Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Четырехполюсник с заданным операторным коэффициентом передачи по напряжению в режиме холостого хода Кмх (р) можно реализовать и по симметричной мостовой схеме (см. рис. 8.18, а), причем в этом случае нули К„„(р) могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях.
Коэффициент передачи по напряжению полученного четырехполюсника может быть выражен через сопротивления продольных Л! (р) и скрещивающихся г.з (р) ветвей (см. пример 8.14): К„, (р) = ге, (р)Я„ (р) =- Ю, (р) — Л, (р))И,(р) + г, (р)]. (8.18) 437 Разделим числитель и знаменатель за. 2 данного выражеиия для К„„(р) иа иекоторый полипом Я (р) и преобразуем полученное выражение к виду (9.18): с 90) Л'(р)!0(р) Кэ .. (р) = — ' И (р) М (р)1ч (р) (и (р)+ т (р))пй (р) — (м (р) —,9 (р)1)0 (р) (М(р)+,У(р)1)Е(р)+(М(р) — й (р)1М(р) ' (9.19) Из сравнения выражений (9.18) и (9.19) видно, что если полипом Я (р) выбран таким образом, что операторные сопротивления л, (р) = ! М (р) — У (р) И~ (р); л.э (р) == (М (р) + У (р))Щ (р) (9.20) могут быть физически реализованы, то симметричный мостовой четырехполюсиик, сопротивления продольных и скрещивающихся ветвей которого определяются выражениями (9.20), будет обладать заданным операторным коэффициеитом передачи по напряжению.
Симметричный мостовой четырехполюсиик можно использовать и для реализации заданного операторного коэффициента передачи по напряжению в режиме согласованной нагрузки. В этом случае К (р) и Лс (р) могут быть определены с помощью выражений (8.82), (8.86)*1: К (р) = р'Лм (р))Л, (р) =- )г Л,(р) г, (р~; К (р)— УК,( )-~/~,(р) .)/А„(,) Агп (р).1 ~/А„(р) Ам (р) 1/г, (р)+1'Т, (, ) Используя (9.21), выразим сопротивления продольных и скрещивающихся ветвей четырехполюсиика через сопротивление нагрузки Ли (р) = Лс (р) и коэффициеит передачи по напряжению: г,(р) = И К(р) Лн(р))(1+К(р)), г,'(р) = И+ К (р)) г,",(р),И вЂ” К(р)).' (9.22) ° Ф Ф ФФ Пример 9.13.
Построим четырехполюсник, операторный коэффициент передачи по напряжению которого при согласованной нагруэке Хн (р) = 1О Ом определяется выраэчением К (р) = — (р — 1О ), (р + 16*). Подставлял эадонные К (р) и яи (р) в вььражения (9,92), определяем опера. торньье сопротивления продольных Еь (р) и скрещивающихся Еэ (р) ветвей симметричного мостового четырехполюсника: Л, (р) = 1О 1О ' р, Ом; Х, (р) =- йо,) )О- р), О .
Таким обраэом, эаданный коэффициент передачи может быть реализован с помощью реактивного мостового четырехполюсника (рис. 9.19), .содержащего индуктивности Е =- 10 миги в продольных и емкости С = О,! мкФ в скрещивающихся ветвях. *) Выражение для А-параметров симметричного мостового четырехполюсника приведены в примере 8,16. 438 Цепи с распределенными параметрами ° ФФФФФФФФФФФФ й !0.1. ЗАДАЧА АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Вводные замечания Напомним, что цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.
Токи и напряжения в одномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных — времени ! и координаты к. Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые д л и н н ы е л и н и и, т.е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют д л и н н ы м и 'л и н и я м и нли л н н и я м и, а уравнения (1.59), (1.60),описывающие зависимости между токами и напряжениями элементарного участка одномерной цепи с распределенными параметрами, — д и ф ф еренциальными .уравнениями длинной линии или телеграфными у,равнен и ям и.
Будем использовать термины «длинная линия» или «линия» как синонимы термина «одномерная цепь с распределенными параметрами», помня при этом, что приведенная на рис. 1.41 схема элементарного участка одномерной цепи с распред~ленными параметрамн и соответствующая ей система уравнений электрического равновесия (1.59), (1.60) носят общий ха. рактер и могут быть использованы не только для моделирования процессов в реальных линиях передачи, но и для приближенного представления многих друтих радиотехнических элементов и устройств в области достаточно высоких частот. Одномерные цепи с распределенными параметрами, применяемые для моделирования различных реальных цепей и нх элементов, отличаются одна от другой, в основном, значениями погонных параметров )«'„(, Со гз, и характером их зависимости от координаты, времени или режима работы цепи.
