Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 93
Текст из файла (страница 93)
значениями неизвестных функций У (х, р) и ! (х, р) в начале (х = О) или в конце (х =- 1) линии. Подставляя (10.7) в уравнение (10А), находим выражение для операторного изображения тока линии 1(х, р) .= А, (р) е — «он "1ХВ(р) — А, (р) е«оа '1хв (р). (10.8) Величина Ув (р) = Л~ (р) 17 (р) -=- Р~У~ (р) ~ У, (р) =- '1~ (И;(-р1~) ~ (О, + р С ) (! 0 9) й !Озд ОДНОРОДНАЯ ДЛИННАЯ ЛИНИЯ нРи ГАРмОническОм Внешнем ВОздеиствии Волновые процессы в однородной длинной линии Распределение комплексных действующих значений напряжения У (х) и тока 1 (х) в однородной длинной линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, определяется выражениями () (х) — — А, е «" + А,е-"'"; 7(х) = А е «"1Яв — А е-' Яв (10А0) (10.!!) которые получаются из (!0.7), (10.8) путем замены комплексной частоты р па 1ы.
Входящие в выражения (10.10) и (10.11) комплексный ко" эффицпепт распространения у = )' (!х + ~<о1,,) (О, + роС ) (10. 12) и комплексное волновое сопротивление К =)1(р, +! 1- )1(а +1«Сд (10,!8) называется операторным волновым сопротивлением линии. Определяя значения постоянных интегрирования, соответствующие тем или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения (10.7), (10.8), можно получить операторные изображения тока и напряжения в любом сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые частотные и временные характеристики исследуемой цепи. будем называть коэффициентом распространения волновым сопротивлением линии.
Представим коффициент распространения линии в алгебраической У =- а + 1Р, (10.14) а волновое сопротивление линии и постоянные интегрирования в показательной Яв = гв е>е; А,=А е>'че; Ае =Аее>Е формах и преобразуем каждое из входящих в выражения (10.10), (10.11) слагаемых в показательную форму: О(х) =(А>е — а) е-цз"-е >+(А,еа) енг +е >; 1(х) =А>е — а" е — ца" — Я +'»>ав — А еаее>'«+е — е>>2 Переходя от комплексных действующих значений напряжения и тока к мгновенным, получаем и(х, г)=)'2А,е-" соз(е>г' — рх+>р>)+)Г2А,е" Х Х соз (в1 + рх + >ре); -$/2 А е-ах -)/2А, еа» 1(х, г) = ' соз (в> — рх+ >Р> — ф) — ' Х ев ев Х соз (вг+ рх+ >ре — ф). (10.1Е) Как видно из выражений (10.15), (10.16), установившиеся значения напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, можно представить в виде суммы двух подобных по структуре, но отличающихся знаками перед коэффициентами а и р составляющих: и(х, 1)=и„а(х, г)+и р(х, 1); 1(х, 1)=Ее,л(х, Г)+1 р(х, Г), где и, (х, г) =)'2 А,е — соз(вг — фх+ф~; и,р(х, г) =3/ 2Аее 'соз(е>Г+рх+>ре); ~/2 А> е "" (х, 1) соз (в> рх+ >Р> ф), гв '~/2 Ае е р(х, 1) = — соз(в(+ >е>х+'фе — ф) = ев ')/2 А еае сов (вт+~х+фе — ф+и).
ев 443 При фиксированном х каждая из составляющих тока н напряжен,, зедставляет собой гармоническую функцию времени г. В связи .м что сумма двух гармонических функций времени, имеющих одина. звую частоту, есть гармоническая функшря времени той же частоты шряжение и так во всех сечениях линии изменяются по гармоничес. >му закону с частотой внешнего воздействия со (рис. 10.2). Как вид. но из рис. 10.2, а, для каждого ве(дО фиксированного момента времени гл,е "" напряжение и„,д (х, г) изменяется вдоль линии по косинусандальна- ~~3 му закону, причем амплитуда напряжения экспоненциально уменьшается с ростом х.
Прн увеличения стачки функции и„,д (х, (), имеющие одинаковую фазу, смещаются вправо. Аналогичный внд имеют зависимости ( „, (х, г). Следова"~л~е тельно, и„(х, () и 1 „д (х, () Ф „ представляют собой волны напря"'ллг~ - жения и тока, распространяющие- ся в направлении увеличения х. гМ ° 3 Эти волны называют п а д а ющнмн или прямыми. Из рассмотрения зависимостей и,тр (х, () и („р (х, () следует, чта и„р (х, () и („р (х, () представляют собой волны напряжения н - Ггл е"" тока, распространяющиеся в направлении уменьшения х, т.
