр = М~ Кинетическая энергия с помощью момента инерции записывается так: гп е' 2 2 Получается, что момент инерции для вращательного движении служит аиалогом массы (при использовании обобщенной координаты р).
2. Рассмотрим двюкеиие планеты вокруг Солнца. Поскольку сила притяжения Р центральная, тосе момеит действия иа планету М = г х Р равен нулю, и, как следствие, Х=М=О ~ Х=сопзь С другой стороиы, если за время от радиус-вектор заметает площадь оЯ, то гпг' И1л оо Х = г х пзе = тпг х (и х г) = тгзы = = 2т —, ое ет ' что доказывает второй закон Кеплера: Я = сопи.
7.3. Кинематика Прежде всего отметим легко доказываемые формулы дифференцирования скалярного и векторного произведения векторов а(е) 148 Глава 7. Элементы векторного анализа и Ь(с), зависящих от времени (или другого скалярного параметра): Подчеркнем, что во втором случае порядок сомножителей прин- ципиален. ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕрцмаЛИНЫХ СИСтЕМаХ. Пусть система координат Охра двнокется относительно Ох'у'а'. Движение состоит в изменении расстояния 00' = го и вращении Охуя с угловой скоростью и (рис. 7.5).
Рис. 7.5 Дифференцируя равенство Л = го + т, нолучаем абсолютную скорость в, = оь = го + т. Дифференцирование г = х.!+у 1+ а к дает й 41 йо'т г = (х 1+ у.1+ а к)+ (х — +у — + а — (, й й йу' где е, = х 1+ у.) + й к — относиноеньная скорость. Что касается вторых скобок, то единичные орты 1,1, к вращаются, не меняя длины, поэтому й . 4 . а — =мх1, — =ых1, — =мхи й ' й ' и Следовательно, й 4) йк х — +у — +а — =ыхг, й й й что в сумме с го называют нереносной скоростью: е, = ть + ы х т. 149 7.4. Дивергенция Таким образом, (7.4) с=о +ыхг и о, = о, + о„т.
с. и =о +ге+в хе. Абсолютное ускорение в, = о„= о, + г, + ы х г + ы х г, где ( 41 б) дй'ь о,=(й 1+у )+Я й)+ й — +у — +я — ~ =в,+ыхо„ ~ 'а '41 ' и7' а составляющая в, = й.!+ у.)+ з' 'к предстаюиет собой относительное ускорение. Учитывая (7.4), получаем вв ва + ивв + вв. Здесь в„ = 2ы х и, — ускорение Кориалиса, а в, = г, +ы х (ы х г)+ы х г — переносное ускорение, составляющая которого ы х (ы х г) является центростремительным ускорением. Разумеется, все зто положено неторопливо изучать в ранках курса общей физики, — что вперемешку с поисками спутницы зкизни и вращением головов по ходу буравчика — занимает семестр, а то и два. Координатный стиль мышления тормозит процесс, и сила Корислиса в голове не укладывается. Оглядываясь потом назад через призму векторного анаяиза, конечно, можно удивлшпься, на что потрачен год зкизни.
Но мир устроен так, что удивляться заранее — не тмучается. 7.4. Дивергенция Пусть в лаз задана вектор-функция (векторное поле) а(г) = а(х,у, д) = (а„ау,а,). Можно считать, например, что речь идет о течении жидкости и а(г) — скорость течения в точке г. Далее рассматриваются поверхностные интегралы а с(Я, пред- Я ставляюгцие собой поток вектора а(г) (жидкости) через поверхность Я. Интеграл определяется следуюгцим образом. Ориентированная поверхность Я разбивается на малые участки Ьявч причем лья; считается вектором, длина которого численно равна площади участка, а направление совпадает с направлением нормали в произвольно выбранной точке х Е сьЯ;. В модели 150 Глава 7.