В линейных инвариантных во времени ц„, пях с распределенными параметрами погонное сопротивлением„ии. дуктивность Ь„емкость Сх и проводимость утечки 6, ие зависят от времени и режима работы цепи; они могут либо изменяться вдоль цепи по определенному закону, либо иметь одинаковые значения на всех ее участках. Линейные инвариантные во времени цепи с распре. деленными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят от координаты, называются о д н о р о д н ы м и (р е г у. л я р и ы и и). Цепи, погонные параметры которых изменяются вдоль цепи, т.е.
являются функциями координаты, называются н е. о д н о р о д н ы м и (н е р е г у л я р н ы м и). В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации, эквивалентная схема элементарного участка цепи может не содержать тех илн иных из показанных на рис. 1.41 элементов. В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами подразделяют на цепи без потерь (1,С-липин), резистивно-емкостные ()сС-линии), резистивно-пндуктивные ()с(.-линии) и резистивные (1с(1-линии). Наиболее интересны процессы в линиях без потерь и в линиях общего вила с малыми потерями, которые используются в основном для моделирования реальных линий передачи и колебательных систем сверхвысо. ких частот.
С развитием микроэлектроники возрос интерес к исследованию процессов в 1сС-линиях, которые используют в качестве моделей различных пассивных элементов интегральных микросхем (пленочных н диффузионных резисторов, конденсаторов, соединительных проводников и перемычек), а также к исследованию резистивных линий, которые применяют для моделирования контактов к различным микроэлектронным элементам 1141. Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии Прн анализе цепей с распределенными параметрами необходимо определить характер изменения токов и напряжений вдоль цепи н и частотные или временные характеристики цепей относительно внешних зажимов.
Для этого необходимо найти частные решения дифференциальных уравнений линии (1.59), (1.60) при соответствующих начальных и граничных условиях. В связи с тем что решение данных уравнений в замкнутой форме для неоднородных линий может быть получено только при некоторых частных видах зависимостей погонных параметров от координаты, ограничимся сначала рассмотрением однородной линни длиной 1 (рис. 10.1). Для решения дифференциальных уравнений линии воспользуемся операторным методом, который позволяет перейти от решения диф ференциальных уравнений в частных производных для мгновенных значений токов 1 =- 1 (х, 1) и напряжений и = и (х, 1) линии к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов У (х, р) =. ='1 (х, У) и напряжений У (х, р) =' и <х, 1).
440 Умножая правую и левую части уравнений (1.59), (1.60) на е-Ы и интегрируя в пределах от ! = 0 до г =- с, получаем — =(6 +рСа)(1(х,р) — С и(х, 0); (1ОП) их — .=(йх+рЕа)1(х, р) — Е,!(х, 0), (10.2) дл где функции и (х, 0), ! (х, 0) описывают распределение напряжения н тока вдоль линни при ! = О, т.е. определяют начальные условия задачи. В связи с тем что в уравнениях (!0.1), (10.2) содержатся произ- ! й и(а,с х-! х'=д к'= ! Рис.
!ОЛ, длинная линия водные неизвестных функций У (х, р) и 1 (х, р) толька по одной переменной, частные производные этих функций по х заменены обыкновенными (полными) производными. Прн нулевых начальных условиях уравнения (10.1), (10.2) принимают впд -"'! Р! =);(р)У(.,р); (1О.З) — = 2,(р) 1(х, р), (1ОА) где 2, (р) = — )с, + р1.„У, (р) = 6, + рС, — операторные погонное сопротивление и погонная проводимость линии. Уравнения (10.3), (10.4) путем исключения переменных могут быть сведены к одному дифференпиалыюму уравнению, составленному относительно тока или напряженна. Продифференцировав правую н левую части уравнения (10.4) по х и подставляя в него значение Н (х, р)!г!х из уравнения (!0.3), получаем иаи!',Р! аО,)и(х,р). (10.5) Аналогичный вид имеет и операторное уравнение рассматриваемой !епп, составленное относительно тока т' (х, р).
Входящая в этп урав!ения величина ( ) ! 2,(р) у,(р! р (р,+рС,)(О,+рС) (!О.б) !азывается операторным коэффициентом рас1и остр а н ен н я. 44! Таким образом, распределение операторных изображении токо, и напряжений в линейной однородной инвариантной во времени цена с распределенными параметрам~ определяется решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными ко. эффициентами, общее решение которого имеет вид У(х, р)= А,(р) е «!ю'+А,(р) е«ы', (10.7) где А, (р), А, (р) — постоянные интегрирования, определяемые тра. ничными условиями задачи, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