е. от конца линии к ее началу (рис. 10.2, б). Эти волны называются -. 102. Распределенно явпряжсння о т р а ж е н н ы м и или о б р а тсающой (а) н отрвженной (б) волн Как видно нз выражений (10.17), (10.18) и рис. 10.2, амплитуды наяжения и тока падающей и отраженной волны уменьшаются в назвлении распространения волн. Величина а, характеризующая опыление амплитуды (действующего значения) падающей или странной волны на единицу длины линии а=цеу =не~)/()с +/со1.,)(сл +/соС)), (10.19) зывается коэффициентом ослабления. Убывание плитуды волны связано с потерями энергии„поэтому для линии без герь (й, = 6, = 0) коэффициент ослабления а равен нулю, а ко фнпиент распространения является чисто мнимым: у =)м )~~А.
Амплитуды падающей и отраженной вали напряжения и тока в пнях без потерь не зависят от координаты х и не изменяются вдаль вин. Мнимая часть комплексного коэффициента передачи линии р = 1ш [у) = 1гп ()ГЯт + /пт/.т) (Ст + /тпС,)1, характеризующая изменение фазы прямой илн обратной волн на единицу длины линии, называется к о э фф и ц не и т ам ф а вы.
Для линии без потерь коэффициент фазы прямо пропорционален частоте р = пт )/ /., С . (10.20) расстояние между двумя точками волны, фазы которых различаются на 2п, называется д л и н о й в ол н ы. Длина волны в линии Л определяется значением коэффициента фазы. Действительно, изменение фазы падающей или отраженной волны иа участке линии длиной Л (пт( — рх + ф,) — (Ы вЂ” р (х + Л) + трт) = 2н, откуда Л = 2н/р.
(10.21) Для линии без потерь Л =- 2д/(пт )/ ЕтСт) = 1Щ )Г'Е,С,). Скорость перемещения вдоль линии точки волны, фаза колебания в которой остается неизменной, называется ф а з о в о й с к о р ост ь ю в ол н ы. Для падающей волны условие постоянства фазы записывается в виде (пт( — ()х+тРт) =сонэ(, или — (тп/ — ()х+тйт) =О, л вг откуда Оф.пад йХ/Стт юФ. (10.22) Аналогичным образом находим фазовую скорость отраженной вол- ны оф.атр = — пт/Р.
(10.23) оф = оф.пад = 1оф.отр ~ = 1Ф / т См (10.24) Используя (10.21) и (10.22), получаем соотношения между фазовой скоростью и длиной волны в линии Л = 2поф/ю = оф// = Тсф. (10.25) Из выражения (10.25) видно, что за время равное периоду внешнего воздействия Т, падаюи1ая и отраясенная волны перемен(аются на расстояние, равное длине волны Л. Итак, установлено, что напряжение и ток в любом сечении линии Можно рассматривать как результат наложения двух волн — падающей и отраженной.
Зная это, нетрудно прийти к заключению, что первое и второе слагаемые, входящие в выражения (10.10), (10.11), представ- Знак минус в выражении (10.23) указывает на то, что отраженная волна перемещается в направлении уменьшения х. Для линии без потерь фазовая скорость падающей и отраженной волн не зависитот частоты лают собой комплексные действующие значения напряжения или ток падающей и отраженной волн: У (х) = У„.„(х) + У„т„(х); 7 (х) = 1„д (х)+ у„я (х), (10.2Е) (10.27) где Ев = У 7.,/)1, ==)св.
(10.28) Используя выражения (10.2б), (!0.27)„можно установить и физический смысл коэффициента у. С этой целью найдем комплексные действующие значения напряжений падающей волны в точках, отстоящих одна от другой на расстоянии Лх: Ун,д(х)=3/2 4,е -"'; Увв (х+Ьх)=)'2А е то+~в). Определяя натуральный логарифм отношения этих величин 1и [У„,д (х)/У„,д (х+ Лх)) == ТЛх, получаем у =-- — 1п ипад (х) г)пад (х+ ал) Аналогичным образом можно записать (10.29) тоси (х) и'.„(х+ а ) у — — 1п 1п ) вл(хч Лх) ох 1)отр(х) ~свх~.
м! гетр (х) Таким образом, коэффициент распространения одяородной длинной лини" т характеризует изменение комплексного действующего значеияя напряжен" иия или тока падающей и отраженной волн, приходящееся иа единицу длины лини" Представляя комплексное действующее значение напряжения па дающей волны в показательной форме У,д (х) = У,д (х) е)зиад ~ Уи, (х)=А,е т'; У„р(х)=А,ет'; 7„д(х) = А, е -т'гхв', 1„тр(х) = — Азат"яв. Из выражений (10.26), (10.27) следует, что волновое сопротивление однородной линии Хв является коэффипиентом пропорциональности между напряжением и током падающей или отраженной волн: У'.„(х)77'„„,(х) = У„„(х)77„„(х) = гв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