Элементы векторного анализа с текущей жидкостью скалярное произведение а т.'гЯ, как раз равно количеству жидкости, проходящему через площадку лье; в единицу времени. Предел а лья; при Ья; -+ 0 называют поверхностным интегралом ада, который записывают также в форме где дифференциалы ду сЬ = дЯл, дх дх = ИЯр, йх ду = дЯт представляют собой проекцию площадки НЯ на соответствующие координатные плоскости. Из физических соображений ясно, чего здесь можно ожидать.
Если течение жидкости не имеет ни источников, ни стоков, то интеграл а.дЯ по любой замкнутой поверхности Я будет нулевым, Я ибо сколько втекло внутрь Я, столько обязано вытечьь~. Обычно, чтобы подчеркнуть, что интегрирование идет по замкнутой поверхности, используют запись а дЯ. Я При наличии источников/стоков было бы естественно полагаться на плотность их распределения, которую обозначают Йу а, либо ~7а, и называют дивергенцией, или расхождением вектора а.
В этом случае в пределах объема т', ограниченного поверхностью Я, возникает или поглощается жидкость в количестве йу а сПг. При этом очевидно 7) Имеется в виду несжимаемая жидкость. 7) Сколько возникло в т', столько должно вытечь через Я. 151 7.4. Дивергенция что называют теоремой (формулой) Гаусса — Остроградского„которая дает возможность преобразовывать поверхностный интеграл в объемный и наоборот. Формальный путь несколько иной. Дивергенция а в точке г онределяетсн как лредел (нлотногть) нотока вектора а через зимкнутую ноеерхность Я, кото ое аничивает бесконечно малый обеем г' ван р окружающий точку г.
х Необходимо, конечно, убедиться, что определение не «стреляет в никуда*. Предел обязан су- Рмс. 7.6 шествовать — иначе разговор пустой. Обоснование возможно посредством вмчисления самого предела. Для простоты мы ограничимся случаем, когда тело объема Г представляет собой кубик со сторонами гзх, «зр, «дд, параллельными координатным осям (рис.7.6). Разность потоков вектора а через грани параллельные плоскости Орд, очевидно, равна да, — Ьх + о(тьх)] ЬрЬд. дх Аналогично по другим граням, — что после суммирования дает да, да„да,1 *+ т+ ~ЬГ+.(ЬК), дх др для где сьгг = ЬхЬЕЬд. Переход к пределу при «ьг' -+ 0 с учетом определения дивергенпии теперь приводит к формуле Замечание.
Если кто-то убежден в сушествовании предела из физических или других соображений, то проведенные выкладки показывают, чему этот предел равен П. В противном случае приходится дополнительно убеждаться, что значение предела не зависит от вида Ьтг. Эта задача больше подходит для индивидуального разммшления. ~ Если предел существует, то его можно искать на любой подпоследовательностя. Глава 7. Элементы векторного анализа Что касается теоремы Гаусса — Острограаского, то в рамках содержательной интерпретации она очевидна и не требует доказательства. На приеме у формалиста этот номер не проходит. Обоснование может опираться на стандартную процедуру. По любомУ е > О объем Р Разбиваетса на столь малые элементы Рн что ~ х 1 — сз а.
оЯ вЂ” гйта~ < е. (,У Суммирование ~о оЯ дает ~а еЯ, поскольку потоки через внутренние перегородки Я, взаимно сокрюцаются. В итоге ~а аЯ вЂ” / гйтаогг~ <е~ К =е(Г, 5 У что с учетом произвольности е обеспечивает нужный результат. Примеры 1. Если поверхность Я ограничивает объем гг, то в случае а(г) = г". г.г(Я = 3Р. Рис. 7.7 представляет несколько возмо.кных вариантов. В ситуации (а) г'г гьЯз — г, гьЯ~ — — ЗР, что после суммирования и перехода к пределу дает «то, что ну;кно», Варианты (Ь), (с) рассматриваются аналогично. тьЯ б) в) Рмс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
